2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)2教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE隨意角的三角函數(shù)一、教學(xué)基本信息：⒈授課者：⒉課題：一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)（必修4）》第一章“三角函數(shù)”，其次節(jié)“隨意角的三角函數(shù)”其次課時(shí)。二、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)⒈指導(dǎo)思想：以問(wèn)題為引導(dǎo)、以探究為過(guò)程、以發(fā)展為目標(biāo)，面對(duì)全體、敬重特性。⒉理論依據(jù)：建構(gòu)主義認(rèn)知心理學(xué)原理及單元教學(xué)設(shè)計(jì)原理建構(gòu)主義心理學(xué)認(rèn)為，相識(shí)并非是主體對(duì)于客觀存在的簡(jiǎn)潔的、被動(dòng)的反映，而是一個(gè)主動(dòng)的、不斷深化的建構(gòu)過(guò)程，即全部的學(xué)問(wèn)意義都是通過(guò)內(nèi)在表征過(guò)程主動(dòng)建構(gòu)出來(lái)的；在學(xué)問(wèn)意義建構(gòu)過(guò)程中，主體已有的學(xué)問(wèn)、閱歷起著重要的作用，即全部學(xué)問(wèn)意義是隨著學(xué)習(xí)環(huán)境的改變而處于不斷發(fā)展之中。因此在教學(xué)中必須要讓學(xué)生的學(xué)問(wèn)建構(gòu)過(guò)程處于肯定的學(xué)問(wèn)體系之中，既要利用已有的相關(guān)學(xué)問(wèn)幫助學(xué)生對(duì)新學(xué)問(wèn)產(chǎn)生內(nèi)化，有要幫助學(xué)生將內(nèi)化的學(xué)問(wèn)與原有的學(xué)問(wèn)融合產(chǎn)生相關(guān)學(xué)問(wèn)的系統(tǒng)，以幫助他更好地理解學(xué)問(wèn)。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要通過(guò)單元教學(xué)的設(shè)計(jì)原理，將一節(jié)的內(nèi)容納入到某一學(xué)問(wèn)主題單元中，幫助學(xué)生從某一學(xué)問(wèn)體系的整體上來(lái)相識(shí)新學(xué)問(wèn)，從而有利于學(xué)生更好地對(duì)學(xué)問(wèn)加以建構(gòu)。三、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相像形和圓，探討方法主要是代數(shù)中的圖象分析和代數(shù)變形，三角函數(shù)的探討已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)。它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)。在前課中，角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°–360°內(nèi)的角，再擴(kuò)充到隨意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必需有所擴(kuò)充。隨意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必定結(jié)果。比較銳角三角函數(shù)與隨意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而隨意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”。正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示隨意角的三角函數(shù)，這是概念的核心。這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了隨意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)探討它的性質(zhì)帶來(lái)了便利。從銳角三角函數(shù)到隨意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過(guò)程，產(chǎn)生了“符號(hào)問(wèn)題”。因此，學(xué)習(xí)隨意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起隨意角三角函數(shù)的概念。隨意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是隨意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用。解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)。因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．隨意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對(duì)應(yīng)法則以及值域。隨意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集），這是因?yàn)椋诮⒒《戎埔院?，角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)，“角是實(shí)數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)。各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域。三角函數(shù)線是三角函數(shù)定義的直觀形象，它的產(chǎn)生有利于學(xué)生直觀地感受三角函數(shù)的概念，也有利于學(xué)生視察三角函數(shù)所具有的如周期性、單調(diào)性等一些重要的性質(zhì)。隨意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn)。無(wú)論是探討三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立隨意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運(yùn)動(dòng)、改變、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法。四、學(xué)生分析：學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，本節(jié)課須要借助這個(gè)定義來(lái)形成三角函數(shù)線的概念，但是學(xué)生對(duì)上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容理解未必深刻，所以本節(jié)課教學(xué)須要進(jìn)行復(fù)習(xí)。在三角函數(shù)線概念形成之后，還要結(jié)合三角函數(shù)線來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，理解三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以深化相識(shí)。對(duì)于三角函數(shù)線這一概念，須要用到有向線段的概念，但是對(duì)這一概念的學(xué)習(xí)是須要肯定的時(shí)間與空間，因此“有向線段”概念是干擾學(xué)生獲得新學(xué)問(wèn)的一個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)，這就須要老師在教學(xué)時(shí)通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。學(xué)生的思維是有發(fā)展性的，所以在本節(jié)課教學(xué)中，不能以結(jié)論的呈現(xiàn)為教學(xué)方式，而應(yīng)以具有引導(dǎo)性、開(kāi)放性的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的思索與探究，這樣才能發(fā)展學(xué)生的思維。所以本節(jié)課概念的形成過(guò)程是以問(wèn)題引導(dǎo)來(lái)完成的。五、教學(xué)目標(biāo)分析：本節(jié)課的目標(biāo)是，在上一節(jié)課教學(xué)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步理解隨意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。通過(guò)對(duì)三角函數(shù)定義的思索，通過(guò)探究得到三角函數(shù)線這一反映三角函數(shù)定義的幾何形象。并通過(guò)三角函數(shù)線進(jìn)一步從直觀上感受三角函數(shù)的定義域、值域，感受三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等重要性質(zhì)，通過(guò)三角函數(shù)線確定不同象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)。六、教學(xué)重點(diǎn)分析：三角函數(shù)線的產(chǎn)生是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生而言，三角函數(shù)線的產(chǎn)生并非不言自明，這里哪一個(gè)圖形才能表示三角函數(shù)值的兩個(gè)方面：一是肯定值，二是符號(hào)，這個(gè)須要老師設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題加以引導(dǎo)，所以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)三角函數(shù)線是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。教學(xué)中的另一個(gè)重點(diǎn)是利用三角函數(shù)線來(lái)再次感受三角函數(shù)的性質(zhì)。七、教學(xué)難點(diǎn)分析：三角函數(shù)線的產(chǎn)生，特殊是正切線的產(chǎn)生是本節(jié)課學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，其中產(chǎn)生這一難點(diǎn)的一個(gè)重要緣由是“有向線段”這一概念，對(duì)學(xué)生而言，“有向線段”、“有向直線”這些概念是生疏的，對(duì)它們本質(zhì)屬性的理解須要肯定的時(shí)間與空間，所以須要在三角函數(shù)線產(chǎn)生之前對(duì)這些概念進(jìn)行表征。擬實(shí)行引導(dǎo)性問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的思維以突破該難點(diǎn)。八、教學(xué)方法：老師問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)、學(xué)生在問(wèn)題引導(dǎo)下的探究性學(xué)習(xí)；幾何畫板軟件介入的多媒體協(xié)助教學(xué)。九、教學(xué)流程：復(fù)習(xí)舊知，以舊引新——問(wèn)題引導(dǎo)，探求新知——直觀感知，深化相識(shí)——小結(jié)反思，提升梳理十、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生活動(dòng)老師活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)舊知，以舊引新：⒈請(qǐng)說(shuō)說(shuō)上節(jié)課學(xué)習(xí)的隨意角α的三角函數(shù)概念，作為函數(shù)，能說(shuō)明它們的三要素嗎？⒉當(dāng)α為銳角(即α∈)時(shí)，三角函數(shù)值均為正值，隨意角的三角函數(shù)值的符號(hào)如何？學(xué)生回顧；提出問(wèn)題，并對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行評(píng)價(jià)；問(wèn)題一的設(shè)計(jì)是通過(guò)對(duì)舊學(xué)問(wèn)的回顧，激活學(xué)生的思維，為新學(xué)問(wèn)的學(xué)習(xí)做打算；通過(guò)問(wèn)題二，可以檢驗(yàn)學(xué)生是否很好地駕馭了上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，形成學(xué)習(xí)新學(xué)問(wèn)的先行組織者。二、問(wèn)題引導(dǎo)，探求新知：三角函數(shù)線的探究：過(guò)渡性語(yǔ)句：以上定義是從代數(shù)角度探討三角函數(shù)，下面再?gòu)膸缀谓嵌葋?lái)探討三角函數(shù)問(wèn)題1：如圖，角α的終邊與單位圓交于P(x,y)，則有sinα=y，cosα=x，tanα=(x≠0)，這些三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)不同的根源是什么？問(wèn)題2：如何在坐標(biāo)軸上標(biāo)記P點(diǎn)所在的位置與方向？問(wèn)題3：PM與sinα有關(guān)系嗎？它能表示sinα嗎？為什么？怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？問(wèn)題4：OM與cosα有關(guān)系嗎？它能表示cosα嗎？為什么？怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？由于線段PM與OM都規(guī)定了方向，我們稱其為有向線段。問(wèn)題5：你能借助單位圓找到一條如PM、OM的有向線段表示角α的正切嗎？假如學(xué)生能夠由問(wèn)題5思索出正切線，那么就須要讓他闡述理由，假如學(xué)生不能由問(wèn)題5思索出正切線，那么接著提出以下問(wèn)題問(wèn)題6：假如不能找到一個(gè)線段表示角α的正切，這是因?yàn)檎械亩x是兩個(gè)坐標(biāo)的比值，但你是否想過(guò)，角α的正弦其實(shí)也是一個(gè)比值，是PM與1的比值，而分子PM恰是角α的正弦值，從這個(gè)角度考慮，正切定義的比值應(yīng)怎樣轉(zhuǎn)化，就能幫助我們找到表示角α正切的線段了？思索問(wèn)題，嘗試回答展示課件，提出問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)拔與指導(dǎo)過(guò)渡性語(yǔ)句說(shuō)明本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容是從幾何的角度來(lái)看三角函數(shù)，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想。三角函數(shù)的符號(hào)是因?yàn)榻铅恋慕K邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)，而這些坐標(biāo)的符號(hào)是由平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的方向確定的。由原點(diǎn)動(dòng)身，與x軸正向同向的橫坐標(biāo)則為正，反之則為負(fù)，縱坐標(biāo)亦然。提出問(wèn)題1、2的目的就是引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到三角函數(shù)符號(hào)與軸的方向的關(guān)系，為三角函數(shù)線方向的規(guī)定奠定思維基礎(chǔ)。后續(xù)的問(wèn)題3、4是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思索哪條線段能夠表示角α的正弦與余弦，引導(dǎo)他們思索線段必需規(guī)定方向以表示角α的正、余弦值的符號(hào)。問(wèn)題5、6的提出，是以一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的思索，其中問(wèn)題6是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類比正弦，發(fā)覺(jué)正切線。三、直觀感知，深化相識(shí)：學(xué)生得到三個(gè)三角函數(shù)線之后，老師通過(guò)多媒體演示當(dāng)角α改變時(shí)，三角函數(shù)線的改變，同時(shí)提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}7：如圖，角α的正弦線PM長(zhǎng)度為0.7，方向指向下方，由此你可以得到的結(jié)論是什么?問(wèn)題8：你能夠利用三角函數(shù)線，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，sinα、cosα、tanα的大小關(guān)系嗎？問(wèn)題9：當(dāng)角α的終邊從x軸非負(fù)軸起先，逆時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，通過(guò)視察多媒體課件中正弦函數(shù)線的改變，試說(shuō)明三角函數(shù)的改變特點(diǎn)。分小組活動(dòng)，看哪個(gè)小組可以獲得更多的性質(zhì)，將獲得的性質(zhì)寫在白紙上。若學(xué)生寫的性質(zhì)不多，可以提出以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生感受、發(fā)覺(jué)。問(wèn)題10：當(dāng)角α的終邊轉(zhuǎn)過(guò)若干圈，回到初始位置時(shí)，正弦函數(shù)線發(fā)生了什么現(xiàn)象，這個(gè)現(xiàn)象說(shuō)明白什么？問(wèn)題11：如圖，當(dāng)角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的正弦函數(shù)線有什么關(guān)系？你能獲得什么結(jié)論？問(wèn)題12：你還能提出類似這樣有關(guān)對(duì)稱的問(wèn)題嗎？說(shuō)出你的問(wèn)題，并說(shuō)明你的結(jié)論。問(wèn)題13：請(qǐng)推斷下列說(shuō)法的正誤：①α肯定時(shí)，單位圓中的正弦線肯定；②單位圓中，有相同的正弦線的角相等；③α與α+π有相同的正切線；④具有相同正切線的兩個(gè)角的終邊在同始終線上；學(xué)生視察多媒體，思索，回答老師展示多媒體課件，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思索問(wèn)題7幫助學(xué)生理解正弦線就表示角α的正弦值；問(wèn)題8進(jìn)一步幫助學(xué)生深化理解三角函數(shù)線即表示三角函數(shù)問(wèn)題9通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)線的動(dòng)態(tài)視察，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)正弦函數(shù)的性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)；這里只探討正弦函數(shù)，其余的學(xué)生在課后自行探討。問(wèn)題10、11、12，其實(shí)已經(jīng)涉及了誘導(dǎo)公式，但是此處更多地是讓學(xué)生直觀地感知，并不須要進(jìn)行理性地說(shuō)理，這一問(wèn)題的處理，也為后續(xù)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式奠定基礎(chǔ)，它們與問(wèn)題8一樣，都體現(xiàn)了單元教學(xué)的整體性。通過(guò)問(wèn)題13的概念推斷，再一次深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線的相識(shí)，同時(shí)這個(gè)問(wèn)題也是對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)檢測(cè)。四、小結(jié)反思，提升梳理：提出問(wèn)題：我們今日學(xué)習(xí)了三角函數(shù)線，你認(rèn)為學(xué)習(xí)三角函數(shù)線對(duì)相識(shí)三角函數(shù)概念有哪些作用？學(xué)生思索，總結(jié)老師提問(wèn)引導(dǎo)此問(wèn)題為教科書(shū)中P17練習(xí)4，用這個(gè)問(wèn)題做為小結(jié)的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)學(xué)問(wèn)進(jìn)行更為深化的思索，同時(shí)也幫助學(xué)生梳理三角函數(shù)線與