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文檔簡介
2024-2025學(xué)年福建省莆田十中高三(上)模擬數(shù)學(xué)試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求
的。
1.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(362),P(X<5)=0.55,則P(XW1)=()
A.0.45B.0.55C,0.1D,0.9
2.已知a={x|*^W0},若264則Hl的取值范圍是()
A.-1<m<|B.-1<m<|
C.m<一!■或m|D.m<—1或m|
3.若拋物線產(chǎn)=2px的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/-產(chǎn)=2的右焦點,貝i]p的值為()
A.-2B.-3C.-4D.-5
4.已知四棱錐P—ZBCO的各頂點在同一球面上,若AD=2AB=2BC=2CD=4,為正三角形,且
面PAB1面ABCD,則該球的表面積為()
1352
A.0B.16TTC.苧rD.207r
5.已知等比數(shù)列{冊}中,=1,S九為{a九}前幾項和,S5=5S3-4,則S4=()
A.7B.9C.15D.30
6.已知函數(shù)f(久)=aln-^,其中a,。均為正數(shù).若f(86)-f(3b)=2,則eT=()
A.-eoB.—2cC.-3uD.g-
7.有一組樣本數(shù)據(jù):%1,久2,…,久8,其平均數(shù)為2,由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù):%1,久2,…,久8,
2,那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的()
A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.極差
8.若曲線丫=七>有且僅有一條過坐標(biāo)原點的切線,則正數(shù)a的值為()
B
A.-4D.—4LC.-3UD.—3
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。
9.若a=log30.3,b=303,c=0.33,則()
A.b<aB.c<bC.a<cD.a<b
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10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定值;1(441)的點的軌跡是
圓,此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系工。>中,已知。(0,0),4(2,0),點P滿足需=",設(shè)
點P
的軌跡為圓C,下列結(jié)論正確的是()
A,圓C的方程是(久+2)2+y2=9
B.過點a且斜率為義的直線被圓c截得的弦長為父善
C.圓C與圓0-1)2+(y—4)2=8有四條公切線
D.過點a作直線1,若圓c上恰有三個點到直線/距離為逆,該直線斜率為士字
11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,/(%+y)=簪+梨,且f(l)=1,貝1K)
A./(0)=0B./C-l)=-e2
C.e?(x)為奇函數(shù)DJ(x)在(0,+8)上具有單調(diào)性
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知復(fù)數(shù)z=2c%:丁飛e即的實部為0,則±加2。=.
13.已知空間中有三點。(0,0,0),4(1,-1,1),5(1,1,0),則點。到直線力B的距離為.
14.已知2/+丫2一2孫一2%一1=。.若y>x>1,求y的最大值為;若x〉1且x>y,求2%-y的最大
值為.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某校體育節(jié)組織比賽,需要志愿者參加服務(wù)的項目有:60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、
4x100米接力.
(1)志愿者小明同學(xué)可以在6個項目中選擇3個項目參加服務(wù),求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下,選
擇3000米服務(wù)的概率;
(2)為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項目的情況,從志愿者中抽取了15名同學(xué),其中有9名首選100米,6名首選
4x100米接力.現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選4x100米接力的人數(shù)記作X,求
隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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16.(本小題15分)
在如圖所示的幾何體中,PAmABCD,PA//QD,四邊形2BCD為平行四邊形,AABC=60°,
^BAC=90°,AB=PA=1,PQ=2
①求證:直線PB〃平面DCQ;
(II)求直線PB與平面PCQ所成角的正弦值;
(III)求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值.
17.(本小題15分)
三角學(xué)于十七世紀(jì)傳入中國,此后徐光啟、薛風(fēng)祚等數(shù)學(xué)家對此深入研究,對三角學(xué)的現(xiàn)代化發(fā)展作出了
巨大貢獻(xiàn),三倍角公式就是三角學(xué)中的重要公式之一,類似二倍角的展開,三倍角可以通過拆寫成二倍角
和一倍角的和,再把二倍角拆寫成兩個一倍角的和來化簡.
(1)證明:sirdx—3sinx—4sin3x;
(2)若s出10。G(7*沾),n€N*,求n的值.
18.(本小題17分)
已知P為平面上的動點,記其軌跡為匚
(I)請從以下兩個條件中選擇一個,求對應(yīng)的r的方程,①己知點直線八%=-4,動點P到點r的
距離與到直線珀勺距離之比為今②設(shè)E是圓0:%2+y2=4上的動點,過E作直線EG垂直于x軸,垂足為G,
且還=字荏.
(2)在(1)的條件下,設(shè)曲線r的左、右兩個頂點分別為4B,若過點K(l,0)的直線ni的斜率存在且不為0,
設(shè)直線機交曲線「于點M,N,直線n過點7(-1,0)且與久軸垂直,直線4M交直線n于點P,直線BN交直線門于
點Q,則線段的比值是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
19.(本小題17分)
對于數(shù)列{即},數(shù)列{廝+1-即}稱為數(shù)列{即}的差數(shù)列或一階差數(shù)列.{an}差數(shù)列的差數(shù)列,稱為{即}的二階
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差數(shù)列.一般地,{&J的k階差數(shù)列的差數(shù)列,稱為{an}的k+1階差數(shù)列.如果{an}的k階差數(shù)列為常數(shù)列,
而k-1階差數(shù)列不是常數(shù)列,那么{七}就稱為k階等差數(shù)列.
⑴已知20,24,26,25,20是一個k階等差數(shù)列{%}的前5項.求k的值及。6;
(2)證明:二階等差數(shù)列也}的通項公式為與=lh+(n-l)(b2-/?i)+1(n-l)(n-2)(fe3-2fe2+3;
(3)證明:若數(shù)列{4}是k階等差數(shù)列,則{4}的通項公式是n的k次多項式,即%=£,=04加(其中乙
(i=0,1,…,k)為常實數(shù))
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參考答案
l.A
2.2
3.C
4.C
5.C
6.C
7.0
8.4
9.BCD
10.BD
11.ABC
14.33
15.解:(1)記作事件4為“選擇60米袋鼠跳服務(wù)”,事件B為"3000米服務(wù)”,
則P(a)=f=P(砌=f|=|,
即小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下,選擇3000米服務(wù)的概率會
(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=O)=得4,
ny-4髭216
P(fX=1)=飛7=赤
P-2)=箸*,
P(X=3)=景=看
所以X的分布列為:
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X0123
12216274
P
654559191
匚Ui、〕r\12?216c2746
所以E(X)=°x布+lx痂+2x五+n3x曳=+
16.(1)證明:因為24〃Q。,P2C平面DCQ,QDu平面DCQ,
所以P4〃平面DCQ,
因為四邊形A8CD為平行四邊形,
所以4B〃CD,
又ABC平面OCQ,CDu平面。CQ,
所以4B〃平面OCQ,
因為P2nXB=4PA.ABu平面P4B,
所以平面P4B〃平面CDQ,
又PBu平面PA8,所以直線PB〃平面DCQ.
(II)解:因為N4BC=60°,ABAC=90°,AB=1,
所以AC=BBC=2=AD,
又PA1平面ABCD,PA//QD,PA=1,PQ=2M,
所以DQ=PA+y/PQ2—AD2=1+18—4=3,
以4為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,l),5(1,0,0),C(0,V3,0),D(-l,V3,0),Q(-1,件),
所以麗=(1,0,—1),PC=(0)A/3-1),CQ=(-1,0,3),
設(shè)平面PCQ的法向量為五=Q,y,z),則他?奇:號7以:索,
I/LC(t/——A.I3Z-U
取y=L則%=38,z=避,所以蔡=(34,1,避),
設(shè)直線PB與平面PCQ所成角為仇則s出8=|cos(麗,3>|=;^具=號力|尋
\PB\?\n\J2XJ27+1+331
故直線PB與平面PCQ所成角的正弦值為始.
(III)解:由(II)知,平面PCQ的法向量為蔡=(3避,1,鄧),
因為AC1平面DCQ,
所以平面DCQ的一個法向量為何=(0,1,0),
設(shè)平面PCQ與平面OCQ夾角為a,貝Ucosa=|cos<%,帚>|=野鷲=二唔,
\n\?\m\-i-:i-t-0x131
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所以s譏a=Jl-cos2a==雪碧,
故平面PCQ與平面。CQ夾角的正弦值為等.
17.解:(1)證明:sin3x=sin(2x+%)=sin2xcosx4-cos2xsinx=2sinxcosx-cosx+(1—2sin2
x)sinx=2smx(l—sin2%)+sinx—2sin3x=3sinx—4sin3x;
(2)由(1)可知,sin30°=3sinl00-4sin310°=1,
即s譏10。是方程4x3—3%+[=0的一個實根.
令/Q)=4x3—3x+pf'(x)=12x2—3=3(2x+l)(2x—1),
顯然0<s譏10°<sin30°=j,
當(dāng)0<x<拊,f(x)<0,
所以/(x)=4X3-3X+拉謁)上單調(diào)遞減,
又短)=4X市-2+5=虱>0,/(5)=4X—<0,
由零點存在定理,可知Sinio。6(呆),
故71=5.
18.解:(1)選①,設(shè)P(%,y),
rhJO+I)+丫2_1
出|x+4|~2"
化簡得1+4=1,
4D
即所求軌跡r的方程為《+4=1.
43
選②,設(shè)POo,yo),G(x(),0),
由而=^GE,
2
得EQ。,金°),
代入圓。的方程。:/+產(chǎn)=4,
則就+(金oA=4,
整理得溫+比=1,
43
即所求軌跡r的方程為《+4=1.
4D
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(2)設(shè)M(x】yi),N(X2/2),
已知直線小的斜率存在且不為0,
設(shè)過點K的直線TH的方程為x=ty+1,
與方程苧+?=1聯(lián)立得:(3t2+4)y2+6ty—9=0,
6t9
?.?%+及=一^^'月力=一^^'
且ty,2=五號4=|(yi+丫2)(*),
直線4M的方程為y=等7a+2),
yi
yp=xi+2-
同理,
.|TP|_Iyi(^2~2)._1,yi(%2~2).
.?西一32(%1+2)1一5電⑸+2)1'
苴中yi(%2-2)_yi(:y2-i)_、yiy2-yi
只中yzQi+2)-y2(tyi+3)-tyiy2+3y2'
將(*)代入可得,
打1丫2一丫1_|(yi+煬-力_、(yi+3V2)_1
tyiy2+3y2-I(yi+y2)+3y2-|(yi+3y2)3
,ITPI11
「|TQ|一§1§.
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19.解:(1)由題意數(shù)列{冊+i-冊}稱為數(shù)列{〃}的差數(shù)列或一階差數(shù)列.
{廝}差數(shù)列的差數(shù)列,稱為{即}的二階差數(shù)列,
{冊}的那介差數(shù)列的差數(shù)列,稱為{4}的k+1階差數(shù)列.
可得{即}的一階差數(shù)列為4,2,-1,一5;
二階差數(shù)列為—2,-3,-4;
三階差數(shù)列為-1,-1,-1為常數(shù)列,故{即}為三階等差數(shù)列,即k=3,
二階差數(shù)列的第4項為-5,一階差數(shù)列的第5項為-10,即。6-口5=-1。,故。6=1。;
(2)證明:由題意可令dn=砥+i-既,
??,{加}是二階等差數(shù)列,
???dn—dn-x=dn-1—dn-2==d2_di=b^—2b2+b],
???dn=(dn—dn-i)+(dn-i+dn-2)+…+(電―心)+詢=(n—1)(Z?3—2Z?2+比)+(為一九),
???由題意將b九可以寫成
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