高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何（解析版）

專題11立體幾何專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾

何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢？

突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.B.(1,1,1)

C.(1,—1,1)D.(―1,—1,—1)

【答案】B

【分析】由圖寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后再利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)寫出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由圖可知，點(diǎn)41,-1,-1）,所以點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,U）.

故選：B.

2.（2022春?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏

縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑=16cm,圓柱體的

高3c=8cm,圓錐體的高CD=6cm,則這個(gè)陀螺的表面積是（）

A.192兀cm?B.208TIcm2C.272Kcm2D.336TIcm2

【答案】C

【分析】結(jié)合組合體表面積的計(jì)算方法計(jì)算出正確答案.

【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為8cm,

圓錐的母線長(zhǎng)為，6?+8?=10cm，

所以陀螺的表面積是兀x8?+27tx8x8+7rx8xlO=2727rcm2.

故選：C

3.（2022秋?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，

其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”.如圖，在“陽(yáng)

馬”A-OBCD中，E為AACD的重心，若麗=￡,AC=b，AD=c，則麗=（）

【分析】連接AE并延長(zhǎng)交C。于點(diǎn)R則尸為的中點(diǎn)，利用向量的加減運(yùn)算得答案

【詳解】連接AE并延長(zhǎng)交C。于點(diǎn)憶

—.2—.

因?yàn)镋為AACD的重心，則/為CO的中點(diǎn)，且=

0O1,11

:.BE=AE-AB=-AF-AB=-x-（AC+AD]-AB=-AC+-AD-AB

332、133

=-a+—b+—c.

33

故選：B.

A

4.（2022秋?河南商丘?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）樺卯是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式,

是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式.凸出的部分叫做樺（或叫樺頭），凹進(jìn)部分叫卯（或

叫樺眼、樺槽）.現(xiàn)要在一個(gè)木頭部件制作一個(gè)梯眼，最終完成一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎結(jié)構(gòu)的部件，那么制作成的棒

眼的俯視圖可以是（）

制作卯眼的部件結(jié)果圖

【答案】B

【分析】利用排除法結(jié)合俯視圖的定義和已知條件分析判斷.

【詳解】法一：樟眼的形狀和樟頭一致，故樟眼的俯視圖的輪廓線為虛線且從結(jié)果圖可知樺眼應(yīng)為通透的,

排除AD；

又C選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)左下方部分缺了一塊，這與樺眼的結(jié)構(gòu)不符，符合條件的只有B.

法二：因禪眼的制作部件為長(zhǎng)方體，所以，C,D不正確；又棒眼應(yīng)為通透的，

所以A不正確，所以符合條件的只有B.

故選B.

5.（2021秋?江西宜春?高二上高二中校考階段練習(xí)）張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)

得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐A-3co的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面

BCD,BCLCD,且AB=CD=2,BC=1,利用張衡的結(jié)論可得球。的表面積為（）

A.30B.——C.5y/lQD.9^/10

2

【答案】D

【分析】由BCLCD,AB上底面BCD,將三棱錐A-BCD放在長(zhǎng)方體中，求出外接球的半徑以及圓周率

的值，再由球的表面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)?C_LCD,AB_/,底面367）,BC=\,AB=CD=2,

所以將三棱錐A-BCD放在長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,2的長(zhǎng)方體中,

三棱錐A-3CD的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，

外接球的直徑4）=^BC2+CD2+AB2=A/12+22+22=3，

利用張衡的結(jié)論可得廠=*,則兀=M,

168

所以球。的表面積為4兀97i=9\/10.

故選：D.

6.（2021春.陜西榆林.高三校考階段練習(xí)）“天圓地方”觀反映了中國(guó)古代科學(xué)對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)，后來(lái)發(fā)展成為

中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要思想.中國(guó)古人將琮、璧、圭、璋、璜、琥六種玉制禮器謂之"六瑞”，玉琮內(nèi)圓外方，

表示天和地，中間的穿孔表示天地之間的溝通，可以說是中國(guó)古代世界觀很好的象征物.下面是一玉琮圖及

其三視圖，設(shè)規(guī)格如圖所示（單位：cm）,則三視圖中A,B兩點(diǎn)在實(shí)物中對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)在實(shí)物玉璧上的最小

距離約為（）（萬(wàn)?3,夜。1.4）

【答案】A

【分析】玉琮的中空部分看成一圓柱,A,B兩點(diǎn)可看成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，將圓柱

側(cè)面展開，線段A3的長(zhǎng)就是沿該圓柱表面由A到8的最短距離.

【詳解】本題考查傳統(tǒng)文化與圓柱的側(cè)面展開圖.由題意，將玉琮的中空部分看成一圓柱，A,3兩點(diǎn)可看

成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，現(xiàn)沿該圓柱表面由A到B,如圖，將圓柱側(cè)面展開，可知

陰）皿=,36+4萬(wàn)2?8.4.

故選：A.

7.（2022.全國(guó)?高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣的圖形：今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈

=10尺）；若該圓錐的母線長(zhǎng)x尺，貝ijx=（）

A-B.FC?F

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出底面半徑，從而利用勾股定理即可求出該圓錐的母線長(zhǎng).

【詳解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，

,35

設(shè)圓錐的底面半徑為,，則2"=35,所以r=3，

2萬(wàn)

故選：C.

8.（2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正

多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體.如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是

一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的.若被截正方體的棱長(zhǎng)為40cm,則該阿

基米德多面體的表面積為（）

C.3600+3600V31cm2D.3600+1200V3)cm2

【答案】A

【分析】通過圖形可知阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，分別求解正

方形和等邊三角形面積，加和即可.

【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，

其中正方形邊長(zhǎng)和等邊三角形的邊長(zhǎng)均為12（）2+2。2=200；

二阿基米德多面體的表面積5=6x（20后y+8xgx200x200x5=4800+1600G（cm?）.

故選：A.

9.（2022秋.寧夏吳忠.高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）牟合方蓋是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并

采用的一種用于計(jì)算球體體積的方法，該方法不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算牟合方蓋的體積.劉徽通

過計(jì)算，“牟合方蓋”的體積與球的體積關(guān)系為一,并且推理出了“牟合方蓋”的八分之一的體積計(jì)算公

式，即烏=*_力蓋差，從而計(jì)算出％=：萬(wàn)，.如果記所有棱長(zhǎng)都為「的正四棱錐的體積為v,則5差蓬：V=

83

C.V2D.26

【答案】C

【分析】計(jì)算出小"，V，即可得出結(jié)論.

11441

【詳解】由題意，/蓋差=/一弓嗔=7-6、一'￡'獷/=?3,

oo7T5J

所有棱長(zhǎng)都為廠的正四棱錐的體積為^=Lrxrx=/

故選：C.

10.(2022秋?湖北襄陽(yáng)?高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)校考階段練習(xí))《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾

何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC-A4c中,

M，N分別是叫的中點(diǎn)，G是跖V的中點(diǎn)，若/=彳麗+、福+zZ?,則x+y+z=()

【答案】A

【分析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】AG=7+-AC+AB+-

所以％+y+z=7+：+：=7

2442

故選：A

11.（2022秋.江西撫州?高二臨川一中校考期中）如圖，何尊是我國(guó)西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工

藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國(guó)”為“中國(guó)”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物,

證明了周王朝以德治國(guó)的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm,上

口直徑約為28cm,經(jīng)測(cè)量可知圓臺(tái)的高約為16cm,圓柱的底面直徑約為18cm,則該組合體的體積約為（）

（其中兀的值取3）

A.11280cm3B.12380cm3C.12680cm3D.12280cm3

【答案】D

【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解.

【詳解】由題意得圓柱的高約為40-16=24（cm）,

貝何尊的體積V=/臺(tái)+囁柱=]x（142+92+14x9）xl6+7i：x92x24212280（cm3）

故選：D.

12.（2022秋.安徽.高三校聯(lián)考開學(xué)考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第11

卷中將軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為“直角圓錐”.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為30萬(wàn)，則該圓錐的體積

為（）

A.不兀B.3萬(wàn)C.4A/2JTD.6拒兀

【答案】A

【分析】根據(jù)直角圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積與側(cè)面積公式求解.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為「，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，

圓錐高〃=廠，母線長(zhǎng)；五廠，

圓錐的側(cè)面積為==3"'兀，解得廠=有，

所以圓錐的體積為=；nx舊x有=6兀.

故選：A.

13.（2022秋?青海西寧?高三統(tǒng)考期中）我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四

阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長(zhǎng)方形足、器內(nèi)底

中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm,口長(zhǎng)13.5cm,口寬12cm,底長(zhǎng)12.5cm,底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，

上部分可以看作四棱錐，高約8cm,下部分看作臺(tái)體，則其體積約為（）（參考數(shù)據(jù)：713125?11.5,

V162?12.7）

A.7460.8cm3B.87L3cm3C.1735.3cm3D.2774.9cm3

【答案】D

【分析】根據(jù)棱臺(tái)與棱錐的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)椴?g（s上+S下+JS上告）h

=1（162+131.25+7162x131.25）xl6=2342.9cm3,

%=|s//=|xl62x8=432cm3,所以V=嗅+%=2774.9cn?.

故選：D

14.（2022秋.湖北.高二校聯(lián)考期中）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，

該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，

它的高為4,AA,,BB-CC,,。，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為2和4,對(duì)

應(yīng)的圓心角為90。，則圖中異面直線A片與所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線入月與CA所成角的余弦值.

設(shè)上底面圓心為。一下底面圓心為0,連接。OC,0B,

以。為原點(diǎn)，分別以oc,。3,0a所在直線為x軸、＞軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（2,0,0）,4（0,4,0）,4（0,2,4）,4（4,0,4）,

則西=（2,0,4）,祠=（0,-2,4）,

cos（國(guó),聞=生產(chǎn)=「心=-

又異面直線所成角的范圍為，

4

故異面直線AB,與CD,所成角的余弦值為j.

故選：A.

15.（2023?江西撫州?高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌

子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、

十全十美.下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái)，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為

()(參考數(shù)據(jù)：V91.75?9.6,1L=1000cm3,參考公式：匕j.=g(s上+S下+上下)?/?)

A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L

【答案】B

【分析】由勾股定理算出高九即可由公式求體積.

繼底-22

011721V2=變=91.75,

【詳解】由題意，正四棱臺(tái)中，設(shè)棱臺(tái)的高為0，則〃2=11.5?-

2翔24

故/臺(tái)=gx202+112+A/202-112|x791.7522371.2cm3?2.4L.

故選：B

16.（2022春?湖南長(zhǎng)沙?高二湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）波利亞在其論著中多次提到“你能用不同的方法推

導(dǎo)出結(jié)果嗎？"，“試著換一個(gè)角度探索下去……”.這都屬于“算兩次”的原理.另外，更廣義上講，“算兩次”也

是對(duì)同一個(gè)問題，用兩種及其以上的方法解答出來(lái)，即對(duì)同一個(gè)問題解兩次，得到相同的結(jié)果，體現(xiàn)殊途

同歸，一題多解.試解決下面的問題：四面體ABC。中，AB=CD=6,其余的棱長(zhǎng)均為5,則與該四面體各個(gè)

表面都相切的內(nèi)切球的表面積為（）

797r73463乃

A.-----B.C.-----D.47r

25"20"16

【答案】C

【分析】取8的中點(diǎn)E,連接A瓦AE,取A5的中點(diǎn)尸，連接斯，即可得到CO,平面ABE,求出邑ME，

即可求出三棱錐的體積，設(shè)內(nèi)切球。的半徑為R,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求出內(nèi)切球的表面

積;

【詳解】解：取C。的中點(diǎn)E,連接AE,BE,取A8的中點(diǎn)R連接所,

由題意AE_LCD,BELCD,

又AEcBE=瓦AE,BEu平面ABE,CDJ_平面ABE,

又AB=CD=6,其余棱長(zhǎng)均為5,；.AD=5,OE=3,在中，可得A￡=4,同理可得3E=4,

所以等腰三角形ABE底邊上的高斯=？=療，SAABE=1x6xV7=3幣,

???三棱錐至。的體積=

又SMCD=；XCZ）XAE=12,設(shè)內(nèi)切球。的半徑為R,

三棱錐的體積V==4x]x5AA②xR,可得R=±2,

38

所以球的表面積為=4%=孚萬(wàn).

6416

故選：C.

17.（2022秋.黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考開學(xué)考試）燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩

千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠

的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球冠）.如圖

2,球冠是由球面被一個(gè)平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑

為R,球冠的高為〃，則球冠的面積5=2萬(wàn)R/z.已知該燈籠的高為46cm,圓柱的高為3cm,圓柱的底面圓

直徑為30cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為（）

圖1

A.2090^cm2B.2180^cmC.2340^-cm2D.24307rcm2

【答案】B

【分析】由勾股定理求出R,則/z=R-20=5cm,分別求出兩個(gè)球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、

上下兩個(gè)圓柱的側(cè)面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.

2

46-6

【詳解】由題意得玄-I=15，得7?=25cm,/?=25-20=5cm,

2

所以兩個(gè)球冠的表面積之和為2s=4兀Rh=500^-cm2,

燈籠中間球面的表面積為4兀R2-500萬(wàn)=2000%cm?.

因?yàn)樯舷聝蓚€(gè)圓柱的側(cè)面積之和為2x30%x3=180萬(wàn)cm?,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為2000萬(wàn)+180]=2180萬(wàn)cm?.

故選：B.

18.（2022秋?湖北武漢?高二武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，

粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，

是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~、水草包裹糯米、綠豆、豬肉、咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一

個(gè)正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個(gè)球體,那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為三時(shí),該裹蒸粽的高的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，內(nèi)切球的半徑為人根據(jù)球的體積求出乙

再根據(jù)等體積法求出h；

【詳解】解：要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，高為M內(nèi)切球的半徑為,，則?/=?，解得廠=1,

如圖正四面體S-ABC中，令。為3C的中點(diǎn)，。1為底面三角形的中心，貝!底面ABC

?r,即人=4廠=4.

故選：A

19.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國(guó)建筑的樟卯結(jié)

構(gòu).如圖1,這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2,則該魯班鎖

A.8(6+6夜+君)B.6(8+8直+⑹

C.8(6+6用?D.6(8+8g+匈

【答案】A

【分析】補(bǔ)形出正方體,結(jié)合圖形求出正方體棱長(zhǎng)，然后直接求解可得.

【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，

如圖，因?yàn)锳O=BD,AB=2,/ADB=%,所以AO=2sin工=0

24

故該正方體的棱長(zhǎng)為2+2收，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為0,則該幾何體的表面積為

2

S=6[(2+2A/2)-4X1X^XV2]+8X1X2XA/3=8(6+6A/2+V3).

22

故選：A

20.（2022秋?江蘇連云港?高三?？茧A段練習(xí)）芻（c/0薨（/胡g）是中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特

征是：底面為長(zhǎng)方形，上棱和底面平行，且長(zhǎng)度不等于底面平行的棱長(zhǎng)的五面體，是一個(gè)對(duì)稱的楔形體.

上極長(zhǎng)

已知一個(gè)芻篇底邊長(zhǎng)為6,底邊寬為4,上棱長(zhǎng)為2,高為2,則它的表面積是（）

A.24后B.24+24立

C.24+24如D.24+1672+875

【答案】B

【分析】計(jì)算出幾何體每個(gè)面的面積，相加即可得解.

【詳解】設(shè)幾何體為歷-ABCD,如下圖所示：

矩形ABC。的面積為6x4=24,

側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰三角形AABE、KDF,兩個(gè)全等的等腰梯形ALEE、BCFE,

設(shè)點(diǎn)E、尸在底面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)分別為G、H,

過點(diǎn)G在平面A5CD內(nèi)作GML3C,連接EAf,

過點(diǎn)H在平面A3CD內(nèi)作HNLCD,連接FN,

平面A3CD,HN、CDu平面ABC。，:.FH±CD,FHLHN,

-.HN±CD,FHC\HN=H,\CE）A平面尸HN,

?:FNu平面FHN,;.FNLCD,易知EF/=2,HN=2,

則在&CDF中，斜高為FN=slFH2+HN2=6+22=2A/2，

所以，SAABE=SACDF=^CD-FN=442,

同理可知，梯形BCFE的高為EM=yjEG2+GM~=722+22=272，

所以，S梯形ADFE=S梯形BCFE=5（EP+3C）.EM=80，

因此，該幾何體的表面積為24+2x（4A/2+8A/2）=24+240.

故選：B.

二、多選題

21.（2021秋.重慶沙坪壩.高二重慶市天星橋中學(xué)校考階段練習(xí)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約

三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，

是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)2cm,外徑長(zhǎng)3cm,

筒高4cm,中部為棱長(zhǎng)是3cm的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（）

2---：

A.該玉琮的體積為18+—（cm3）B.該玉琮的體積為27-不（cn?）

44

C.該玉琮的表面積為54+7r（cn?）D.該玉琮的表面積為54+9兀（cm?）

【答案】BD

【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積.

組合體的表面包含下面幾個(gè)部分：外圓柱側(cè)面在正方體外面的部分，正方體上下兩個(gè)底面去掉其內(nèi)切圓的

部分，圓筒的上下兩個(gè)底面（兩個(gè)圓環(huán)），正方體的4個(gè)側(cè)面，內(nèi)圓柱的側(cè)面，面積相加可得.

【詳解】由圖可知，組合體的體積V=/4xf|j-I2+3x3x3-兀x3x1||=27-彳（cn?）.

2

3

S=3KX1+2X3x3一兀x+3x3x4+2TIX+27ix4=54+97i(cm2).

2

故選：BD.

22.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）“端午節(jié)”為中國(guó)國(guó)家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄,

吃粽子便是端午節(jié)食俗之一.全國(guó)各地的粽子包法各有不同.如圖，粽子可包成棱長(zhǎng)為6cm的正四面體狀

3

的三角粽，也可做成底面半徑為^cm,高為6cm（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽.現(xiàn)有兩碗餡料，若一個(gè)碗

2

的容積等于半徑為6cm的半球的體積，貝U（）（參考數(shù)據(jù)：信名4.44）

A.這兩碗餡料最多可包三角粽35個(gè)

B.這兩碗餡料最多可包三角粽36個(gè)

C.這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個(gè)

D.這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個(gè)

【答案】AC

【分析】分別求出一個(gè)正四面體狀的三角粽的體積，一個(gè)圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得

出答案.

14

【詳解】解：兩碗餡料得體積為：2x-x-^-x63=288^cm3,

23

如圖，在正四面體。-ABC中，CM為A8邊上得中線，。為三角形A8C的中心，則即為正四面體的高,

CM=6x^=3^cm,OC^CM=2^cm,OD=J36-12=2派m,

所以正四面體的體積為』x」x6x3若x2"=18":m3,

32

即一個(gè)正四面體狀的三角粽的體積為1805?,

因?yàn)?88萬(wàn)+180。35.52,

所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個(gè)，故A正確，B錯(cuò)誤;

D

一個(gè)圓柱狀竹筒粽得體積為兀x6=?兀c底,

因?yàn)?88萬(wàn)——77=21.33,

2

所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個(gè)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可

近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30。，側(cè)棱長(zhǎng)為0T米，則該正四棱

錐的（）

C.側(cè)面積為246平方米D.體積為12班立方米

【答案】ACD

【分析】畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合已知條件求得棱錐的底面邊長(zhǎng)，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.

【詳解】如圖所示，在正四棱錐P-ABC。中，。為正方形ABC。的中心，且

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a,正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30。,

所以/尸//。=301則0"=4,。尸=/。,尸"=漢1<2，

33

在直角VPHC中，可得"C2+pH2=pc2,即/+（差4=21,解得“=3,

所以正四棱錐尸-ABCD的底面邊長(zhǎng)為6,所以A正確；

因?yàn)槭琌/平面ABCD,所以NPBO為側(cè)棱網(wǎng)與底面所成的角，

在直角APOB中，可得cosNPBO=吆=喳=叵,所以B錯(cuò)誤；

尸3&T7

正四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為S=gx4x6x2Q=24用平方米，所以C正確;

正四棱錐尸-ABCD的側(cè)體積為丫=$6x6x6=12百立方米，所以D正確.

故選：ACD.

24.（2022秋?湖北襄陽(yáng)?高二校考階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱為“鱉

席在鱉席尸―ABC中，上4,底面ABC,則（）

A.?元=0可能成立B.前.就=0可能成立

C.可?肥=0一定成立D.阮?福=0可能成立

【答案】BCD

【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷出線線是否垂直，即可判斷對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積是否為0.

【詳解】因?yàn)镻A_L底面ABC,所以R4_L3C,所以可.沅=0一定成立；故C正確.

若/BAC=90。，如圖所示:

p

則△ABC為直角三角形，所以BC2=AB2+AC2.

因?yàn)镻A，底面ABC,所以PA，AC叢，AB,所以△RIB,AR4c均為直角三角形.

所以尸皆2=AB2+PA2,PC2=E42+AC2.

在△PBC中，由8c2=人笈+人。?，PB2=AB2+P^，PC?=夫發(fā)十人。?可知，三邊不滿足勾股定理，所以

△P3C不是直角三角形，三棱錐不是“鱉般”.故A錯(cuò)誤.

由三棱錐是“鱉席”可知：△ABC為直角三角形.

由上面的推理可知：/BAC=90。不成立，貝IJ/4CB=9O°,或NABC=90。.

當(dāng)NACB=90。時(shí)，AC1CB.

又出，3。，PAryAC=A,且以u(píng)面PAC,ACu面PAC,

所以BC人面PAC,所以3C，PC,則NPCB=90。，三棱錐是“鱉席”；故B正確.

同理可證：若NABC=90。，則/P3c=90。，三棱錐是“鱉膈”；故D正確.

故選：BCD

25.（2022春?廣東廣州.高一廣州科學(xué)城中學(xué)校考期中）唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的

盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）,當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表

面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取

值可能為（）

D-后

【答案】AC

4

【分析】首先設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為"R,酒杯的容積為V,則S=2乃再根據(jù)

和%>0得至%陛犀，即可得到答案.

V10萬(wàn)V2萬(wàn)

【詳解】設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為心R,酒杯的容積為V,貝”=2萬(wàn)r2+2萬(wàn)的,

q

所以兀Rh=----TTR2,

2

2a12A(S°、兀&3S4q3

所以Vn—TTRS+TRZ〃n—TRa+l__^2\R=——R+-R<-^R

3312J323

解得R克

s、s

又h>0,所以二■—TTR>0,角軍得R<

22萬(wàn)

S

所以

2萬(wàn)

故選：AC.

26.（2022?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫

者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”

的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一

條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相

對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為6的

正四棱柱構(gòu)成，則（）

A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面積是112-160

C.該“十字貫穿體”的體積是48-3叵

3

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長(zhǎng)為：+40

【答案】BCD

【分析】根據(jù)圖形分別求出CD=20,CE=DE=巫,結(jié)合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個(gè)正方形和

16個(gè)與梯形尸全等的梯形組成，分別計(jì)算；體積用兩個(gè)柱體體積減去重疊部分體積；分別計(jì)算按

AfCfPfMfDfB路線和在表面內(nèi)移動(dòng)最短的路徑長(zhǎng).

【詳解】如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線CE、DE

則在梯形8DEE中，可知3￡>=3-0，BF=2,EF=3,DE=?BE=A

根據(jù)立體圖可得CD=2&,CE=DE=4b,顯然CE2+_DE2ACO?

即CE、不垂直，A不正確;

該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形尸全等的梯形組成

則表面積5=4x4+16x3+3-3x2=112-16a,B正確；

2

如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST,取CS的中點(diǎn)I

則多面體CDGKST可以分成8個(gè)全等三棱錐C-GE/,則/儂=｝應(yīng)*2=半

該“十字貫穿體”的體積即為丫=2x24-8/_GE,=48-竽，C正確；

若按AfCf尸.AffO38路線，則路線長(zhǎng)為4（3-收）+2收=12-2后

若在表面內(nèi)移動(dòng)，則有:

借助部分展開圖，如圖所示:

cosZFEN=cos2a=2cos2a-1=-1<0,即NFEN為鈍角，過8作NE的垂線8H,垂足為“，則8H在

展開圖內(nèi)

sinZBEN=sin（2a-^）=sin2acosp-cos2asinp=+千5

BH=BEsinZBEN=-+20

3

根據(jù)對(duì)稱可知此時(shí)最短路徑為2BH=|+4>/2<12-20

則從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)8的最短路徑為：+40,D正確;

故選：BCD.

27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）祖晅（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出

了一條原理：“塞勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的

面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為勖，高皆為。的橢半球體和已被挖去了圓錐體

的圓柱體放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且與夕距離為d的平面截兩個(gè)幾何體得到S回及S環(huán)兩截面,

可以證明端=S環(huán)總成立，若橢半球的短軸AB=6,長(zhǎng)半軸CD=5,則下列結(jié)論正確的是（）

B.橢半球體的體積為157r

C.如果M=4"，以尸為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球尸體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球產(chǎn)后，體

積為三-萬(wàn)

D.如果聲=4方，以P為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球尸體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球尸后，體積

為291

【答案】AC

【分析】由題可得胃=；唳球=%柱-愉錐，可判斷AB,利用橢圓的性質(zhì)可得球尸的最大半徑為1,進(jìn)而可

判斷CD.

【詳解】由題意知，短軸AB=6,長(zhǎng)半軸CD=5的橢半球體的體積為

丫=/橢球=唳柱一/1錐=萬(wàn).[1）.5-g?乃仁）,5=30萬(wàn)'，A正確'B錯(cuò)誤；

橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長(zhǎng)為3,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5,所以半焦距為4,

由于m=4詬，所以B橢圓的焦點(diǎn)，因此ED是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為1,

該橢半球體挖去球尸后，體積為30〃-方萬(wàn)=與"，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

28.（2022秋?上海浦東新?高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，定義了

三個(gè)特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“塹堵”：兩個(gè)底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽(yáng)馬”：底面

為長(zhǎng)方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉席（bienAo）”：每個(gè)面都為直角三角形的四面體.魏晉時(shí)期

的大數(shù)學(xué)家劉徽進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)“塹堵”都可以分割成一個(gè)“陽(yáng)馬”和一個(gè)“鱉席”且“陽(yáng)馬”和“鱉膈”

的體積比為定值.則此定值為.

【答案】2:1

【分析】畫出圖形，在圖形中分別表示出“陽(yáng)馬”和“鱉席”的體積即可求解.

【詳解】如圖所示，圖為底面為直角三角形的直三棱柱“嶄堵”，ZABC=9ff,

若以△人1片G作為“鱉席”的底面，則可選點(diǎn)A或點(diǎn)C作為頂點(diǎn)，

我們選取點(diǎn)c為例，連接4C4C,則四面體C-A與G滿足條件，

且棱錐也滿足“陽(yáng)馬”的條件，

3C1面A4出出且四邊形AA43為長(zhǎng)方形，

設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,BB、=h,

則“塹堵”的體積為，

22

“鱉膈”的體積為，ac-/ix』=Lc/z,

236

所以"陽(yáng)馬"的體積為』aM-工ac/z=■ac/z,

263

所以“陽(yáng)馬”和“鱉席”的體積比為2：1.

故答案為21.

29.（2022秋.上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)古代將四個(gè)面都是直角三角形的四面體

稱作鱉腌，如圖，在鱉SIS-ASC中，SCL平面ABC,AABC是等腰直角三角形，且AB=SC,則異面直

線8C與9所成角的正切值為.（寫出一個(gè)值即可，否則有兩個(gè)答案）

【答案】五或6（寫出一個(gè)值即可）

【分析】分類討論AABC是等腰直角三角形中,A為直角，8為直角，C為直角，三種情況即可.

【詳解】解：因?yàn)锳ABC是等腰直角三角形，當(dāng)B為直角時(shí)，

作正方形48CD,連接SD,

則異面直線3C與&4所成角的平面角為/&W（或其補(bǔ)角）,

又由已知有3C_LCD,BCLSC,

所以面SCD,即40，面50即AD_LSD,

設(shè)AB=SC=1,則AD=1,SD=72，

所以tan/SAD=%^=&,

AD

即異面直線3C與所成角的正切值為&；

因?yàn)锳ABC是等腰直角三角形，當(dāng)A為直角時(shí)，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=SC=1,則AC=1,

A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0)5(0,1,1),

所以阮=(-1,1,0),豆=(0,-l,-D，

cos(BC,SA)==-^-j==1,所以(而，裒)=(,則tan(前，克”上,

所以異面直線BC與S4所成角的正切值為力;

因?yàn)?4SC是等腰直角三角形，當(dāng)C為直角時(shí),

因?yàn)镾C_L平面ABC,AABC是等腰直角三角形,

所以SC_LC4,SC_LC3,C4_L,

設(shè)AB=SC=1,

所以CA=CB=g

2

所以SA=S3=逅，

2

止匕時(shí)NASCWNACB,

所以△S4B不可能為直角三角形，不滿足題意.

綜上可得異面直線3C與&4所成角的正切值為丘或6

故答案為：拒,或6

30.（2022春?浙江寧波?高二?？紝W(xué)業(yè)考試）寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北觀，建于清同治十一

年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具

有典型羅馬哥特式風(fēng)格.其頂端部分可以近似看成由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正方體組成的幾何體，且正四棱

錐的側(cè)棱長(zhǎng)為10m,其底面邊長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)均為6m,則頂端部分的體積為.

【答案】216+12短m3

【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，AB=6m,1s4=10m,設(shè)AC與2。的交點(diǎn)為0,則SO為正四棱錐

的高，

所以40=*=興嶼+叱=30,SO7s尺-A"庖,

33

所以匕一曲》=$6x6x短=12廊m,VABCD_AiB[C}Di=6x6x6=216（m）,

所以V=216+12庖（m3）

31.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批

國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就

是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)（不共面）

A、B、C、D,AB=CD=2,AC=BD=y/3,BC=AD=y/5,則該鞠（球）的體積為.

【答案】忌

【分析】根據(jù)題意可知，三棱錐A-3CD的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，且三棱錐A-BCD的三

組對(duì)棱均相等，可將三棱錐A-3CD嵌入到長(zhǎng)方體中求解，即可得出三棱錐A-BCD外接球的半徑，利用球

的體積公式即可求解.

【詳解】解：由題可知，三棱錐A-BCD的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，

又AB=CD=2,AC=BD=?BC=AD=5故三棱錐A-BCD的三組對(duì)棱均相等，

如圖，將三棱錐A-BCD嵌入到在長(zhǎng)方體ACBD'-ACB'D中，

則三棱錐A-BCD的外接球即為在長(zhǎng)方體AC'BD'-ACBZ）的外接球，

設(shè)AA'=x,AC'=y,AD'=z,

貝UAC=BD=舊+上,AB=CD=^y2+z2,BC=AD=V%2+z2，

x2+j2=3

故r2+Z?=4,解得x2+y2+z2=6,

x2+z2=5

又長(zhǎng)方體AC5D'-AC?。外接球的直徑即為長(zhǎng)方體ACBD'-ACB'D的體對(duì)角線，

故三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R==男,

22

4r-

則三棱錐A-BCD的外接球的體積為：V=-R^=y[67r.

故答案為：瓜兀.

32.（2022春?福建泉州.高一泉州五中?？计谥校澳埠戏缴w”（圖①）是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造的，其

構(gòu)成是由一個(gè)正方體從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱（圓柱的上下底面為正方體的上下底面，圓柱的側(cè)面與正方

體側(cè)面相切）的公共部分組成的（圖②），假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則其中一個(gè)內(nèi)切圓柱的表面積為

;該正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球，所以用任一平行于正方體底面的平面去截“牟合

方蓋”，截面均為正方形，根據(jù)祖曬原理（夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的

任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等）可得“牟合方蓋”的體積為

口斗

,16

【答案】6?！?/p>

【分析】根據(jù)正方形邊長(zhǎng)得出內(nèi)切圓柱底面半徑和高可求出表面積，求出截面正方形與其內(nèi)切圓面積比即

可得出體積之比，進(jìn)而求出“牟合方蓋”的體積.

【詳解】因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2,則內(nèi)切圓柱底面半徑為1,高為2,所以其中一個(gè)內(nèi)切圓柱的表面積為

1

S=2兀r+=6兀;

4

因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2,則內(nèi)切球半徑為1,所以內(nèi)切球體積匕=］萬(wàn)，

設(shè)截面正方形的邊長(zhǎng)為2r,則其內(nèi)切圓半徑為小

所以截面正方形與其內(nèi)切圓面積比為厘=±,設(shè)方蓋體積為V2,

nrn

則根據(jù)祖曬原理可得￥=一,所以匕=%=々.

匕"n3

故答案為：6萬(wàn)；費(fèi).

33.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一.香囊內(nèi)通常填充一些中草