蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題6.46《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固(知識講解)

【學(xué)習(xí)目標】

1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對

應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的

判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位

似變換后點的坐標的變化；

4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力

和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知識解決問題的能力.

【要點梳理】

【知識點一】成比例線段

1、定義：四條線段a,b,c,d中，如果。與b的比等于c與d的比，即幺=￡,那么這

bd

四條線段a/,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段。

2、性質(zhì)：

⑴基本性質(zhì)：如果"那么〃=如反之，若〃=*3〃,城都不等于0),

那么

bd

/八3上racm7八\,a+c-\----\-ma

(2)寸比性質(zhì)：如果——————?,,——(b+d+???+〃W0),那么------------———

bdnb+d-\\-nb

/、人6/c.a+bc+da-bc-d

(3)合比性質(zhì)：如果m一=—,那么----=-----,-----=-----

bdbdbd

【知識點二】平行線分線段成比例

1、定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例

2、推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例

【知識點三】相似多邊形

1、定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)

邊的比叫做相似比

2、性質(zhì)：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

【知識點四】相似三角形

1、定義：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形

2、判定：

(1)兩角分別相等的兩個三角形相似

(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

(3)三邊成比例的兩個三角形相似

3、性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

(3)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

【知識點五】黃金分割

點C把線段A5分成兩條線段AC和BC(AC>BC\,如果把=生，那么稱線

')ABAC

段A5被點。黃金分割，點C叫做線段A3的黃金分割點，AC與A3的比叫做黃金比，

即AC:0.618:1

A-------------------------------------------B

C

【知識點六】位似圖形

1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點P,P'所在的直線都經(jīng)過同

一點。，且有。P=匕0。仕wO),那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點。叫做位

似中心

2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比

3、畫圖步驟：

(1)尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點關(guān)于中心的對應(yīng)點；③描出

新圖形

(2)坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同

一個數(shù)左仕。0),所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比

為同

【典型例題】

類型一、成比例線段和平行線分線段成比例

1.已知三條線段a,b,c滿足］='!=*，且“+》+c=17.

(1)求a,b,c的值；

(2)若線段d是線段〃和人的比例中項，求d的值.

【答案】(1)a=6,。=4,c=7；(2)d=2&

【分析】⑴設(shè)4=：=丁=后，用含k的代數(shù)式分別表示出a,b,c,再由a+b+c=17,

建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值，從而可求出a,6,c的值.

(2)由已知線段d是線段。和6的比例中項，可得到d2=ab,代入計算求出d的值.

解：(1)解：-1-―^―=k

；.a=3k,b=2k,c+l=4k即c=4k-l

a+b+c=17

A3k+2k+4k-l=17

解之：k=2

a=6,b=4,c=7.

(2)解：，.,線段d是線段。和力的比例中項

.-.d2=ab=6x4=24

解之：d=2Ve.

【點撥】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用“設(shè)七法”用左表示出4、b、C可以使

計算更加簡便.

【變式1］已知〃:)=2:3,。:0=3:4,且2。+6-。=6,求。，仇。的值

【答案】a=4,b=6fc=8.

【分析】根據(jù)比的性質(zhì)，可得a,b,c用k表示，根據(jù)解方程，可得k的值，即可得答

案.

解：,:a;b=2:3,Z?:c=3:4,

?,?設(shè)a=2左，b=3k,c=4k,

工2?(2左)+3左一4左=6,整理得：3左=6,

角畢得：k=2,

a=2k=4,b=3k=6,c=4k=8.

【點撥】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出，=2左，b=3k,。=4左是解題

關(guān)鍵.

【變式2】如圖所示，以長為2的定線段A2為邊作正方形A3CD,取AB的中點P,連

接尸￡),在54的延長線上取點尸，使PF=PD,以AF為邊作正方形產(chǎn)，點M在AO上.

(1)求AM,的長；

(2)點M是AD的黃金分割點嗎？為什么？

【答案】(1)AM=4l,DM^3-45；(2)是，理由見分析

【分析】(1)要求AM的長，只需求得AF的長，又AF=PF-AP,PF=PD=-J^i=布，

則4211=4尸=石一1,DM=AD-AM=3-y/5;

(2)根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)得：4竺=必二1,根據(jù)黃金分割點的概念，則點M是的

AD2

黃金分割點.

解：(1)在RtAAPZ)中，AP=1,AD=2,

由勾股定理知PD=y/AD2+AP2=-J4+1=M，

:,AM=AF=PF-AP=PD-AP=y/5-l,

DM=AD-AM=3-45.

故AM的長為君-1,。欣的長為3-君；

(2)點M是AD的黃金分割點.

由于坐=在二1

AD2'

，點"是AD的黃金分割點.

【點撥】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念.先求得線段AM,

0M的長，然后求得線段AM和A。，?！ê虯M之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進行判斷.

DE2

2.如圖，已知AD/7BE/7CF,它們以此交直線li、b于點A、B、C和D、E、F.若一=-,

EF5

AC=14,

(1)求AB的長.

(2)如果AD=7,CF=14,求BE的長.

【答案】(1)410(2)9

(1)根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例可得黑=絲=女，從而可

BCEF5

AR?

得行=亍，再由AC=14即可求出AB的長；

AC/

(2)過點A作AG〃DF交BE于點H,交CF于點G,運用比例關(guān)系求出BH及HE

的長，然后即可得出BE的長.

解：(1)??，AD〃BE〃CF,

.ABDE2

**BC-EF_5J

.AB2=2

a?=------—,

AC2+57

VAC=14,

AABM,

(2)過點A作AG〃DF交BE于點H,交CF于點G,如圖所示：

又,.?AD〃BE〃CF,AD=7,

.\AD=HE=GF=7,

VCF=14,

ACG=14-7=7,

VBE/7CF,

.BHAB_2

**CG-AC-7?

???BH=2,

ABE=2+7=9.

【點撥】本題考查平行線分線段成比例的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直

線，所得的對應(yīng)線段成比例.

【變式1］如圖，已知AD//BE//CF,它們依次交直線已4于點A、8、(2和點口、E、

F,且AB=6,BC=8.

(1)求二的值;

(2)當AD=5,CF=19時，求BE的長.

3

【答案】(1)(2)11

DFAR

【分析】(1)根據(jù)AD//BE〃CF可得冬=三，由此計算即可；

DFAC

(2)過點A作AG〃DF交BE于點H,交CF于點G,得出AD=HE=GF=5,由平行

線分線段成比例定理得出比例式求出BH=6,即可得出結(jié)果.

解：⑴VAD//BE//CF,

.DEAB

??一,

DFAC

VAB=6,BC=8,

?DE6_3

**5F-6+8-75

故器DF的值為方3；

(2)如圖，過點A作AG//DF交BE于點H,交CF于點G,

VAG//DF,AD//BE//CF,

AAD=HE=GF=5,

VCF=19,

.,.CG=CF-GF=14,

VBE//CF,

.BHAB

"CG-AC?

.BH_3

??一,

147

解得BH=6,

.,.BE=BH+HE=11.

【點撥】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成

比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出BH是解

決問題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在AABC中，點。是邊A3上的一點.

(1)請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)，求作NADE,使ZADE=ZB,DE交AC于E；

(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

AL)Ar

(2)在(1)的條件下，若黑=2,求等的值.

DDEC

【答案】(1)見分析；(2)能AE=2.

EC

【分析】(1)以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交BA、BC于點F、G,以點D為

圓心，以BF長為半徑畫弧，交DA于點M,再以M為圓心，以FG長為半徑畫弧，與前弧

交于點H,過點D、H作射線，交AC于點E,由此即可得；

(2)由(1)可知DE//BC,利用平行線分線段成比例定理進行求解即可.

解：⑴如圖所不；

(2)VZADE=ZB,

：.DE//BC.

.AEAD

?.——------z.

ECDB

【點撥】本題考查了作一個角等于已知角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握利用尺

規(guī)作一個角等于已知角的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

類型二、相似三角形判定和性質(zhì)

3.如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD是邊AB上的中線，E尸垂直平分CD,分別

交AC,BC于E,F,連接DE,DF.

(1)求證：AOCEsaOFD.

(2)當A￡=7,圻'=24時，求線段的長.

E

D.

/\yo

B尸c

【答案】（1）見分析（2）EF=25

【分析】（1）如圖（見分析），先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得NEOC=NDOF=90°,

ED=EC,FD=FC,再根據(jù)三角形全等的判定定理證出AEER-AECF,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)可得Nl=/2,從而可得N4=N2=4,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）如圖（見分析），延長FD至G,使DG=D尸，連接AG,EG,先根據(jù)線段垂

直平分線的判定與性質(zhì)可得EG=EF,再根據(jù)三角形全等的判定定理證出AADG=ABDF,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AG=3b=24,Z7=ZB,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得

/E4G=90。，最后在RtZkAEG中，利用勾股定理即可得.

（1）證明：：所垂直平分8,

AZEOC=ZDOF=90°,ED=EC,FD=FC,

在△￡?尸和中，

ED=EC

<FD=FC,

EF=EF

:.AEDF=AECF（SSS）,

，Z1=Z2,

VZACB=90°,NEOC=9Q。,

AZ2+Z3=Z3+Z4=90°,

/.Z4=Z2=Z1,

在和△OED中，

jZEOC=ZDOF=90°

iN1=N4

tJJCE-tJJFD.

(2)解：如圖，延長FD至G,使OG=D尸，連接AG,EG.

則即垂直平分FG,

,\EG=EF,

???CD是邊AB上的中線,

???AD=BD,

在△ADG和^BDF中，

DG=DF

<Z6=Z5,

AD=BD

：.AADG三ABDF(SAS),

AAG=BF=24,〃=/B,

:.AGHBC,

???ZEAG=180。一ZACB=90°,

；?EG=^AE2+AG2=772+242=25，

EF=25.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分

線的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題(2),構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式I】如圖，四邊形ABCD中，AC平分/DAB,ZADC=ZACB=90°,E為AB

的中點,

(1)求證：AC2=AB-AD；

(2)求證：CE〃AD；

(3)若AD=4,AB=6,求王的值.

AF

AC7

【答案】（1）見分析（2）見分析（3）片=:

AF4

【分析】（1）由AC平分ND42,ZADC^ZACB=90°,可證得△ADCs/vicg,然后

由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=ABXD

（2）由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可

證得CE=^AB=AE,從而可證得ND4C=NECA,得至（JCE//AD.

AF

（3）易證得尸巳然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的值，從而

CF

AC

得到能的值.

AF

（1）證明：:AC平分

???ZDAC=ZCAB.

?.?ZADC=ZACB=90°

：.AADC^AACB.

.ADAC

'*AC-AB

即AC2=AB^AD.

（2）證明：???E為AB的中點

：.CE=^AB=AE

：.ZEAC=ZECA.

ZDAC=ZCAB

：.ZDAC=ZECA

J.CE//AD,

(3)解：9：CE//AD

???AAFD^ACFE

.AD_AF

**CE-CF*

?：CE=；AB

：.CE=^x6=3.

VAD=4

.4_AF

"3-CF

.AC_7

??=.

AF4

【變式2】如圖，在小ABC中，

（1）求作：ZBAD=ZC,AD交BC于D.（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求

寫作法）.

（2）在（1）條件下，求證：AB2=BD?BC.

【答案】（1）作圖見分析；（2）證明見分析；

【分析】（1）①以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交CB、CA于E、F；②以A為圓

心，CE長為半徑畫弧，交AB于G；③以G為圓心，EF長為半徑畫弧，兩弧交于H；④連

接AH并延長交BC于D,貝"BAD=NC；（2）證明△ABDs/kCBA,然后根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)得到結(jié)論.

(2)VZBAD=ZC,ZB=ZB

AABD^ACBA,

.".AB：BC=BD：AB,

.".AB2=BD?BC,

【點撥】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個

角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂

線).也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

4.如圖，在AABC中，過點C作CD//AB,E是AC的中點，連接DE并延長，交AB

于點F,交CB的延長線于點G,連接AD,CF

(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形.

【答案】（1）證明見分析；（2）AB=6.

【分析】。）由E是AC的中點知AE=CE,由AB〃CD知/AFE=/CDE,據(jù)此根據(jù)

“AAS”即可證AAEF絲ACED,從而得AF=CD,結(jié)合AB//CD即可得證；

⑵證AGBFSAGCD得,據(jù)此求得CD=q,由AF=CD及AB=AF+BF可得

GCCD2

答案.

解：（1）：E是AC的中點，

/.AE=CE,

-.-AB//CD,

"AFE=/CDE,

在△AEF和中，

ZAFE=ZCDE

/AEF=ZCED,

AE=CE

.-.△AEF咨ACED（AAS）,

.-.AF=CD,

又AB//CD,即AF//CD,

，四邊形AFCD是平行四邊形;

(2)-.-ABZ/CD,

/.△GBFs△GCD,

3

GBBF

即3二］,

GC-CD

3+6-CD

9

解得：CD=1,

,/四邊形AFCD是平行四邊形,

9

，AF=CD=—,

2

93

...AB=AF+BF=—+—=6.

22

【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1】已知：如圖6,菱形ABCD,對角線AC、BD交于點O,BE±DC,垂足為

E,交AC于點F.

ACBD

求證：（1）△ABFs/iBED；（2）求證:

~BE~~DE

【答案】（1）證明見分析；（2）證明見分析.

解：（1）??,四邊形ABCD是菱形,

AAC±BD,AB/7CD,

AAABF^ACEF,

VBE±DC,

???NFEONBED,

由互余的關(guān)系得：ZDBE=ZFCE,

.,.△BED^ACEF,

???AABF^ABED；

(2)?.?AB〃CD,

.AF_BF

??~―，

ACBE

.AC_AF

??一,

BEBF

AABF^ABED,

.BDAF

"DE"BF'

.ACBD

"BE-DE

【變式2】如圖，已知口ABCD.

（1）用直尺和圓規(guī)在BC邊上取一點E,使AB=AE,連結(jié)AE；（保留作圖痕跡，不

寫作法）

（2）在（1）的前提下，求證：AE=CD；0EAD=0D；

（3）若點E為BC的中點，連接BD,交AE于F,直接寫出EF：FA的值.

【答案】（1）見分析（2）證明見分析（3）1:2

分析：（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，該圓與BC的交點即為所求的點E;（2）根據(jù)

平行四邊形的對邊互相平行可得AD〃BC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得

NAEB=NEAD,根據(jù)等邊對等角可得/ABE=/AEB,即可得證；（3）由四邊形ABCD是平行

四邊形，可證得△BEF^AAFD即可求得EF：FA的值.

解：（1）如圖所示:

（2）證明：在平行四邊形ABCD中，AD0BC,

00AEB=0EAD,

0AE=AB,

0EABE=0AEB,

00B=0EAD,

回團B二團D,

回團DAE二回D；

(3)解：團四邊形ABCD是平行四邊形,

回AD團BC,AD=BC,

團團BEF豳AFD,

.團—EF=—BE,

FAAD

HE為BC的中點，

0BE=—BC=—AD,

22

0EF：FA=1：2.

【點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊

形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.如圖，在AABC中，點。、點E分別在AC、A3上，點尸是上的一點，聯(lián)結(jié)

并延長交AC于點尸，且ZA=NEPB=NECB.

⑴求證：BEBA=BPBD；

(2)若NACB=90。，求證：CPLBD.

【答案】(1)見分析(2)見分析

【分析】(1)證明△P3E和△ABD相似，即可證明.

(2)先證明再證明△尸BCSACBD,得到/3PC=N8CD=90。，即

可證明.

(1)證明：?;ZA=NEPB,ZPBE=AABD,

:.APBESAABD,

.BEBP

,?訪一正

:.BEBA=BPBD.

(2)證明：?.?ZA=ZECB,ZABC=ZCBE,

.-.△ABCsMBE,

BCBA

,?版一拓’

:.BEBA=BC2,

又；BEBA=BPBD,

：.BC2=BPBD,

BCBP

…詬一說’

?:NPBC=NCBD,

:ZBCs.CBD,

ZACB=90°,

:.ZBPC=ZBCD=90°,

:.CPLBD.

【點撥】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成

比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過適當?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見A角相等“

的形式.

【變式1】已知NADE=/C,AG平分的。交DE于尸，交8C于G.

(1)求證：AADF-AACG；

AF2

(2)連接。G,若OG〃AC,-=-,AD=6,求CE的長度.

AG5

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；

(2)由(1)的結(jié)果和平行線的性質(zhì)證明AB4CSABAC,進而可得AACG為等腰三角

形，最后證明并結(jié)合相應(yīng)的計算即可解答.

(1)證明：?.,AG平分ZBAC,

:.ZDAF=ZCAG,

.-.△ADF-AACG；

(2)解：VAADF^AACG,

ADAF_2

,AC-AG-5?

.AC=-AD=15

2f

：DG//AC,

\ZAGD=ZCAG,△BOG?△BAC,

BGDGBD

~BC~~\C~BA'

：AG平分ZBAC,

：.ZDAG=ZCAGf

,\ZAGD=ZDAG,

為等腰三角形,

.\DG=AD=6f

BGDGBD_2BD_2

即

BC~~\C~BA-5BD+6~5

解得：BD=4,

.\AB=10f

?；ZADE=NC,NDAE=NCAB,

:\ADE-AACBf

ADAE_6_2

,AC-AB_15-55

/.AE=—AB=4,

:.CE=AC-AE=11.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰

三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上的定理并熟練的運用.

【變式2】如圖，NA=/C=NEDF,。/=4,CD=AD=6；

(1)求AE的長.

(2)求證：AADEs4DFE.

B

【答案】(1)9(2)見分析

【分析】(1)依題意得出NADE=/CFL>,ZC=ZA,據(jù)此可得出△

由相似的性質(zhì)即可得出答案；

AEDE3

(2)由——=——=-,及/A=/EDF,可證得△A￡)￡s△￡)/?￡

ADDF2

9

(1)解：：ZC=ZEDFfZC+ZCFD+ZCDF=180°,ZEDF+ZADE+ZCDF=

180°,

ZADE=ZCFDf

'：ZC=NA,

:./\ADE^/\CFDf

.AD_AE

'9~CF~~CD'

TC尸=4,CD=AD=6,

.6AE

??一，

46

：.AE=9.

(2)證明：9：AE=9,AO=6,

.AE_9_3

"AD-6-2)

,:AADE^ACFD,

.DEAE_93

**DF-CD-6-2?

.AE_DE

??茄-

NA=NEDF,

:.LADEsLDFE.

【點撥】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法以及根據(jù)相

似三角形性質(zhì)列出比例式進行求解是解題的關(guān)鍵.

類型三、相似三角形拓展與提升

6.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4cm,點尸從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒

行cm的速度向終點B運動，同時動點。從點2出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點

C運動，設(shè)運動的時間為f秒.

⑴如圖①，若尸。_L8C,求f的值；

(2)如圖②，將△2℃沿BC翻折至△「℃,當f為何值時，四邊形QPCP為菱形？

_4

【答案】(1)當/=2時，尸50(2)當/的值為§時，四邊形QPCP為菱形

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出A3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

(2)作尸DL5C于。，/石，AC于￡,證明出AABC為直角三角形，進一步得出AA尸石

和AP9為等腰直角三角形，再證明四邊形為矩形，利用勾股定理在RtZ\PCE、

中，結(jié)合四邊形QPCP為菱形，建立等式進行求解.

VZACB=90°,AC=BC=4cmf

???A8=JAC?+BC?=J42+42=4應(yīng)(cm)

由題意得，AP=也tcm,BQ=tcm,

則BP=(45/2-V2Ocm,

VPQXBC,

：.ZPQB=90°,

：.ZPQB=ZACB,

：.PQ//AC,

(ZBPQ=ZBAC

[ZBQP=ZBCA"

:.^BPQ^^BAC,

,B^_BQ

??拓一茄’

,4-V2Zt

一4&

解得：t=2,

.,.當r=2時，PQ1BC.

（2）解：作尸D_LBC于。，PE_LAC于E,如圖,

AP=4it>BQ=tcm,（0?t<4）

vZC=90°,AC=BC=4cm,

；.A4BC為直角三角形，

\NA=?B45?,

.-.A4PE和APBD為等腰直角三角形，

/.PE=AE=AP=tcm,BD-PD,

2

CE=AC-AE=cm,

四邊形PECO為矩形，

PD=EC=（4-t）cm,

BD=（A-t^cm,

QD—BD—BQ=（4-2r）cm,

在Rt△尸CE中，PC2=PE2+CE2=t2+（4-t）2,

在Rt^PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=（4-Z）2+（4-2r）2,

四邊形。尸。尸為菱形，

PQ=PC,

2222

.?,r+（4-r）=（4-r）+（4-2r）,

4

，乙=1，t2=4(舍去).

??./的值為4(

【點撥】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線

段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

【變式1】已知，點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊A3、BC、CD、AQ上.

(1)如圖1,當四邊形EFG//是正方形時，求證：AE+AH=AB-,

(2)如圖2,已知=CF=CG,當AE、C尸的大小有關(guān)系時，四邊

形EFG”是矩形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、EH相交于點。，OE.OF=4:5,已知正方形ABCD的邊

長為16,FH長為20,當△(?以/的面積取最大值時，判斷四邊形跳＜汨是怎樣的四邊形？

證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見分析(2)AE=CF(3)平行四邊形，證明見分析

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)證得NBE尸=N4"E,根據(jù)角角邊證明

AAEH^ABFE.

(2)當=證得△AE/fg/XFCG,是等腰直角三角形，

NHEF=/EFG=9Q°,即可證得四邊形EPGH是矩形.

(3)利用正方形的性質(zhì)證得AEGD為平行四邊形，過點H作垂足為點

交EG于點N,由平行線分線段成比例，設(shè)OE=4x,OF=5x,HN=h,則可表示出HN,

從而把△OEH的面積用尤的代數(shù)式表示出來，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值，則可得OE=OG,

OF=OH,即可證得平行四邊形.

解：(1)???四邊形ABCD為正方形，

NA=/3=90°,

Z.ZAEH+ZAHE=90°.

:四邊形EFG〃為正方形,

；?EH=EF,ZHEF=9伊,

：.ZAEH+NBEF=90°,

:.ZBEF=ZAHE.

在和△5FE中，

VZA=ZB=90°,ZAHE=ZBEF,EH=FE,

AAEH^^\BFE.

/.AH=BE.

AE-^AH=AE-^BE=AB；

(2)AE=CF；證明如下：

???四邊形ABC。為正方形，

JZA=N3=90。，AB=BC=AD=CD,

*：AE=AH9CF=CG,AE=CF,

:,AH=CG,

：.AAEH^AFCG,

：.EH=FG.

'：AE=CFf

：.AB~AE=BC-CFfBPBE=BF,

???/XEB/是等腰直角三角形，

???/BEF=/BFE=45。,

'：AE=AHfCF=CG,

：.ZAEH=ZCFG=45°,

：.ZHEF=ZEFG=90°f

：.EH//FG,

???四邊形MGH是矩形.

(3),?,四邊形ABC。為正方形，

JAB//CD.

VAE=DG,AE//DG,

???四邊形AEG。為平行四邊形.

???AD//EG.

：.EG//BC.

過點H作加垂足為點交￡G于點N,

.HNHO

OE:OF=4:5f

h20-5X

設(shè)OE=4x，OF=5x,HN=h,貝!J-7=---------，

1620

/z=4(4-x).

11

S=--OE-fflV=--4x?4(4-x)=-8(x-2)92+32.

?,?當％=2時，△QEH的面積最大，

OE=4x=8=~EG=OG,OF=5x=10=-HF=OH,

22

四邊形EFGH是平行四邊形.

【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線分

線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，有一定

的綜合性，解題的關(guān)鍵是熟悉這些知識并靈活運用.

【變式2】已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有

公共點A.

2CE

⑴如圖1,當點G在AD上，尸在A2上，求正茄的值為多少;

(2)將正方形A/郎繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)儀0°<a<90。)，如圖2,求：三CF的值為多

DCr

少；

(3)48=80，AG=與AD,將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<e<360。),

當C,G,E三點共線時，請直接寫出OG的長度.

【答案】⑴2⑵血⑶4血-4亞或4#+4行

【分析】(1)根據(jù)題意可得GE〃OC,根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；

AQ4n1

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，可得二三=二"=~/^，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ND4G=NC4E,

AEAC<2

進而證明△G4Ds4E4c,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)分兩種情況畫出圖形，證明△ADGS^ACE,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及

勾股定理即可得出答案.

(1)解：?.?正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A,點G在上，尸在A3上，

:.GE//DC

.AGAE

"DG-EC

.ECAE

,DG-AG

,?,四邊形AFEG是正方形

?=AE=42AG

2CEV2CE禁=后垃=2

A/2DGDG

(2)解：如圖，連接AE,

正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)?(0°<?<90°),

:.ZDAG=ZCAE

AGAD1

'A￡"AC-72

.".△GADOOA￡/4C,

.生=更=也,

DGAD

(3)解：①如圖，

,*'AB=8A/2，AG-AD,

?.AD=AB=80,AG=—x80=8,AC=血AB=16，

2

??.G,瓦。三點共線,

RtA4GC中，GC=ylAC2-AG2=A/162-82=8A/3>

:.CE=GC-GE=8幣—8,

由（2）可知氯區(qū)⑦^以。,

②如圖:

由（2）知AADGS/VICE,

.DGADy/2

：.DG=—CE,

2

:四邊形ABC。是正方形,

,?AD=BC=?>y/2，AC=yjAF2+BC1=16，

?：AG=^AD,

2

：.AG=^AD=8,

2

:四邊形AFEG是正方形，

ZAGE=90°,GE=AG=8,

VC,G,E三點共線.

ZAGC=90°

,,CG=yjAC2—AG2=A/162—82=8百，

：.CE=CG+EG=Sy/3+S,

zy

DG=上CE=476+45/2.

2

綜上，當C,G,E三點共線時，Z）G的長度為46-4亞或4指+40.

【點撥】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì),

勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

類型三、位似

7.如圖，在6x8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1,點。和△ABC的頂點均為小

正方形的頂點.

⑴以。為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△/'皮。，使△?夕。和△ABC位似，且位似比為1：

2

⑵連接⑴中的44。求四邊形/?CC的周長.（結(jié)果保留根號）

【答案】⑴見分析；⑵3+3君.

【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置即可得出答案;

（2）利用勾股定理得出各邊的長度即可得出答案.

在R304C中，04=1,00=2,得4C=J"+OC。=&+展=B

在RS0AC中，。4