廣西壯族自治區(qū)2025屆高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

廣西壯族自治區(qū)“金太陽”2025屆高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合M={x}x2-4x-5<0},N={x\-4<x<2},則MUN=()

A.[-4,5]B.[-1,3]C.[-4,2]D.[-1,2]

2.若S=1+i,貝Uz=()

z

A11.T，1.1.^1,1.「11.

A.————iB.--+-1C.-+—iD.---1

3.2024年1月至5月重慶市八大類商品和服務(wù)價格增長速度依次為3.1%,2.5%,1.9%,1.0%,0.8%,

0.5%,-0.1%,-2.6%,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為()

A.1.0%B.2.2%C.1.9%D.2.5%

4.甲同學(xué)每次投籃命中的概率為p,在投籃6次的實驗中，命中次數(shù)X的均值為2.4,則X的方差為

A.1.24B.1.44C.1.2D.0.96

5.已知函數(shù)/'(x)=a*-2(a>0,且a41)的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)g(x)=+2)的圖象不經(jīng)

a

過

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知橢圓M：與+4=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸2，點P在M上，Q為PF?的中點，且&Q，

ab

PF2,\FrQ\=b,則M的離心率為()

7.已知正四面體的高等于球。的直徑，則正四面體的體積與球。的體積之比為()

A3AA3n3/2c3/2n34

A.--B.——C.--D.——

47r27r47r27r

8.在AaBC中，sin(71-C)+sinC=sinB,且8c邊上的高為亨，貝U()

A.△ABC的面積有最大值，且最大值為苧

B.△48C的面積有最大值，且最大值為千

C.AABC的面積有最小值，且最小值為半

D.△ABC的面積有最小值，且最小值為苧

4

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知點(1,2)到拋物線C：x2=zny準(zhǔn)線的距離為4,則小的值可能為

A.8B.-8C.24D.-24

10.將函數(shù)/⑶=2sin(%+$圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，貝女)

A)(%+$為偶函數(shù)

B.g(%)的最小正周期為47r

D.函數(shù)y=/(x)-g(%)在［0,2汨上有5個零點

11.若函數(shù)/(%)=%3+ax2+b%+c,則

A./Q)可能只有1個極值點

B.當(dāng)f(%)有極值點時，a2>3b

C.存在a,使得點(0,/(0))為曲線y=/(%)的對稱中心

D.當(dāng)不等式"%)<0的解集為(—8,1)u(1,2)時，/(%)的極小值為—捺

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若向量五=(-2,3),b=(jn+1,2),且江〃3,則ni=.

13.已知｛an+3｝是等比數(shù)列，的=-2,a2=-1,則數(shù)列｛an｝的前幾項和為.

14.甲、乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6個大小質(zhì)地完全相同

的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，比較小球上的

數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3

分的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

1

如圖，在正方體4BCD-ABiGDi中，點E,F,G分別在力B,CC1；上，且BE=CF=DG=

⑴若麗=2z，證明：EF〃平面AHA.

(2)求平面與平面28CD夾角的余弦值.

16.(本小題12分)

為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表:

男學(xué)生女學(xué)生合計

喜歡跳繩353570

不喜歡跳繩102030

合計4555100

(1)依據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡運動有關(guān)聯(lián)？

(2)已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)X?N(170,100),該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)

經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10,該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)

在［170,200］內(nèi)的人數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù)).

n(ad—bc')2

附：Z2其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

若X?N(A，(T2),貝葉+=0.6827,P(〃-2(rWXW4+2。)=0.9545,P(〃一3。W

X</z+3cr)-0.9973.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(%)=e2x一(a+b)x+2,且曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線斜率為2-2a.

(1)比較a和b的大小；

(2)討論/(x)的單調(diào)性;

(3)若/(久)有最小值，且最小值為g(a),求g(a)的最大值.

18.(本小題12分)

已知平面內(nèi)一動點P到點尸(-2,0)的距離與點P到定直線x=-|的距離之比為等，記動點P的軌跡為曲線

C.

(1)求曲線C的方程.

(2)在直線y=上有一點M,過點M的直線/與曲線C相交于4,B兩點.設(shè)心x=my+n(m2>3),證

明：只與m有關(guān).

19.(本小題12分)

若數(shù)列｛。九｝滿足W+i+anan+2<+a九+2，且％i>。，貝！I稱數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列

(1)若數(shù)列6，m,2為“穩(wěn)定數(shù)列”，求a的取值范圍；

(2)若數(shù)列也｝的前幾項和%另(層+力，判斷數(shù)列｛%｝是否為“穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由；

(3)若無窮數(shù)列｛0｝為“穩(wěn)定數(shù)列”，且｛%｝的前71項和為〃，證明：當(dāng)nN2時，Tn+2<T2+n.

參考答案

1.71

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.4

8.D

9.AD

10.ACD

U.BCD

i1Z2--3-

13.2n—3n—1

14i

,8

15.解：(1)證明：FC=GD且FC〃GD,.?.四邊形CDGF是平行四邊形，

???CD=FGS.CD//FG.

???FH=^CD,S.FH//CD,AE=^CD,S.AE//CD,

：.AE=FH5.AE//FH,

四邊形AFF”是平行四邊形，EF〃4H.

???EFC平面力力Hu平面力HD】，

￡77/平面

(2)以。為原點，ZM為3個單位長度，DA,DC,D/所在直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則Di(0,0,3),E(3,2,0),F(0,3,l),底=(3,2,-3)，市=(0,3,-2)

設(shè)平面D】EF的法向量為元=(x,y,z),

n-DE=3x+2y-3z=0,取萬=

則r則y=6,z-9,得元=(5,6,9).

n-D#=3y-2z=0,

易得平面4BCD的一個法向量為沆=(0,0,1),

二平面劣前與平面4BCD夾角的余弦值為|晶|=需.

16.解：(1)零假設(shè)為兒：學(xué)生的性別和是否喜歡運動無關(guān).

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到*2=1*露法;鼠助=黑=2.357<2.706,

/UXJUXT'JXJJ/

根據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷為不成立,

因此可以認(rèn)為％成立，即學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩無關(guān).

(2)設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后，該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)為匕

貝ijy~N(180,100),〃=180"=10.

由題意得尸(170wy<180)=P(180r<y<〃)=&H等也，

P(180<y<200)=P(/z<y<〃+2tT)=P("-2等4+2"),

貝ij「(wowywzoo為Pa-ya+G+FTyQ+z。)^08186

因為1000x0.8186=818.6,

所以預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在［170,200］內(nèi)的人數(shù)為819.

17.解:⑴由題意得/'(%)=2e2x-(a+&),

則,(0)=2—(a+b)=2—2a,得a=b；

(2)由題意得/(%)的定義域為R,/'(%)=2e2x-2a,

當(dāng)a<0時，/'(%)>0,則/(久)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令/'(%)>0,得%>-Ina,令/'(%)<0,得％<-Ina,

則/(%)在(-8,|Ina)上單調(diào)遞減，在弓Ina,+8)上單調(diào)遞增；

(3)由(2)可知當(dāng)aWO時，/(x)沒有最小值,

]

則a>0,g(a)=/(x)min=/(-Ina)=a—alna+2,

得“(a)=—Ina,

當(dāng)OVaVl時,g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增,

當(dāng)a>1時，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，

所以g(a)max=g(l)=3.

18.(1)解：設(shè)P(Xy),由題意得叵不”=苧，

化簡得曲線C的方程為9-V=1.

(2)證明：設(shè)4(久1，為)，8(久2，%)

ex=my+n,

聯(lián)立上2y2_1得0n2-3)y2+2mny+n2-3=0,

因為根2>3,所以爪2-3>o,

所以△=(2mn)2—4(m2—3)(n2-3)=12(m2+n2-3)>0,

_—2mn

yi+y2

則2m—3

n2—3

7172=m2—3'

rx=my+n,

聯(lián)立上梟儆。=百?

222

\MA\=7(XO-%i)+(y0-yi)=V1+m|y0一月|,

2

同理可得|M8|=V1+m|y0-y2h

2

所以|M411MBi=(1+m)|y0-yillyo-Yzl

=(1+蘇)|犬-y0(y1+y2)+yiy2l

.n22mnzn2—3

(1+??12)I----------7H---==---------------1---5---—I

(<3-m)2(A^3-m)(m2-3)m2-3

03V3—3m

=(1+m2)|——--------------1

(V3—m)(m2—3)

3(m2+1)

'm2-3"

故只與根有關(guān).

19.(1)解：由題思得Hi?+2m<TH+2,得一24?n<1.

因為租〉0,所以m的取值范圍為(0,l].

(2)解：數(shù)列｛.｝不是“穩(wěn)定數(shù)列”.

理由如下：當(dāng)幾=1時，瓦=$1=9；

4

當(dāng)九22時，匕九=—S九_i=瓦也成立).

1

-n11

由題意得媼1+bnbn+2-bn-bn+2=九++2九(九+2)4--(n+2)=—(2n2—4n—7),

4lo

2

當(dāng)幾>4時，—(2n-4n-7)>0,即嫌+1+bnbn+2>bn+bn+2.

故數(shù)列｛,