2024-2025學年高中數(shù)學第二章函數(shù)5簡單的冪函數(shù)一課時跟蹤訓練含解析北師大版必修1

PAGE5簡潔的冪函數(shù)（一）[A組學業(yè)達標]1．下列函數(shù)為冪函數(shù)的是()①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝eq\f(1,x2)；⑥y＝x2＋eq\f(1,x).A．①③⑤B．①②⑤C．③⑤ D．只有⑤解析：①y＝－x2的系數(shù)是－1而不是1，故不是冪函數(shù)；②y＝2x不是冪函數(shù)；④y＝(x－1)3的底數(shù)是x－1而不是x，故不是冪函數(shù)；⑥y＝x2＋eq\f(1,x)是兩個冪函數(shù)和的形式，也不是冪函數(shù)．很明顯③⑤是冪函數(shù)．答案：C2．函數(shù)y＝的圖像大致是()解析：因為函數(shù)y＝在(0,0)處有定義，且該函數(shù)為奇函數(shù)，解除選項A，D；又eq\f(5,3)＞1，解除選項C，故選B.答案：B3．下列命題正確的是()A．當α＝0時，函數(shù)y＝xα的圖像是一條直線B．冪函數(shù)的圖像只在第一象限出現(xiàn)C．若冪函數(shù)y＝xα的圖像關于原點對稱，則y＝xα在定義域上是增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖像不行能在第四象限解析：當α＝0時，函數(shù)y＝xα的定義域為{x|x≠0，x∈R}，其圖像為兩條射線，故A選項不正確；易知選項B不正確；冪函數(shù)y＝x－1的圖像關于原點對稱，但其在定義域內不是增函數(shù)，故選項C不正確；當x＞0，α∈R時，y＝xα＞0，則冪函數(shù)的圖像都不在第四象限，故選項D正確．答案：D4．已知則()A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜a＜c D．a＜c＜b答案：A5．當x∈(1，＋∞)時函數(shù)y＝xα的圖像恒在直線y＝x的下方，則α的取值范圍是()A．(0,1) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：由冪函數(shù)的圖像知α＜1.答案：C6．冪函數(shù)y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上為減函數(shù)，則m的值為________．解析：由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.又當m＝2時，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上為減函數(shù)，符合題意；當m＝－1時，y＝x在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，不符合題意．答案：27．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(\r(3),3)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________.答案：28．若則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：(3，＋∞)9．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x解析：(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))?m＝1.(2)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).[B組實力提升]10．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3B．1C解析：依據(jù)題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n＜0，))解得n＝1.答案：B11．如圖是冪函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內的圖像，則()A．－1＜n＜0,0＜m＜1 B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1解析：結合冪函數(shù)的圖像和性質知，n＜－1,0＜m＜1.答案：B12．已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－1(m∈Z)的圖像與x軸，y軸都無交點，則函數(shù)f(x)的解析式是________．解析：由冪函數(shù)性質知m2－1＜0，解得－1＜m＜1，又m∈Z，所以m＝0，∴f(x)＝x－1.答案：f(x)＝x－113．已知,則x的取值范圍是________．解析：由冪函數(shù)的圖像可知：當時，x＜0或x＞1.答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)14．已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N＋)．(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調性；(2)若函數(shù)還經過(2，eq\r(2))，試確定m的值，并求滿意f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)為偶數(shù)．令m2＋m＝2k，k∈N＋，則f(x)＝eq\r(2k,x)，∴定義域為[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數(shù)．解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，由(1)知f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù)．∴f(2－a)＞f(a－1)等價于2－a＞a－1≥0，解得1≤a＜eq\f(3,2).15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(mx2－2mx＋m－1,x2－2x＋1)(m∈R)，試比較f(5)與f(－π)的大小．解析：f(x)＝eq\f(mx2－2mx＋m－1,x2－2x＋1)＝eq\f(mx－12－1,x－12)＝m－eq\f(1,x－12)＝m－(x－1)－2.f(x)的圖像可由y＝x－2的圖像首先作關于x軸的對稱變換，然后向右平移1