《等腰三角形的軸對(duì)稱性（1）》參考課件1

2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（1）等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形生活情境有兩邊相等的三角形是等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角新知探究剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？等腰三角形的性質(zhì)11新知探究ABCAB=AC等腰三角形新知探究折一折：△ABC

是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對(duì)稱軸.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.新知探究找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C∠BAD

與∠CAD∠ADB

與∠ADC猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.新知探究性質(zhì)1

等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.ABCD已知：△ABC

中，AB=AC.求證：∠B=∠C.證法1：作底邊BC邊上的中線AD.在△ABD與△ACD中，AB=AC（已知），BD=DC（作圖），

AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.應(yīng)用格式：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）.新知探究證法2：作頂角∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D.∵AD平分∠BAC

，

∴∠1＝∠2.在△ABD與△ACD中，AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已證），

AD＝AD（公共邊），∴△ABD

≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C.ABCD((12新知探究證法3：作底邊BC的高AD，交BC于點(diǎn)D.∵AD⊥BC，

∴∠ADB

＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD與Rt△ACD中，

AB＝AC（已知），

AD＝AD（公共邊），∴Rt△ABD

≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C.ABCD新知探究如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x分析：（1）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠BDC與∠C、∠ABC呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.（2）設(shè)∠A=x，請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180°.例1典例解析解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.典例解析方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.典例解析【練習(xí)】如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.典例解析等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A例2典例解析方法總結(jié)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．典例解析建筑工人在蓋房子時(shí)，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎?等腰三角形的性質(zhì)22新知探究

想一想：

剛才的證明除了能得到∠B＝∠C,

你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角

ABDC

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B

＝∠C∠BAD

＝∠CAD∠ADB

＝∠ADC=90°新知探究性質(zhì)2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）.ABCD((12

填一填:根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理2完成下列填空.在△ABC中，

AB=AC時(shí).

（1）∵AD⊥BC,∴∠_____=∠_____，____=____.（2）∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.（3）∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新知探究畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？三線合一新知探究1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（X）（X）（X）（X）（√）（√）辨一辨新知探究已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.（1）如圖1，若AD＝AE，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，

求證：AF⊥BC.圖2圖1例3典例解析證明：（1）如圖1，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.（2）∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖2圖1G典例解析方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．典例解析2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B當(dāng)堂練習(xí)3.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為_____________；(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為_______________________；(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為_

_______________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°當(dāng)堂練習(xí)4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．ABCABC70°或20°注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)堂練習(xí)5.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度數(shù).ABCD解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∴

∠C=

∠B=30°，∠BAD=∠DAC，∠ADC=90°.

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∴=60°.當(dāng)堂練習(xí)6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴當(dāng)堂練習(xí)探索拓展A、B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)C的位置．