三角形（全等相似）-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（原卷版）

專題06三角形（全等、相似）

易錯(cuò)點(diǎn)1:三角形的垂心

易錯(cuò)點(diǎn)2:三角形的重心

L易錯(cuò)點(diǎn)3:三角形的外心

易錯(cuò)點(diǎn)4:三角形的內(nèi)心

三角形（全等、等腰、直角）易錯(cuò)點(diǎn)5:倍長中線法

易錯(cuò)點(diǎn)6:等腰三角形的新定義

易錯(cuò)點(diǎn)7:兩圓一線畫等腰

易錯(cuò)點(diǎn)8:兩線一圓畫直角

易錯(cuò)點(diǎn)9:秦九韶一海倫公式

r易錯(cuò)點(diǎn)1：黃金分割

/易錯(cuò)點(diǎn)2:平行輔助線

y易錯(cuò)點(diǎn)3:相似中的比值

「易錯(cuò)點(diǎn)4:相似中的動(dòng)點(diǎn)

/易錯(cuò)點(diǎn)5:相似與反比例函數(shù)

三角形相似易錯(cuò)點(diǎn)6:相似與圓

:易錯(cuò)點(diǎn)7:相似與三角函數(shù)

'易錯(cuò)點(diǎn)8:相似與二次函數(shù)

卜易錯(cuò)點(diǎn)9:相似的新定義

'易錯(cuò)點(diǎn)10：相似中的無刻度尺作圖

三角形（全等、等腰、直角）專題

易錯(cuò)點(diǎn):

1.三角形的概念：對(duì)于三角形的定義、性質(zhì)及分類理解不夠深入，容易混淆等腰三角形、等邊三角形、直角

三角形等概念。

2.三角形的邊和角：對(duì)于三角形的三邊關(guān)系（如任意兩邊之和大于第三邊）和三角形內(nèi)角和等于180度的性

質(zhì)理解不透徹，導(dǎo)致在解題時(shí)出錯(cuò)。

3.三角形的全等：對(duì)于三角形全等的判定條件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟練，容易在判定過

程中出錯(cuò)。

4.三角形的相似：對(duì)于三角形相似的判定條件（如AA、SAS、SSS等）理解不夠深入，容易混淆相似和全

等的概念。

5.三角形的面積：對(duì)于三角形面積的計(jì)算公式（如底乘高除以2）掌握不熟練，容易在計(jì)算過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

6.三角形的中位線：對(duì)于三角形中位線的性質(zhì)（如中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）理解不夠深入,

導(dǎo)致在解題時(shí)出錯(cuò)。

7.三角形的角平分線：對(duì)于三角形角平分線的性質(zhì)（如角平分線將相對(duì)邊分為兩段，這兩段與該角兩邊的比

例相等）掌握不熟練，容易在解題時(shí)出錯(cuò)。

.WOO

易錯(cuò)點(diǎn)1:三角形的垂心

例：在中，/氏4。=60。,乙4及？=45。,〃是。3。的垂心，若AHBC與的面積分別為岳、邑，則

I:&=()

A.V3：V2B.6:1C.72:1D.1:73

變式1：如圖，在AJBC中，/4BC=48。，ZACB=76°,兩條高AD、CE交于點(diǎn)O,連接NO,則

ZOAE=

變式2：（1）在正方形方格紙中，我們把頂點(diǎn)都在“格點(diǎn)”上的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”，如圖，A/BC是一

個(gè)格點(diǎn)三角形，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,2）.

I'M

__I-

IIIII0IIIp?'1'

I—I—I—I—I-----1—I—I—I—I—I-1

I-」_」_」_」_____l_」_」_，一」

①M(fèi)BC的面積為

②在所給的方格紙中，請(qǐng)你以原點(diǎn)。為位似中心，將A/BC縮小為原來的一半；（僅用直尺完成作圖）

③在（2）中，若尸（a,b）為線段NC上的任一點(diǎn)，則縮小后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸/的坐標(biāo)為.

（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：

我們知道，三角形具有性質(zhì):三邊的垂直平分線相交于同一點(diǎn)，三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交

于一點(diǎn)，事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點(diǎn).

請(qǐng)運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖.

圖1

①如圖1,在平行四邊形48c中，E為CD的中點(diǎn)，作3c的中點(diǎn)F.

②如圖2,在由小正方形組成的4x3的網(wǎng)格中，A/BC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，作A/BC的高

易錯(cuò)點(diǎn)2：三角形的重心

例：如圖，點(diǎn)G是AABC的重心，過點(diǎn)6作皿〃8（7分別交48,AC于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N作ND〃AB交BC

于點(diǎn)。，則四邊形AD2W與的面積之比是（）

變式1：如圖，在中，/A4c=90。，點(diǎn)G是448c的重心，連結(jié)G4GC,如果/C=3,^G=1,

那么NGCA的正切值為.

變式2：【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

如果在圖①中，取ZC的中點(diǎn)凡假設(shè)3尸與4。交于G',如圖②，那么我們同理有==第=所以有

ADBF3

mC~I,Di

1===:,即兩圖中的點(diǎn)G與G'是重合的.

ADAD3

于是，我們有以下結(jié)論：

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對(duì)應(yīng)中線長的

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖③所示，在AABC中，己知點(diǎn)DE,尸分別是3C,CE的中點(diǎn)，DE、8尸相較于點(diǎn)。，且工域=設(shè),

則四邊形ODCF的面積值為

圖②圖③

易錯(cuò)點(diǎn)3：三角形的外心

例：如圖，已知￡是“3C的外心，P、0分別是48、NC的中點(diǎn)，連接EP、交8C于點(diǎn)RD,若BF=5,

DF=3,CD=4,則。3C的面積為（）

A.18B.24C.30D.36

變式1：如圖,點(diǎn)。是“BC的內(nèi)心，也是的外心.若44=84。，貝1」/。=

變式2：如圖,在銳角三角形48。中，AB=AC,是AASC的外接圓，連接力。，BO,延長交/C

于點(diǎn)D.

（2）若。。的半徑為5,AD=6,求。。的長.

（3）若岑=加，求照的值（用含機(jī)的代數(shù)式表示）?

OBDC

易錯(cuò)點(diǎn)4：三角形的內(nèi)心

例：如圖，若OO是AABC的內(nèi)切圓，且N/=50。，則/3OC的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.115°D.130°

變式1：如圖，點(diǎn)/是“3C的內(nèi)心，44=60。，IB=6,/C=4,則“8C的面積為.

變式2：閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在某科技雜志上有這樣1道題：如圖1,在“3C中，三邊分別為=c,/C=6,3C=氏。。是的內(nèi)切圓,

切點(diǎn)分別為。,及尸.求O。的半徑.

思路分析：如圖1.連接O4O8,OC,OZ),OE,OG則存，OFVAC,OD=OE=OF,設(shè)

OD=OE=OF=r,p=+b+c).

于是有S./BC=S"OB+&BOC+SHOC=LoD23+LoE/C+Lo/^/C=Lr(a+6+c)=〃，

7/***??i-J△TIZJCAAUB△BUG2222、「

...r=q%.（其中s表示“Be的面積，〃表示“BC的周長的一半）

P

八48國面積S

用語言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑廠=

A^BC的半周長p

若已知人4BC的三邊長a,b,c,如何求AABC的面積S呢？

圖1

我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202?1261）,曾提出利用三角形的三邊長求它的面積的秦九韶公式：若

AB=c,BC=a,AC=b

則秦九韶公式為邑”c=

例如：在“3C中，若。=5,6=6,c=7,利用秦九韶公式求“BC的面積S.

解：S-ABC=

圖2

(1)請(qǐng)完成材料中利用秦九韶公式求“3C面積的剩余步驟，并求出“3C的內(nèi)切圓的半徑.

(2)如圖2,在RtZ\/8C中，NC=90o,/C=3,8C=4,Gy為它的內(nèi)切圓，則CE的長為.

易錯(cuò)點(diǎn)5：倍長中線法

例：如圖，在。3C中，已知△/5D與A/CD的面積相等，如果/C=10,/。=8,那么N2的取值范圍

是()

A.2</B<18B.6<AB<16

C.10<^5<26D.18<AS<26

變式1：已知A/BC中，AB=2,AC=4,4D是A/BC的邊BC上的中線，則中線的范圍是.

變式2：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,“3C中，若48=6,AC=4,求3C邊上

的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長4D到￡,使DE=AD,

連接BE.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到V/DC到ED3,得到8E=4D,在中求得2ND的取值范圍，從而求得工。的

取值范圍是

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

⑵如圖2,是“3c的中線，AB=AE,AC=AF,NR4E+NC4尸=180。，試判斷線段與EF的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,在“3C中，D,E在邊3c上，且BO=C￡.求證：AB+AC>AD+AE.

易錯(cuò)點(diǎn)6：等腰三角形的新定義

例：經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形.如果其中一個(gè)是等腰三角

形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”，如圖，線段是

的"和諧分割線"，A/CD為等腰三角形，△C8D和相似，4=46。，則NZC3的度數(shù)為(

C.113。或92。D.92°或134°

變式1：定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”.若。3c

是“倍角三角形"，乙4=90。，SC=4,則“BC的面積為.

變式2：定義：如果三角形中，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，那么這個(gè)三角形叫“完美三角形”.

圖1

(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是一.A.直角三角形反等腰三角形C等腰直角三角形D.等邊三角

形

⑵如圖1,“3C是"完美三角形”，S.AB<AC<BC.若正方形48DE和正方形/CFG的面積分別是7和

25,則正方形的面積是

(3)如圖2,在四邊形/BCD中，AB=BC,AABC=ZADC=90°.E是四邊形4BCD外一點(diǎn)，S.AE=AB,

DE=DC.求證：是“完美三角形”.

(4)若比A/BC是“完美三角形”，且一條直角邊長為點(diǎn)，求斜邊長.

易錯(cuò)點(diǎn)7：兩圓一線畫等腰

例：在平面直角坐標(biāo)系中，已知幺(4,1),在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)尸使得A/OP為等腰三角形，則滿足條件的

點(diǎn)可以畫出()

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.7個(gè)

變式1：在平面直角坐標(biāo)系尤何中，已知點(diǎn)尸(2,2),點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上，/。。是等腰三角形，則滿足條件

的點(diǎn)。共有個(gè).

變式2：如圖，“3C中，ZC=90°,AB=5cm,SC=3cm,若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始，按C—/f8fC的

路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為/秒.

備用圖

(1)出發(fā)2秒后，求線段8P的長.

(2)問t為何值時(shí)，ABCP為等腰三角形？

(3)另有一點(diǎn)。，從點(diǎn)C開始，技CfBfZfC的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm,若尸，。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

當(dāng)尸、。中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)f為何值時(shí)，直線尸。把。3c的周長分成相等的兩部

分？

易錯(cuò)點(diǎn)8：兩線一圓畫直角

例：如圖，RtZUBC中，a4cs=90。，ZABC=60°,8c=3cm,CD=^BC,若動(dòng)點(diǎn)￡以Icm/s的速度

從A點(diǎn)出發(fā)，沿著/fBf/的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0<y10）,連接DE,當(dāng)△8AE是直

角三角形時(shí)，1的值最多有（）個(gè)

A

A.1B.2C.3D.4

變式1：如圖NM/N=60。，若A48c的頂點(diǎn)8在射線上，且/8=2,動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的取值范圍是秒時(shí)，A/3C是鈍角三角形.

變式2：綜合與探究

如圖，拋物線>與x軸相交于4,B兩點(diǎn),與〉軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)3的坐標(biāo)是（T,0）,點(diǎn)C的

坐標(biāo)是（O,4）,M是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)尸為線段MB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)。，。點(diǎn)坐標(biāo)為(加,0),APCD的面積為S.

①求APCD的面積S的最大值.

②在MB上是否存在點(diǎn)尸，使A尸CD為直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由.

易錯(cuò)點(diǎn)9：秦九韶——海倫公式

例：閱讀材料：希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為

海倫一秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長分別是。，b,c,記0=￡±|七￡,那么三角形的面積為

sZp(p_a)(p_b)(p_c).如圖，在AA8C中，a=7,6=5,c=6,則BC邊上的高為.

變式1：我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式，也叫三斜求積公

式.即：若一個(gè)三角形的三邊長分別為a,b,c,那么該三角形的面積為$=，二a2b2-[a+b~C'\，現(xiàn)

已知。三邊長分別為2,3,V13,則“的面積是.

變式2：平面幾何圖形的許多問題，如長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決古人對(duì)

任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積?具體如下:

設(shè)一個(gè)三角形的三邊長分別為。、b、c,P=；(a+6+c),則有下列面積公式:

S=(尸一c)(海倫公式)；

S=ha2b2~r+b^~C\（秦九韶公式）.

(1)一個(gè)三角形邊長依次為5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積是.

(2)學(xué)完勾股定理，已知任意形狀的三角形三邊長也能求出其面積?如圖，在“3C中，48=15,3C=14,

/C=13,求“8c的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路，完成解答過程.

①作于。，設(shè)BD=x,用含x的代數(shù)式表示C。，則CD=：

②請(qǐng)根據(jù)勾股定理，利用ND作為“橋梁”建立方程，并求出x的值;

③求。8c的面積.

三角形相似專題

易錯(cuò)點(diǎn):

1.對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的混淆：這是最常見的錯(cuò)誤。在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角必須正確配對(duì)。例如，

如果一個(gè)三角形的某個(gè)角與另一個(gè)三角形的某個(gè)角是對(duì)應(yīng)角，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也必須是對(duì)應(yīng)邊。

2.比例關(guān)系的誤解：在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊之間的比例關(guān)系是固定的。如果一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是另一

個(gè)三角形的兩倍，那么所有對(duì)應(yīng)邊都是這樣的比例關(guān)系。但是，學(xué)生們可能會(huì)誤解這個(gè)比例關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)

算錯(cuò)誤。

3.相似與全等的混淆：全等三角形和相似三角形是兩個(gè)不同的概念。全等三角形是指兩個(gè)三角形能夠完全

重合，而相似三角形是指兩個(gè)三角形的形狀相同但大小可能不同。學(xué)生們可能會(huì)混淆這兩個(gè)概念，導(dǎo)致解

題錯(cuò)誤。

4.判定定理的誤用：在判斷兩個(gè)三角形是否相似時(shí)，有幾種不同的判定定理可以使用。但是，學(xué)生們可能會(huì)

誤用這些定理，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等，那么這

兩個(gè)三角形就是相似的，而實(shí)際上這只是一個(gè)必要條件，不是充分條件。

三

易錯(cuò)點(diǎn)1:黃金分割

例：如圖，在正方形48co中，E為/D中點(diǎn)，連結(jié)8E,延長E4至點(diǎn)尸，使得EF=EB,以在'為邊作

正方形NFG”,《幾何原本》中按此方法找到線段48的黃金分割點(diǎn)”.現(xiàn)連結(jié)切并延長，分別交BE,BC

于點(diǎn)尸，Q,若：的面積與V8P。的面積之差為66-9,則線段/E的長為（）

變式1：20世紀(jì)70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模

推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做E尸將矩形窗框/BCD分為上下兩部分，其中E為邊

N8的黃金分割點(diǎn)，BE>AE.已知NB為2米，則線段BE的長為.米

變式2：【綜合與實(shí)踐】

【認(rèn)識(shí)研究對(duì)象】教材121頁給出了如下定義：如圖1,如果點(diǎn)尸把線段分成兩條線段AP和

PRAp

且方;行則我們稱點(diǎn)尸為線段■的黃金分割點(diǎn).類似，我們可以定義如果一個(gè)三角形中，其最長邊

的長度和最短邊的長度的乘積等于第三邊長度的平方，那么就稱該三角形為“類黃金三角形”.

如圖2,已知“是"類黃金三角形"，且/C〈/3<3C.若/C=3,BC=5,求N3的長.

【探索研究方法】如圖3,已知△48c是“類黃金三角形"，且NC〈/8<8C.若NA4C=90。，小濱同學(xué)過點(diǎn)

A作/。工3c于點(diǎn)。，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)結(jié)論：

@AB2=BDXBC;

②點(diǎn)D是邊BC的黃金分割點(diǎn)；

請(qǐng)給出證明.

【嘗試問題解決】小濱同學(xué)經(jīng)歷以上探索過程發(fā)現(xiàn)：類似問題，可以通過構(gòu)造相似三角形等方法解決.于

是開展新的探究，請(qǐng)解決以下問題：

如圖4,已知“8C是"類黃金三角形"，且/C〈/3<5C.若BC=2,4=90°+；NC,求48的長.

APB

圖1

易錯(cuò)點(diǎn)2：平行輔助線

例：如圖/￡>是“BC的中線，E是上一點(diǎn)，且/CE的延長線交于點(diǎn)R若/尸=1.2,

則AB的值為（）

變式1：如圖，A4BC的角平分線CD與中線/E相交于點(diǎn)P,若AELCD,AE=8,CD=12,則的長

為.

變式2：【教材呈現(xiàn)】華師版九年級(jí)上冊(cè)63頁例1.

如圖，在中，點(diǎn)。是邊的三等分點(diǎn)，DE//BC,DE=5,求的長.

A

【應(yīng)用拓展】

U)如圖①，在ABC中，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8c延長線上一點(diǎn)，連接。廠交NC于點(diǎn)E,若

DE:EF=3:1,DG//AC,EC=2,則NC的長為.

(2)如圖②，在中，點(diǎn)。為邊A4延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為8C上一點(diǎn)，連接DE交ZC于點(diǎn)尸，若點(diǎn)A

為。8的中點(diǎn)，CE:EB=1;2,ADBE的面積為4,貝|ACFE(陰影部分)面積為

易錯(cuò)點(diǎn)3：相似中的比值

1

例：如圖，四邊形N8C。中，AC,BD交于點(diǎn)、E,AB=AD=45,BD=2,ZBCD=90°,一=—,貝!J/C=

AE3

()

變式1：已知：AJBC中，/￡)是中線，點(diǎn)E在/。上，且CE=CD,ZBAD=ZACE.則——=_____.

/C

變式2：【探究】如圖①，在矩形/8CD中，點(diǎn)￡在邊。C上，連接/E,過點(diǎn)。作。尸，/￡于點(diǎn)G,交

一DF

邊于點(diǎn)尸.若48=6,BC=8,求丁的值；

AE

【應(yīng)用】（1）如圖②，在“3C中，/A4c=90。，點(diǎn)廠為邊3c的中點(diǎn)，連結(jié)小，過點(diǎn)B作2。，/尸于

3AF

點(diǎn)E,交邊/C于點(diǎn)D若tanC="則訪的值為

（2）如圖③，在/8ZC=90。，點(diǎn)。為NC的中點(diǎn)，連結(jié)8。，過點(diǎn)A作，3。于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)、F,

圖①圖②圖③

易錯(cuò)點(diǎn)4：相似中的動(dòng)點(diǎn)

例：如圖（1）所示，￡為矩形48CD的邊4D上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P0同時(shí)從點(diǎn)3出發(fā)，點(diǎn)尸沿折線8E-EO-OC

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)。沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒.設(shè)尸、。同時(shí)出發(fā)f秒時(shí),

V8P0的面積為ycmL已知V與/的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論:

4429

①AD=BE=5；②cos/4BE=-；③當(dāng)0<"5時(shí)，y=-t2；④當(dāng)"一秒時(shí)，^ABE^^QBP；其中正確的

554

結(jié)論是（）

圖⑴

A.①②④D.②④

變式1：如圖，RtzX/BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)、P、。分別為A3、8c上的動(dòng)點(diǎn)，將△尸08

沿PQ折疊，使點(diǎn)3們對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在邊/C上，當(dāng)△4PD與小BC相似時(shí)，/P的長為.

/C=8cm,3C=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，以5cm/s的速度沿

方向向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)/重合時(shí)，過點(diǎn)尸作尸。L/C于點(diǎn)。，PE//AC,過點(diǎn)。作。

。后與PE相交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:(s).

(1)線段4。的長cm；(用含f的代數(shù)式表示)

⑵當(dāng)點(diǎn)￡落在8C邊上時(shí)，求才的值；

(3)設(shè)ADPE與"3C重疊部分的面積為S(cm).求S關(guān)于/的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量t的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)5：相似與反比例函數(shù)

例：如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，RtA(948的直角頂點(diǎn)3在x軸的正半軸上，點(diǎn)/在第一象

限，反比例函數(shù)>=：(x>0)的圖象經(jīng)過。/的中點(diǎn)C,交N5于點(diǎn)D,連接CD.若A/CO的面積是2,則左

變式1:如圖，在等腰003中，點(diǎn)A為反比例函數(shù)歹=A(其中x>0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)B在x

X

軸正半軸上，過點(diǎn)3作BCLO3,交反比例函數(shù)y=&的圖象于點(diǎn)C,連接OC交48于。，若△8CD面積

X

為1,貝!I左的值為一

變式2：如圖，一次函數(shù)＞=任+1（左NO）的圖象與反比例函數(shù)＞=￡（。彳0）的圖象交于/、3兩點(diǎn).與坐標(biāo)

（i）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

（2）尸是線段的中點(diǎn)，直線。尸向上平移。伍＞0）個(gè)單位長度后，將003的面積分成1:7兩部分，求6的

值；

（3）我們把只有一組鄰邊相等，且只有一組對(duì)角為直角的四邊形，叫作“直角等補(bǔ)形”；設(shè)M為y軸負(fù)半軸上

一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形48MN是直角等補(bǔ)形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

易錯(cuò)點(diǎn)6：相似與圓

例：如圖，在“3C中，AB=AC,以48為直徑作圓，交BC于點(diǎn)、D,延長G4交圓于點(diǎn)E,連接

交.AB于點(diǎn)F.若“尸尸=1:4,則￡尸:。F的值為（）

A

E

A

—

A.3:5B.2:3C.3:4D.1:2

變式1：如圖，“CD是圓內(nèi)接三角形，點(diǎn)5是圓上一點(diǎn)，連結(jié)48,2。，8。與/C交于點(diǎn)E,且滿足=/C,

ABAC=ACAD.若CD=2,40=3,貝!]CE=_.

變式2：如圖，在Rt^/3C中，點(diǎn)。在斜邊上，以。為圓心，05為半徑作圓，分別與8C、相交于

點(diǎn)。、E,連接N。，已知

(1)求證：是。。的切線；

(2)若N8=30。，AC=43,求劣弧8。與弦3。所圍圖形的面積.

(3)若/C=4,BD=6,求/E的長.

易錯(cuò)點(diǎn)7：相似與三角函數(shù)

例：如圖，在矩形/BCD中，BC=4,AB=2,RtASEV的頂點(diǎn)E在邊C。上，且NBEF=90。，EF=-BE,

2

DF=?曲,貝!|tan/DEF的值為()

4

F

../\n

-------------'C

39C.-D.男

A.-B.—

81645

變式1：如圖，在矩形45CD中，45=8,B(1=12,點(diǎn)E是3C的中點(diǎn)，連接/E,將A48E沿NE折疊，

點(diǎn)5落在點(diǎn)尸處，連接/C,則sin/￡CF=

AD

B'

變式2：如圖，在AABC,ZBAC=90°,=點(diǎn)。與AASC在同一個(gè)平面內(nèi)，連接ND,將。繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,連接NE、CE.

圖③

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在邊3C上時(shí)，求證：BD=CE；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在邊上時(shí),連接DE9右AB=4-\/2，tanNEDC=-,則AD=

3

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在邊的下方時(shí)，AD1BD,4D交8C于點(diǎn)尸，當(dāng)40=6,8。=2時(shí)，的面

積為____________

易錯(cuò)點(diǎn)8：相似與二次函數(shù)

例：如圖，已知二次函數(shù)了=機(jī)/-4〃a+3加((〃2>0)的圖像與》軸交于人、B兩點(diǎn),與V軸交于點(diǎn)C,連接

AC,BC,若C4平分/OCS,則加的值為()

A.V3B.41C.—D.—

23

變式1：給出定義：拋物線了="2+法+4。/0)與x軸交于/,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接4C、CB,

若滿足A/COSACB。，則稱這樣的拋物線稱為“相似拋物線”，如圖，二次函數(shù)了="2+及+2(°片0)的圖

象是“相似拋物線"，且/C=2AA，則此拋物線的對(duì)稱軸為.

變式2：如圖，二次函數(shù)y=/+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)/和點(diǎn)5(1,0),以為邊在x軸上方作正方形

ABCD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿C8勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，連接。尸，過點(diǎn)尸作DP的垂線與y

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段ZO(點(diǎn)P不與/、O重