《導數的概念》說課稿和教案

《導數的概念》說課稿教學內容分析本節(jié)課的教學內容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（A版）數學選修2－2第一章第一節(jié)的《變化率與導數》，《導數的概念》是第2課時．1．導數的地位、作用導數是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限，反映了函數變化的快慢程度．導數是求函數的單調性、極值、曲線的切線以及一些優(yōu)化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式起著重要作用．導數概念是我們今后學習微積分的基礎．同時，導數在物理學，經濟學等領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具.2．本課內容剖析教材安排導數內容時，學生是沒有學習極限概念的．教材這樣處理的原因，一方面是因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認識的基礎上學習．所以，讓學生通過學習導數這個特殊的極限去體會極限的思想，這為今后學習極限提供了認識基礎．另一方面，函數是高中的重要數學概念，而導數是研究函數的有力工具，因此，安排先學習導數方便學生學習和研究函數．基于學生已經在高一年級的物理課程中學習了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導數，這是符合學生認知規(guī)律的．進行導數概念教學時還應該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速度的極限是瞬時速度過渡到函數的平均變化率的極限是瞬時變化率，我們可以向學生滲透從特殊到一般的研究問題基本思想．教學目的1．使學生認識到：當時間間隔越來越小時，運動物體在某一時刻附近的平均速度趨向于一個常數，并且這個常數就是物體在這一時刻的瞬時速度；2．使學生通過運動物體瞬時速度的探求，體會函數在某點附近的平均變化率的極限就是函數在該點的瞬時變化率，并由此建構導數的概念；3．掌握利用求函數在某點的平均變化率的極限實現求導數的基本步驟；4．通過導數概念的構建，使學生體會極限思想，為將來學習極限概念積累學習經驗；5．通過導數概念的教學教程，使學生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現事物變化規(guī)律的重要過程．教學重點通過運動物體在某一時刻的瞬時速度的探求，抽象概括出函數導數的概念．教學難點使學生體會運動物體在某一時刻的平均速度的極限意義，由此得出函數在某點平均變化率的極限就是函數在該點的瞬時變化率，并由此得出導數的概念．教學準備1．查找實際測速中測量瞬時速度的方法；2．為學生每人準備一臺Ti－nspireCAS圖形計算器，并對學生進行技術培訓；3．制作《數學實驗記錄單》及上課課件．教學流程框圖教學流程設計充分尊重學生認知事物的基本規(guī)律，使學生在操作感知的基礎上形成導數概念的表象，再通過表象抽象出導數概念，并通過運用導數概念解決實際問題使學生進一步體會導數的本質．教學的主要過程設計如下：復習準備復習準備理解平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系．體會模型感受當△t→0時，平均速度逼近于某個常數．提煉模型從形式上完成從平均速度向瞬時速度的過渡．形成概念由物體運動的瞬時速度推廣到函數瞬時變化率，并由此得出導數的定義．應用概念理解導數概念，熟悉求導的步驟，應用計算結果解釋瞬時變化率的意義．小結作業(yè)通過師生共同小結，使學生進一步感受極限思想對人類思維的重大影響．教學過程設計預計時間（分）教學內容教師活動學生活動教學評價5分鐘1．復習準備設計意圖：讓學生理解平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系，感受到平均速度在時間間隔很小時可以近似地表示瞬時速度．（1）提問：請說出函數從x1到x2的平均變化率公式．（2）提問：如果用x1與增量△x表示平均變化率的公式是怎樣的？（3）高臺跳水的例子中，在時間段里的平均速度是零，而實際上運動員并不是靜止的．這說明平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).（4）提問：用一個什么樣的量來反映物體在某一時刻的運動狀態(tài)？（5）提問：我們如何得到物體在某一時刻的瞬時速度？例如，要求物體在2S的瞬時速度，應該怎么解決？（6）我們一起來看物理中測即時速度（瞬時速度）的視頻：（7）提問：這里所測得的真的是瞬時速度嗎？（8）提問：怎樣使平均速度更好的表示瞬時速度？（9）在學生回答的基礎上講述：真正的瞬時速度根本無法通過儀器測定，我們將平均速度作為瞬時速度的近似值；為了使平均速度更好的表示瞬時速度，應該讓時間間隔盡量小．回答問題后理解：（1）．（2）．（3）學生在教師的講述中思考用什么量來反映運動員的運動狀態(tài)．（4）讓學生體會并明確瞬時速度的作用．（5）學生思考．（6）學生觀看視頻并思考．（7）期望或引導答出“是平均速度”．（8）學生回答，得出“時間間隔越小越好！”（9）學生體會教師所講結論．（1）復習過程應使學生明確函數的平均變化率表示．（2）應使學生明確平均速度與瞬時速度的關系，為下一階段實驗活動作鋪墊．15分鐘2．體會模型設計意圖：讓學生在信息技術平臺上，通過定量分析感受平均速度在時間間隔越來越小時向瞬時速度逼近的過程．（1）向學生提出數學實驗任務：已知跳水運動員在跳水過程中距離水面的高度與時間的函數h(t)=－4.9t2+6.5t+10，請你用計算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的計算并填充好表格，觀察平均速度的變化趨勢．數學實驗記錄單（1）x＞0時，在[2，2+x]內，x＜0時，在[2+x，2]內，Xx0.1－0.10.01－0.010.001－0.0010.0001－0.00010.00001－0.000010.000001－0.000001你認為運動員在t0=2秒處的瞬時速度為m/s．（2）提問：x、g(x)的含義各是什么？（3）提問：觀察你自己的實驗記錄單，你能發(fā)現平均速度有什么變化趨勢嗎？先展示一個同學的實驗結果，并讓他說說他的發(fā)現，再將計算器的結果投影，引導同學們一起觀察．（4）將學生分四個組，讓他們分別完成t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的實驗記錄單（2）的填寫，說出他們觀察的結果，并將4個結果寫列在黑板上．tt0=1.6→－9.18t0=1.7→－10.16t0=1.8→－11.14t0=1.9→－12.12t0=2→－13.1在學生實驗與觀察的基礎上指出：當趨近于0時，平均速度都趨近于一個確定的常數，這個常數就是瞬時速度．（1）學生在TI－nspireCAS上完成以下操作：（2）學生操作得出如下結果，完成數學實驗記錄單（1）的填寫：（3）讓學生講他所發(fā)現的規(guī)律．（4）學生分4個組再次實驗，分別完成本組的數學實驗記錄單（2）的填寫，并觀察平均速度的變化趨勢，回答教師的提問．（1）應使學生在技術平臺上通過多次實驗感受到平均速度在→0時趨近于一個常數，并理解這個常數的意義．（2）應使學生從感性上獲得求瞬時速度的方法．103．提煉模型設計意圖：使學生認識到平均速度當時間間隔趨向于零時的極限就是瞬時速度，為給出導數概念提煉出一個具體的極限模型．（1）提問：你認為通過實驗所得結果（常數）就是瞬時速度嗎？這個數據到底是精確值還是近似值？（2）讓學生動筆化簡t0=2對應的平均速度的表達式．（化簡結果為）（3）引導學生從化簡的表達式中發(fā)現當△t0時，－13.1．（4）讓學生動手化簡t0=1.6對應的平均速度的表達式．（化簡結果為）啟發(fā)學生歸納出結論：△t0時，平均速度所趨近的這個常數是可以得到的，它不是近似值，是一個精確值，它與變量△t無關，只與時刻t0有關．（5）提問：我們得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的瞬時速度，但這還不足以代表所有時刻的瞬時速度，能不能用同樣的辦法，得到t0時的瞬時速度？啟發(fā)學生化簡平均速度的表達式，并與學生一起總結出：．（6）教師講解：用表示所趨近的常數，即．今后把這個常數叫做在處，當趨近于0時，平均速度的極限．比如，－13.1是在處，當△t趨近于0時的極限．（1）學生思考，也可以討論．（2）學生化簡t0=2處對應的平均速度的表達式，觀察當△t0時平均速度表達式的變化趨勢．（3）學生化簡t0=1.6處對應的平均速度的表達式，觀察當△t0時平均速度表達式的變化趨勢．（3）學生化簡任意時刻t0處對應的平均速度的表達式，觀察當△t0時平均速度表達式的變化趨勢．（4）學生根據教師的講解理解平均速度的極限的意義．應使學生通過動手計算，得到平均速度在→0時趨近于一個常數，并且這個常數就是瞬時速度．使學生理解極限符號表示的意義．54．形成概念設計意圖：完成從運動物體的瞬時速度到函數瞬時變化率的過渡，形成導數的概念并給出定義．（1）給出下列圖示：（2）針對上述圖示，教師在啟發(fā)后提問：通過前面的學習，我們知道平均速度就是函數h(t)的平均變化率．瞬時速度就是函數h(t)的瞬時變化率．同時，我們已經知道：平均速度在△t→0時的極限就是瞬時速度．那么，你能否說說，一般情況下，函數的平均變化率與瞬時變化率是一個什么關系？（3）在學生理解了函數的平均變化率與瞬時變化率的關系后提問：函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？教師介紹如下的的表示方法：函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率可表示為．（4）教師給出導數的定義：函數在處的瞬時變化率稱為在處的導數，記作或，即．（1）在教師的啟發(fā)下思考函數的平均變化率與瞬時變化率之間的關系．（2）回答教師的提問．（3）理解函數導數的概念與導數的表示方法．應使學生從“平均速度的極限是瞬時速度”這個具體的模型中抽象出導數的概念，并能理解導數是一個極限，明確導數的表示．55．應用概念設計意圖：讓學生進一步理解導數概念，體會導數的應用價值，熟悉求導數的步驟．（1）提問：你能說說求函數y=f(x)在x=x0處的導數的步驟嗎？教師在學生說的基礎上要總結出步驟．（2）講解例1：將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱．如果第x(h)時，原油的溫度（單位:）為:f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).計算第2（h)和第6（h）時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．強調：第2小時的瞬時變化率為－3，說明在第2小時附近，原油大約以的速度下降．（3）提出練習：計算3h時原油溫度的瞬時變化率，表述你所得結果的意義．（1）學生思考并交流求函數在x0處的導數的步驟．（2）在教師講解完后完成教師提出的練習．（3）求出后，回答的意義．（1）檢查學生是否清楚求導數的步驟．（2）檢查學生能否準確地求出函數在某點的導數．（3）應使學生能利用計算結果解釋導數（即瞬時變化率）的意義．56．小結作業(yè)設計意圖：讓學生通過總結，進一步體會導數的意義及極限的思想，訓練學生的概括能力．通過布置作業(yè)，鞏固所學內容．（1）讓學生小結并交流．（2）教師總結：本節(jié)課學習了導數的概念，在這個過程中我們看到：數學使不可能的事情變成現實；導數的概念表明：當自變量的增量趨向于零時，函數在某點的平均變化率的無限地趨向于函數在該點的瞬時變化率，這是非常重要的極限思想．求導數的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數增量；第二步，求平均變化率并化簡；第三步，求平均變化率的極限，即導數．作業(yè)：A層：P10/2，3，4．B層：A層+補充．（補充）已知y=x3．求：（1）；（2）．思考本節(jié)課所學內容，可以彼此之間交流自己的小結，回答教師提問.（1）使學生不僅能從知識的角度看所學過的內容，還能體會到寓于知識中的數學思想與方法．（2）分層次提供作業(yè)，是為了滿足不同層次學生的需求．《導數的概念》教學說明一、教材分析導數是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限，反映了函數變化的快慢程度．導數是求函數的單調性、極值、曲線的切線以及一些優(yōu)化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式起著重要作用．導數概念是我們今后學習微積分的基礎．同時，導數在物理學，經濟學等領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具.教材安排導數內容時，學生是沒有學習極限概念的．教材這樣處理的原因，一方面是因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認識的基礎上學習．所以，讓學生通過學習導數這個特殊的極限去體會極限的思想，這為今后學習極限提供了認識基礎．另一方面，函數是高中的重要數學概念，而導數是研究函數的有力工具，因此，安排先學習導數方便學生學習和研究函數．基于學生已經在高一年級的物理課程中學習了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導數，這是符合學生認知規(guī)律的．進行導數概念教學時還應該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速度的極限是瞬時速度過渡到函數的平均變化率的極限是瞬時變化率，我們可以向學生滲透從特殊到一般的研究問題基本思想．二、教學目標及分析1．使學生認識到：當時間間隔越來越小時，運動物體在某一時刻附近的平均速度趨向于一個常數，并且這個常數就是物體在這一時刻的瞬時速度；2．使學生通過運動物體瞬時速度的探求，體會函數在某點附近的平均變化率的極限就是函數在該點的瞬時變化率，并由此建構導數的概念；3．掌握利用求函數在某點的平均變化率的極限實現求導數的基本步驟；4．通過導數概念的構建，使學生體會極限思想，為將來學習極限概念積累學習經驗；5．通過導數概念的教學教程，使學生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現事物變化規(guī)律的重要過程．上述目標中，目標1是形成概念的基礎，它提供了一個具體的導數模型．目標2是教學重點，是本節(jié)課要花近一半時間去完成的目標．目標3體現了算法思想，這是教學中應該充分重視的方面．目標4和5體現了數學育人的重要價值．三、學生分析要使學生能通過觀察發(fā)現運動的物體在某一時刻的平均速度的極限是一個不變的常數，而且這個常數就是物體在這一時刻的瞬時速度，一個非常難突破的問題就是大量平均速度的計算問題．為解決這個問題，在教學時為每個學生準備一臺Ti－nspireCAS圖形計算器，利用這種計算器的CAS功能，可以在較短的時間內解決計算問題，從而使學生有更多的時間用于觀察與發(fā)現．另外，從具體的模型中提煉出一般的概念的困難在于具體模型的數量，因此，設計本節(jié)課的教學時，在教材的基礎上增加了計算跳水運動員瞬時速度的數目，以此大大方便了學生歸納與概括．四、教法特點及預期效果本節(jié)課在教學方法的選擇上，充分尊重學生認知事物的基本規(guī)律，強調教師的啟發(fā)與學生的參與度，給學生操作感知、觀察發(fā)現的時間充分．由于技術的介入，大大方便了學生獲得導數概念的表象，因此學生通過表象抽象出導數概念的過程自然到位，并且能幫助學生更準確地理解導數的本質．《導數的概念》教案【教學目標】：理解導數的概念并會運用概念求導數?！窘虒W重點】：導數的概念以及求導數【教學難點】：導數的概念【教學過程】：一、導入新課：上節(jié)我們討論了瞬時速度、切線的斜率和邊際成本。雖然它們的實際意義不同，但從函數角度來看，卻是相同的，都是研究函數的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面導數的概念。二、新授課：1.設函數在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數相應地有增量，如果時，與的比（也叫函數的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數在處的導數，記作，即注：1.函數應在點的附近有定義，否則導數不存在。2.在定義導數的極限式中，趨近于0可正、可負、但不為0，而可能為0。3.是函數對自變量在范圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的割線斜率。4.導數是函數在點的處瞬時變化率，它反映的函數在點處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率。因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為。5.導數是一個局部概念，它只與函數在及其附近的函數值有關，與無關。6.在定義式中，設，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導數的定義式可寫成。7.若極限不存在，則稱函數在點處不可導。8.若在可導，則曲線在點（）有切線存在。反之不然，若曲線在點（）有切線，函數在不一定可導，并且，若函數在不可導，曲線在點（）也可能有切線。一般地，，其中為常數。特別地，。如果函數在開區(qū)間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數。稱這個函數為函數在開區(qū)間內的導函數，簡稱導數，也可記作，即＝＝函數在處的導數就是函數在開區(qū)間上導數在處的函數值，即＝。所以函數在處的導數也記作。注：1.如果函數在開區(qū)間內每一點都有導數，則稱函數在開區(qū)間內可導。2.導數與導函數都稱為導數，這要加以區(qū)分：求一個函數的導數，就是求導函數；求一個函數在給定點的導數，就是求導函數值。它們之間的關系是函數在點處的導數就是導函數在點的函數值。3.求導函數時，只需將求導數式中的換成就可，即＝4.由導數的定義可知，求函數的導數的一般方法是：（1）.求函數的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導數＝。例1.求在＝－3處的導數。例2.已知函數（1）求。（2）求函數在＝2處的導數。小結：理解導數的概念并會運用概念求導數。練習與作業(yè)：1.求下列函數的導數：（1）；（2）(3)(3)2.求函數在－1,0，1處導數。3.求下列函數在指定點處的導數：（1）；（2）；（3）（4）.4.求下列函數的導數：（1）（2）；（3）（4）。5.求函數在－2,0，2處的導數?！秾档谋尘啊方贪浮窘虒W目標】：理解函數的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義【教學重點】：瞬時速度、切線的斜率、邊際成本【教學難點】：極限思想【教學過程】一、導入新課1.瞬時速度問題1：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？析：大家知道，自由落體的運動公式是（其中g是重力加速度）.當時間增量很小時，從3秒到（3＋）秒這段時間內，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時間內的平均速度近似地反映小球在下落3秒時的速度.從3秒到（3＋）秒這段時間內位移的增量：從而，.從上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；當無限趨近于0時，無限趨近于29.4米/秒.此時我們說，當趨向于0時，的極限是29.4.當趨向于0時，平均速度的極限就是小球下降3秒時的速度，也叫做瞬時速度.一般地，設物體的運動規(guī)律是s＝s（t），則物體在t到（t＋）這段時間內的平均速度為.如果無限趨近于0時，無限趨近于某個常數a，就說當趨向于0時，的極限為a，這時a就是物體在時刻t的瞬時速度.2.切線的斜率問題2：P（1,1）是曲線上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，當點Q沿曲線逐漸向點P趨近時割線PQ的斜率的變化情況.析：設點Q的橫坐標為1＋，則點Q的縱坐標為（1＋）2，點Q對于點P的縱坐標的增量（即函數的增量），所以，割線PQ的斜率.由此可知，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，變得越來越小，越來越接近2；當點Q無限接近于點P時，即無限趨近于0時，無限趨近于2.這表明，割線PQ無限趨近于過點P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫做曲線在點P處的切線.由點斜式，這條切線的方程為：.一般地，已知函數的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P轉動.當點Q沿著曲線無限接近點P，即趨向于0時，如果割線PQ無限趨近于一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.此時，割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率k，也就是說，當趨向于0時，割線PQ的斜率的極限為k.3.邊際成本問題3：設成本為C，產量為q，成本與產量的函數關系式為，我們來研究當q＝50時，產量變化對成本的影響.在本問題中，成本的增量為：.產量變化對成本的影響可用：來刻劃，越小，越接近300；當無限趨近于0時，無限趨近于300，我們就說當趨向于0時，的極限是300.我們把的極限300叫做當q＝50時的邊際成本.一般地，設C是成本，q是產量，成本與產量的函數關系式為C＝C（q），當產量為時，產量變化對成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時，無限趨近于常數A，經濟學上稱A為邊際成本.它表明當產量為時，增加單位產量需付出成本A（這是實際付出成本的一個近似值）.二、小結瞬時速度是平均速度當趨近于0時的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當趨近于0時的極限；邊際成本是平均成本當趨近于0時的極限.三、練習與作業(yè)：1.某物體的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s）求它在t＝2s時的速度.2.判斷曲線在點P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.3.已知成本C與產量q的函數關系式為，求當產量q＝80時的邊際成本.4.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數關系為，求t＝4s時此球在垂直方向的瞬時速度.5.判斷曲線在（1，）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.6.已知成本C與產量q的函數關系為，求當產量q＝30時的邊際成本.《導數的概念習題課》教案【教學目標】：理解導數的有關概念，掌握導數的運算法則【教學重點】：導數的概念及求導法則【教學難點】：導數的概念【教學過程】一、課前預習1.在點處的導數是函數值的改變量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿與相應自變量的改變量＿＿的商當＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.若在開區(qū)間（a，b）內每一點都有導數，稱為函數的導函數；求一個函數的導數，就是求＿＿＿＿＿；求一個函數在給定點的導數，就是求＿＿＿＿.函數在點處的導數就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.常數函數和冪函數的求導公式：4.導數運算法則：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，則：二、舉例例1.設函數，求：（1）當自變量x由1變到1.1時，自變量的增量；