2024-2025學(xué)年湖北省武漢市某中學(xué)高二（上）8月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市漢陽(yáng)一中、江夏一中高二(上)8月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在空間直角坐標(biāo)系中，五=(1,2,1)為直線/的一個(gè)方向向量，元=(2』,4)為平面a的一個(gè)法向量，且

ll/a,貝ijt=()

A.3B.-3C.1D.-1

2.已知直線a,b與平面a,￡,y,能使a_L￡的充分條件是()

A.a//a,b〃B，albB.aly,S_Ly

C.a/la,al/?D.aC\^=a,alb,be/?

3.已知事件4B互斥,它們都不發(fā)生的概率為:，且P(2)=2P(B),則P(3)=()

1462

A-3B9C9D3

4.已知甲袋中有4個(gè)白球、x個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球、4個(gè)紅球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲、乙

兩袋中依次不放回地各取2個(gè)球，若從甲袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個(gè)球的顏色不

相同的概率相等，貝卜=()

A.2B.4C.6或2D.8或4

5.水平放置的AABC,用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的AAB'C',其中

=OE=2,O'C=則△力BC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的

表面積為()

A.8V-37TB.16-\/~371

C.(8<3+3)兀D.(16/3+12);r

6.已知矩形ABCD中，2B=1,BC是邊BC的中點(diǎn).4E和8。交于點(diǎn)M,將AABE沿4E折起，在翻折

過程中當(dāng)4B與MD垂直時(shí)，異面直線B4和CD所成角的余弦值為()

7.已知EF是棱長(zhǎng)為8的正方體的一條體對(duì)角線，空間一點(diǎn)M滿足福?而=-40,4B是正方體的一條棱,

則祠?四的最小值為()

A.16(72-4)B.16(2-72)C.16(4-/2)D.16(/2-2)

8.在四棱錐P—A8CD中，力。=2,AB=BC=CD=1,AD//BC,5.PA=PC,PB=PD,則直線PA與

平面PBD所成角的正弦值的最大值為()

142

A-3B-5C3D1

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.設(shè)4,B為古典概率模型中的兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為()

A.若P(a)=g,P(B)=p則當(dāng)且僅當(dāng)PQ4+B)=泄，4、B是互斥事件

B.若P(4)=,P(B)=I，則4+B是必然事件

C.若。(4)=pP(B)=貝UPQ4+B)=(時(shí)4B是獨(dú)立事件

D.若p")=9,P(B)=p且P(ZB)=J,則力，B是獨(dú)立事件

10.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50?350KW-八之間，進(jìn)行適

當(dāng)分組后(每組為左閉右開區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右

依次為既(=1,2,…,6),則()

A.x的值為0.0044

B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175

C.用電量落在區(qū)間[150,350)內(nèi)的戶數(shù)為75

D.這100戶居民該月的平均用電量為￡L(50i+25應(yīng)

11.已知正方體力BCD-的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P滿足/=4瓦+〃西，其中26[0,1],“6[0,1],點(diǎn)

E、F分別是DA、久久的中點(diǎn)，下列選項(xiàng)不正確的是()

A.當(dāng)2=1時(shí)，AABiP的面積為定值

B.當(dāng)/L+〃=g時(shí)，三棱錐P-GEF的體積為定值

C.存在0<4<2<1使得&D與平面48P所成的角為45°

D.當(dāng)〃=手寸，存在點(diǎn)P,使得4/1平面力

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.一組數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5,5,5,6,6,7,8,9,9,10的眾數(shù)為a,第三四分位數(shù)為6,則a+b=

13.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲

勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為全乙發(fā)球時(shí)乙得分的概

率為全各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局打成10：10后，甲先發(fā)球，則甲以13：11獲勝的概率為.

14.已知三棱錐S-4BC中，頂點(diǎn)S在底面的射影恰好是AABC內(nèi)切圓的圓心，底面△ABC的最短邊長(zhǎng)為6.若

三個(gè)側(cè)面面積分別為3后,4，萬,5，西，4729,5，函，則頂點(diǎn)S到底面4BC的距離為；三棱錐

S-2BC的外接球的表面積為_____.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為

P乙每輪猜對(duì)的概率為|.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求：

4J

(1)甲在兩輪活動(dòng)中恰好猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率；

(2)“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率.

16.(本小題12分)

O

如圖，AEL^^ABCD,CF//AE,AD〃BC,ADLAB,AB=AD1,AE=BC=2,CF=].

(1)求證：BF〃平面ADE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(3)求二面角E-BD-F的正弦值.

B

17.(本小題12分)

某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100

份作為樣本，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：［40,50),［50,60),…，

［90,100］得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績(jī)的第80百分位數(shù)；

⑶已知落在［50,60)的平均成績(jī)是51,方差是7,落在［60,70)的平均成績(jī)?yōu)?3,方差是4,求兩組成績(jī)的總

平均數(shù)和總方差.

18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—HBCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Z.BAD=60°,△24。是正三角形，E為線段

4。的中點(diǎn).

⑴若PB中點(diǎn)為G,求證：EG〃平面PCD；

(2)若平面PAD1平面2BCD,點(diǎn)F為面PCD上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)F恰為PC中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值;

②若點(diǎn)H是平面PBE內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求DH+FH的最小值.

19.(本小題12分)

隨著科技的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)也隨之成熟，網(wǎng)絡(luò)安全也涉及到一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)，金融，政治等安全.為提高中學(xué)生

的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和信息技術(shù)能力，某中學(xué)組織了一次信息技術(shù)創(chuàng)新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規(guī)

定時(shí)間內(nèi)獨(dú)自對(duì)兩份不同的加密文件進(jìn)行解密，每份文件只有一次解密機(jī)會(huì).已知甲每次解開密碼的概率為

?(!<?<1),乙每次解開密碼的概率為0Gws<1),每次是否解開密碼也互不影響,設(shè)&=｛甲成功解密

一份文件｝,A2=｛甲成功解密兩份文件｝,Bi=｛乙成功解密一份文件｝,B2=｛乙成功解密兩份文件｝

(I)已知概率P(4)=|,

(i)求a,￡的值.

(ii)求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率.

(II)若3+"=3,求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值.

參考答案

l.B

2.C

3.C

4.C

5.B

6.D

1.D

8.C

9.ACD

10.49

11.ACD

12.13

13-

J-6

14.51017T

15.1?：(1)根據(jù)題意，設(shè)4表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)成語(yǔ)的事件，

甲每輪猜對(duì)的概率為則猜錯(cuò)的概率為1W，

min,”、31,133

則P(&)=4X4+4X4=8,

(2)設(shè)4,4分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，Bi，%分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事

件，

C,,、31,133..,3.9

P(4)=不義/4義4=/(nz42)=Q)7=77.

2112424

-

PBQ3-3-9--9-

設(shè)4="兩3-輪活3-動(dòng)，星隊(duì)，猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”,則2=U慰當(dāng),且4/2與4互斥，&與殳，4與8］分別

相互獨(dú)立，

所以P(A)=P(&B2)+P(4B1)=P(4)PCB2)+P(4)P(B1)=§x?+^x^=^-

因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是

16.解：(1)因?yàn)镃F//2E,CFC平面ADE,AEu平面ADE,

所以CF〃平面ADE,同理可知CB〃平面4DE,

因?yàn)镃Fn8C=C,所以平面BCF〃平面2DE,

因?yàn)锽Fu平面BCF,

所以8F〃平面4DE；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

得麗=(-1,1,0)>~BE=(-1,0,2).~BE=(-1,0,2),C￡=(-1,-2,2),BF=(0,2,今

設(shè)n=(x,y,z),

為平面BDE的法向量，貝4記.絲=―尤+丫=°,

In-BE=—x+2z=0

不妨令z=l,則道=(2,2,1)，

設(shè)直線CE與平面BDE所成角為仇

所以sin。=|cos<CE,n>\=工迪=廠子了于汽=4

1，?\CE\\n\V1+4+4XV4+4+19

所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值為小

(3)設(shè)記=(a,6,c)為平面BD尸的法向量,

(—a+b=0

貝嘴票上即卜6+畀=0

不妨令c=7,可得訪=(-4,-4,7),

2x44-2x4-71

所以cos<m,n>=

<9xV^l5'

所以二面角E-BD-F的正弦值為孚.

17.解：(1)???每組小矩形的面積之和為1,

???(0.005+0.010+0.020+a+0,025+0,010)x10=1,

a=0.030.

(2)成績(jī)落在［40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0,030)X10=0.65<0.8,

成績(jī)落在［40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)X10=0.9>0.8,

.??第80百分位數(shù)落在［80,90)內(nèi),

設(shè)第80百分位數(shù)為小，貝！|0.65+(m-80)x0.025=0.8,

解得m=86,

即第80百分位數(shù)為86.

(3)由圖可知,成績(jī)?cè)冢?0,60)的人數(shù)為100x0.1=10,

成績(jī)?cè)冢?0,70)的人數(shù)為100x0.2=20,

故兩組成績(jī)的總平均數(shù)為處需產(chǎn)=59,

總方差為五兩［10X(51-59)2+10x7+20x(63-59)2+20x4］=37.

18.解：(1)證明：取PC中點(diǎn)Q,連接QD,

1

???DE//BC,DE=^BC,DE//GQ,DE=GQ,

???四邊形EGQD為平行四邊形，

EG//DQ,-：EGC平面PCD,DQu平面PCD,

EG〃平面PM

(2)①取CD的中點(diǎn)連接BM,FM,

p

1

???F為PC中點(diǎn)，MF//PD,MF=^PD=1,

NBFM就是異面直線BF和PD所成的角或所成角的補(bǔ)角，

?.?平面PAD_L平面力BCD,

平面PADCl平面ABC。=AD,PE1AD,ADC^^ABCD,

PE_L平面ABC。，BEu平面ABC。，

PE1BE,???菱形48CD的邊長(zhǎng)為2,ABAD=60°,

.?.△PAD與A4BD、△BCD是全等的正三角形，

M.E分別為CD、4D的中點(diǎn)，

PE=BE=BM=v"3.

.?.在Rt△PBE中，PB=y]PE2+BE2=

在RtAPBC中，PC=VPB2+BC2=/IO,

??PC/10

BF=—=——,

@VAD1PE,AD1BE,PECBE=E,BEu平面PBE,

■-?AD1平面PBE,又?:E為線段AD的中點(diǎn)，

???DH=AH,

DH+FHAH+FH,

.?.要使。"+FH最小只需4F最短即可，即為2點(diǎn)到面PCD的距離h,

在△P￡)?,PC=/To.PD-PC=2,

SAPDC=IX6UXJ4-y=雪，

,..pcpc

在RtANFC中，cos乙FCN=答=；,

NC4

;^P-ACD=^A-PCD'

1￡1厚

XX2X2X-XhX

-22-32

解得九