福建省莆田某中學2024-2025學年高三（上）模擬數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年福建省莆田十中高三（上）模擬數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（362）,P（X<5）=0.55,則P（XW1）=（）

A.0.45B.0.55C,0.1D,0.9

2.已知a=｛x|*^W0｝，若264則Hl的取值范圍是（）

A.-1<m<|B.-1<m<|

C.m<一!■或m|D.m<—1或m|

3.若拋物線產=2px的準線經過雙曲線/-產=2的右焦點，貝i]p的值為（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

4.已知四棱錐P—ZBCO的各頂點在同一球面上，若AD=2AB=2BC=2CD=4,為正三角形，且

面PAB1面ABCD,則該球的表面積為（）

1352

A.0B.16TTC.苧rD.207r

5.已知等比數(shù)列｛冊｝中，=1,S九為｛a九｝前幾項和，S5=5S3-4,則S4=（）

A.7B.9C.15D.30

6.已知函數(shù)f（久）=aln-^,其中a,。均為正數(shù).若f（86）-f（3b）=2,則eT=（）

A.-eoB.—2cC.-3uD.g-

7.有一組樣本數(shù)據：%1，久2,…，久8,其平均數(shù)為2,由這組樣本數(shù)據得到新樣本數(shù)據：%1，久2，…，久8，

2,那么這兩組樣本數(shù)據一定有相同的（）

A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.極差

8.若曲線丫=七>有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數(shù)a的值為（）

B

A.-4D.—4LC.-3UD.—3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若a=log30.3,b=303,c=0.33,則（）

A.b<aB.c<bC.a<cD.a<b

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10.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點4B的距離之比為定值;1(441)的點的軌跡是

圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系工。>中，已知。(0,0),4(2,0),點P滿足需=",設

點P

的軌跡為圓C,下列結論正確的是()

A,圓C的方程是(久+2)2+y2=9

B.過點a且斜率為義的直線被圓c截得的弦長為父善

C.圓C與圓0-1)2+(y—4)2=8有四條公切線

D.過點a作直線1,若圓c上恰有三個點到直線/距離為逆，該直線斜率為士字

11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,/(%+y)=簪+梨，且f(l)=1，貝1K)

A./(0)=0B./C-l)=-e2

C.e?(x)為奇函數(shù)DJ(x)在(0,+8)上具有單調性

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z=2c%:丁飛e即的實部為0,則±加2。=.

13.已知空間中有三點。(0,0,0),4(1,-1,1),5(1,1,0),則點。到直線力B的距離為.

14.已知2/+丫2一2孫一2%一1=。.若y>x>1,求y的最大值為；若x〉1且x>y,求2%-y的最大

值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、

4x100米接力.

(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選

擇3000米服務的概率；

(2)為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選

4x100米接力.現(xiàn)從這15名同學中再選3名同學做進一步調查.將其中首選4x100米接力的人數(shù)記作X,求

隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

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16.(本小題15分)

在如圖所示的幾何體中，PAmABCD,PA//QD,四邊形2BCD為平行四邊形，AABC=60°,

^BAC=90°,AB=PA=1,PQ=2

①求證：直線PB〃平面DCQ；

(II)求直線PB與平面PCQ所成角的正弦值;

(III)求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值.

17.(本小題15分)

三角學于十七世紀傳入中國，此后徐光啟、薛風祚等數(shù)學家對此深入研究，對三角學的現(xiàn)代化發(fā)展作出了

巨大貢獻，三倍角公式就是三角學中的重要公式之一，類似二倍角的展開，三倍角可以通過拆寫成二倍角

和一倍角的和，再把二倍角拆寫成兩個一倍角的和來化簡.

(1)證明：sirdx—3sinx—4sin3x；

(2)若s出10。G(7*沾)，n€N*,求n的值.

18.(本小題17分)

已知P為平面上的動點，記其軌跡為匚

(I)請從以下兩個條件中選擇一個，求對應的r的方程,①己知點直線八%=-4,動點P到點r的

距離與到直線珀勺距離之比為今②設E是圓0：%2+y2=4上的動點，過E作直線EG垂直于x軸，垂足為G,

且還=字荏.

(2)在(1)的條件下，設曲線r的左、右兩個頂點分別為4B,若過點K(l,0)的直線ni的斜率存在且不為0,

設直線機交曲線「于點M,N,直線n過點7(-1,0)且與久軸垂直，直線4M交直線n于點P,直線BN交直線門于

點Q,則線段的比值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

19.(本小題17分)

對于數(shù)列｛即｝,數(shù)列｛廝+1-即｝稱為數(shù)列｛即｝的差數(shù)列或一階差數(shù)列.｛an｝差數(shù)列的差數(shù)列，稱為｛即｝的二階

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差數(shù)列.一般地，｛&J的k階差數(shù)列的差數(shù)列，稱為｛an｝的k+1階差數(shù)列.如果｛an｝的k階差數(shù)列為常數(shù)列,

而k-1階差數(shù)列不是常數(shù)列，那么｛七｝就稱為k階等差數(shù)列.

⑴已知20,24,26,25,20是一個k階等差數(shù)列｛%｝的前5項.求k的值及。6；

(2)證明：二階等差數(shù)列也｝的通項公式為與=lh+(n-l)(b2-/?i)+1(n-l)(n-2)(fe3-2fe2+3；

(3)證明：若數(shù)列｛4｝是k階等差數(shù)列，則｛4｝的通項公式是n的k次多項式，即％=￡，=04加(其中乙

(i=0,1，…,k)為常實數(shù))

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參考答案

l.A

2.2

3.C

4.C

5.C

6.C

7.0

8.4

9.BCD

10.BD

11.ABC

14.33

15.解：（1）記作事件4為“選擇60米袋鼠跳服務”，事件B為"3000米服務”,

則P（a）=f=P（砌=f|=|,

即小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率會

（2）由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P（X=O）=得4,

ny-4髭216

P（fX=1）=飛7=赤

P-2）=箸*,

P（X=3）=景=看

所以X的分布列為：

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X0123

12216274

P

654559191

匚Ui、〕r\12?216c2746

所以E(X)=°x布+lx痂+2x五+n3x曳=+

16.(1)證明：因為24〃Q。，P2C平面DCQ,QDu平面DCQ,

所以P4〃平面DCQ,

因為四邊形A8CD為平行四邊形，

所以4B〃CD,

又ABC平面OCQ,CDu平面。CQ,

所以4B〃平面OCQ,

因為P2nXB=4PA.ABu平面P4B,

所以平面P4B〃平面CDQ,

又PBu平面PA8,所以直線PB〃平面DCQ.

(II)解：因為N4BC=60°,ABAC=90°,AB=1,

所以AC=BBC=2=AD,

又PA1平面ABCD,PA//QD,PA=1,PQ=2M，

所以DQ=PA+y/PQ2—AD2=1+18—4=3,

以4為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,l),5(1,0,0),C(0，V3,0),D(-l，V3,0),Q(-1,件),

所以麗=(1,0,—1),PC=(0)A/3-1),CQ=(-1,0,3),

設平面PCQ的法向量為五=Q,y,z),則他?奇：號7以:索,

I/LC(t/——A.I3Z-U

取y=L則％=38，z=避，所以蔡=(34,1,避)，

設直線PB與平面PCQ所成角為仇則s出8=|cos(麗，3>|=；^具=號力|尋

\PB\?\n\J2XJ27+1+331

故直線PB與平面PCQ所成角的正弦值為始.

(III)解：由(II)知，平面PCQ的法向量為蔡=(3避,1,鄧),

因為AC1平面DCQ,

所以平面DCQ的一個法向量為何=(0,1,0),

設平面PCQ與平面OCQ夾角為a,貝Ucosa=|cos<%,帚>|=野鷲=二唔,

\n\?\m\-i-:i-t-0x131

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所以s譏a=Jl-cos2a==雪碧，

故平面PCQ與平面。CQ夾角的正弦值為等.

17.解：(1)證明：sin3x=sin(2x+%)=sin2xcosx4-cos2xsinx=2sinxcosx-cosx+(1—2sin2

x)sinx=2smx(l—sin2%)+sinx—2sin3x=3sinx—4sin3x；

(2)由(1)可知，sin30°=3sinl00-4sin310°=1,

即s譏10。是方程4x3—3%+[=0的一個實根.

令/Q)=4x3—3x+pf'(x)=12x2—3=3(2x+l)(2x—1),

顯然0<s譏10°<sin30°=j,

當0<x<拊，f(x)<0,

所以/(x)=4X3-3X+拉謁)上單調遞減，

又短)=4X市-2+5=虱>0,/(5)=4X—<0,

由零點存在定理，可知Sinio。6(呆)，

故71=5.

18.解：(1)選①,設P(%,y),

rhJO+I)+丫2_1

出|x+4|~2"

化簡得1+4=1,

4D

即所求軌跡r的方程為《+4=1.

43

選②，設POo，yo)，G(x(),0)，

由而=^GE,

2

得EQ。,金°),

代入圓。的方程。：/+產=4,

則就+(金oA=4,

整理得溫+比=1,

43

即所求軌跡r的方程為《+4=1.

4D

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（2）設M（x】yi）,N（X2/2），

已知直線小的斜率存在且不為0,

設過點K的直線TH的方程為x=ty+1,

與方程苧+?=1聯(lián)立得：（3t2+4）y2+6ty—9=0,

6t9

?.?%+及=一^^'月力=一^^'

且ty，2=五號4=|（yi+丫2）（*），

直線4M的方程為y=等7a+2），

yi

yp=xi+2-

同理，

.|TP|_Iyi(^2~2)._1,yi(%2~2).

.?西一32(%1+2)1一5電⑸+2)1'

苴中yi(%2-2)_yi(：y2-i)_、yiy2-yi

只中yzQi+2)-y2(tyi+3)-tyiy2+3y2'

將(*)代入可得，

打1丫2一丫1_|(yi+煬-力_、(yi+3V2)_1

tyiy2+3y2-I(yi+y2)+3y2-|(yi+3y2)3

,ITPI11

「|TQ|一§1§.

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19.解：(1)由題意數(shù)列｛冊+i-冊｝稱為數(shù)列｛〃｝的差數(shù)列或一階差數(shù)列.

｛廝｝差數(shù)列的差數(shù)列，稱為｛即｝的二階差數(shù)列，

｛冊｝的那介差數(shù)列的差數(shù)列，稱為｛4｝的k+1階差數(shù)列.

可得｛即｝的一階差數(shù)列為4,2,-1,一5；

二階差數(shù)列為—2,-3,-4；

三階差數(shù)列為-1,-1,-1為常數(shù)列，故｛即｝為三階等差數(shù)列，即k=3,

二階差數(shù)列的第4項為-5,一階差數(shù)列的第5項為-10,即。6-口5=-1。，故。6=1。；

(2)證明：由題意可令dn=砥+i-既,

??,｛加｝是二階等差數(shù)列，

???dn—dn-x=dn-1—dn-2==d2_di=b^—2b2+b],

???dn=(dn—dn-i)+(dn-i+dn-2)+…+(電―心)+詢=(n—1)(Z?3—2Z?2+比)+(為一九)，

???由題意將b九可以寫成