2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.2直觀圖學案含解析北師大版必修2

PAGE2直觀圖考綱定位重難突破1.了解直觀圖的作用．2.駕馭斜二測畫法的規(guī)則，能用斜二測畫法畫平面圖形和立體圖形的直觀圖．3.能進行直觀圖與原圖形之間的轉(zhuǎn)換，并能進行有關(guān)的計算.重點：理解棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以及球的概念及結(jié)構(gòu)特征．難點：會用斜二測畫法畫出一些簡潔平面圖形和立體圖形的直觀圖.授課提示：對應(yīng)學生用書第4頁[自主梳理]一、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟二、立體圖形直觀圖的畫法立體圖形與平面圖形相比多了一個z軸，其直觀圖中對應(yīng)于z軸的是z′軸，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z軸的線段，在直觀圖中平行性和長度都不變．[雙基自測]1．關(guān)于直觀圖的“斜二測”畫法，以下說法中不正確的是()A．原圖中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變B．原圖中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)C．畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′必需是45°D．在畫直觀圖時，由于選軸不同，所得直觀圖可能不同解析：由斜二測畫法易知C錯．答案：C2．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原圖的形態(tài)是()解析：依據(jù)斜二測畫法，知在y軸上的線段長度為直觀圖中相應(yīng)線段長度的2倍，故A正確．答案：A3.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在平面直角坐標系中原四邊形OABC為________(填形態(tài))，面積為________cm2解析：由斜二測畫法規(guī)則知，在四邊形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2cm，OC＝2O′C′＝4cm，所以四邊形OABC是矩形，其面積為2×4＝8(cm2)．答案：矩形84．在棱長為4cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1在x軸上，棱AD在y軸上，則在其直觀圖中，對應(yīng)棱A′D′的長為________cm，棱A′A解析：畫直觀圖時，在x軸上的線段長度保持不變，故A′A′1＝4cm，在y軸上的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故A′D′＝2cm.答案：24授課提示：對應(yīng)學生用書第5頁探究一水平放置的平面圖形的畫法[典例1]畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．[解析](1)如圖(1)所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，再建立如圖(2)所示的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在圖(2)中，以O(shè)′為中點x′軸上取A′B′＝AB.(3)在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中心畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(4)連接B′C′，D′A′，去掉協(xié)助線，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．如圖(3)所示．1．畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點位置．頂點位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點比較簡潔確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點一般通過過此點作與軸平行的線段，將此點轉(zhuǎn)到與軸平行的線段上來確定．2．要畫好對應(yīng)平面圖形的直觀圖，首先應(yīng)在原圖形中確定直角坐標系，然后在此基礎(chǔ)上畫出水平放置的平面坐標系．1.畫出如圖所示的梯形ABCD的直觀圖．解析：畫法：(1)如圖①所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標系xOy.如圖②所示，畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′A′y′＝45°.(2)如圖①所示，過D點作DE⊥x軸，垂足為E.如圖②所示，在x′軸上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；過E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝eq\f(1,2)ED，再過點D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC.(3)連接A′D′，B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些協(xié)助線，如圖③所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．探究二空間幾何體的直觀圖的畫法[典例2]用斜二測畫法畫出長、寬、高分別是3cm，3cm，2cm的長方體ABCD-A′B′[解析]第一步：畫軸．如圖1，畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；其次步：畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝3cm，在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點M和N作y軸的平行線，分別過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為點A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD；第三步：畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′；第四步：成圖．順次連接點A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉協(xié)助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖，如圖2.如何畫出空間幾何體的直觀圖1．畫空間幾何體的直觀圖時，一般是先依據(jù)畫平面圖形直觀圖的方法與步驟，畫出其底面的直觀圖，然后在z軸上確定該幾何體的頂點或另一個底面的直觀圖所需坐標系的原點，從而作出另一個底面的直觀圖，最終得到整個幾何體的直觀圖．2．對于臺體、柱體等有上底面的幾何體，在作上底面的直觀圖時，可先作出高線，然后在上底面所在的平面內(nèi)再建一個兩軸分別與下底面中的坐標系中的兩軸平行的坐標系，最終作出表示相應(yīng)等量的線段并連接．2．用斜二測畫法畫出底面邊長為4cm，高為3cm的正四棱錐(底面是正方形、解析：(1)作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝4cm，AD＝2cm.(2)過O′作z′軸，使∠x′O′z′＝90°，在z′軸上截取O′S＝3(3)連接SA，SB，SC，SD，得到如圖所示的圖形就是所求的正四棱錐的直觀圖．探究三直觀圖的還原問題[典例3]如圖，四邊形A′B′C′D′是邊長為1的正方形，且它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積．[解析]畫出平面直角坐標系xOy，使點A與O重合，在x軸上取點C，使AC＝eq\r(2)，再在y軸上取點D，使AD＝2，取AC的中點E，連接DE并延長至點B，使DE＝EB，連接DC，CB，BA，則四邊形ABCD為正方形A′B′C′D′的原圖形(也可以過點C作BC∥y軸，且使CB＝AD＝2，然后連接AB，DC)．易知四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD＝2，AC＝eq\r(2)，∴S?ABCD＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2).1．還原圖形的過程是畫直觀圖的逆過程，關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段．平行于x′軸的線段長度不變，平行于y′軸的線段還原時長度變?yōu)樵瓉淼?倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．2．求直觀圖形的面積，關(guān)鍵是能先正確畫出直觀圖形，然后依據(jù)直觀圖形求出它的相應(yīng)邊的長度．3．求原圖形的面積，關(guān)鍵是要能夠依據(jù)直觀圖形把它還原成實際圖形．3．已知等邊△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為eq\f(\r(6),16)，則等邊△ABC的面積是________．解析：依據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，把如圖①等邊△ABC的直觀圖△A′B′C′還原為如圖②的等邊△ABC，設(shè)原等邊三角形的邊長為x，則B′C′＝x，等邊△ABC的高為eq\f(\r(3),2)x，所以△A′B′C′的高為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(6),8)x，所以△A′B′C′的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),8)x×x＝eq\f(\r(6),16)x2＝eq\f(\r(6),16)，解得x＝1，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×x×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)還原平面圖時，因找不準與y軸平行的線段致誤[典例]如圖所示，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°、腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2)[解析]作D′E′∥A′B′交B′C′于E′(圖略)，由斜二測畫法規(guī)則知，直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′的原平面圖形為直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋eq\r(2)，AD＝1，所以S梯形ABCD＝eq\f(AD＋BC·AB,2)＝2＋eq\r(2).[答案]D[錯因與防范]還原平面圖時，因沒有找準與y軸平行的線段，誤把直觀圖中的高擴大2倍得eq\r(2)，從而錯選C.已知直觀圖求原圖形的面積，其關(guān)鍵是能夠依據(jù)直觀圖把它還原成實際圖形，依據(jù)題設(shè)條件的不同，有時需作出平行x′軸(或y′軸)的線段來協(xié)助解題．[隨堂訓練]對應(yīng)學生用書第6頁1．利用斜二測畫法得到以下結(jié)論：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．其中正確的是()A．①② B．①C．③④ D．①②③④解析：利用斜二測畫法分析可知①②正確．水平放置的正方形、菱形的直觀圖可能是非正方形、非菱形的平行四邊形．答案：A2.如圖，水平放置的正方形ABCO，在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2,2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D．2解析：如圖，由斜二測畫法可知，在新坐標系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°，過B′作x′軸的垂線，垂足為D，在Rt△B′DC′中，B′D＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).答案：A3．利用斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的長度為()A．2B．2.5C．3D．解析：如圖，依據(jù)斜二測畫法的原則，可知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5.又直角三角形斜邊的中線等于斜