圓的相關(guān)概念及性質(zhì)（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

目錄

題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤

一、考情分析題型13利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度

題型14利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長(zhǎng)

二、知識(shí)建構(gòu)題型15利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長(zhǎng)

考點(diǎn)一圓的相關(guān)概念題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積

題型01理解圓的相關(guān)概念題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)

題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小

題型03圓中的角度計(jì)算題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值

題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明

題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值題型21利用圓周角定理求解

考點(diǎn)二圓的性質(zhì)題型22利用圓周角定理推論求解

題型01由垂徑定理及推論判斷正誤題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型02利用垂徑定理求解題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值

題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明

題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題

題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)題型27利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問(wèn)題

題型06利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題題型28利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍

題型07利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題題型29利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題

題型08垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用題型30圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添

題型09利用垂徑定理的推論求解加弦心距

題型10垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型31圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到有直徑時(shí),

題型11利用垂徑定理求取值范圍常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

>①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周

圓的相關(guān)概念角的概念.在中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)在小題中通

>了解等圓、等弧的概念.?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、

>理解圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及

圓的對(duì)稱(chēng)性

對(duì)稱(chēng)圖形.以下，而在簡(jiǎn)答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和

圓相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，

垂徑定理及推>探索并證明垂徑定理:垂直于弦的

的難度中等或偏上.在整個(gè)中考中的占比也不是

論直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.

性>探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的很大,通常都是一道小題一道大題，分值在3-13

弧、弦、圓心角

質(zhì)關(guān)系，知道同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生

的關(guān)系

周角相等.在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本

圓周角定理及性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論，才能在后續(xù)

>了解并證明圓周角定理及其推論.

推論的結(jié)合問(wèn)題中更好的舉一反三.

圓內(nèi)接四邊形

>理解圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

的性質(zhì)

題型

相01理解圓的相關(guān)概念

關(guān)題型02圓的局長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算

概圓中的角度計(jì)算

題型053

念題型04園中線段長(zhǎng)度的計(jì)算

求?點(diǎn)到點(diǎn)上?點(diǎn)的距離距值

的C

題型01由垂徑定理及推論判斷正誤

題型02利用垂彳仝定理求解

相題型03根據(jù)乖徑定理與全等二角形綜合求解

關(guān)圓的對(duì)中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形題型04根據(jù)亞衿定理與相似二角形綜介求解

稱(chēng)性I------------------------題型03在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)

概---------1旋轉(zhuǎn)不變性

題型06利用正徑定理求平行弦問(wèn)題

念定理：垂直于弦的直彳仝平分這條弦，并且平分修所對(duì)的兩條孤.題型07利用正徑定理求同心圓問(wèn)題

題型08垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用

及

誨徑宓理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直丁?弦，并14平分弦所題型09利用垂徑定理的推論求解

蘇器宏'對(duì)的兩條弧.

性題型10垂徑定理的文際應(yīng)用

題型U利用垂徑定理求取值范圍

質(zhì)推論：弦的正直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷止誤

知二得三題型13利用孤、弦、圓心角關(guān)系求角度

題型14利用孤、弦、圓心角關(guān)系求線段長(zhǎng)

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,題型15利用瓠、弦、圓心角關(guān)系求周氏

所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心蹈相等.題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面枳

性題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)

心房向關(guān)案推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心力'J、兩條弧、兩條弦或

質(zhì)題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小

---------------兩條弦的弦心距中有一組號(hào)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組

題型19利用弧、弦、Udi心加關(guān)系求最值

量分別相等.

題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明

定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的M心角的一、匕題型21利用圓周內(nèi)定理求解

題型22利用圓周角定理推論求解

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的四周角所題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明

對(duì)的弦是汽徑.

題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題

圓內(nèi)接四邊網(wǎng)內(nèi)接四邊形對(duì)角q.補(bǔ).題型27利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決破值問(wèn)題

形的性質(zhì)?----------------------------題型28利用囤的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍

---------------圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外加等「?它的內(nèi)對(duì)角.題型29利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題

題型30圓仃關(guān)的常見(jiàn)軸助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距

題型31圓守關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到有直徑時(shí)，常添加（|師）直徑所對(duì)的

圓周向

考點(diǎn)一圓的相關(guān)概念

■■夯基.必備基礎(chǔ)能以?xún)z

定義內(nèi)容補(bǔ)充說(shuō)明

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)由圓的定義可知，確定圓的兩個(gè)條件

圓端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓.以0點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0.①圓心，它確定圓的位置.

②半徑，它確定圓的大小.

圓心為0、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)0的距離等于定

長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.

弦連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.①在一個(gè)圓上可以畫(huà)無(wú)數(shù)條弦和直徑.

②直徑是弦，但弦不一定是直徑.

直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.

③直徑是最長(zhǎng)的弦.

弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)：表示.①半圓是弧,但弧不一定是半圓.

以A、B為端點(diǎn)的弧記作?,讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.②弧有長(zhǎng)度和度數(shù)，規(guī)定半圓的度數(shù)為

180°,劣弧的度數(shù)小于180°,優(yōu)弧的度數(shù)大

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做

半圓于180°.

半圓.

優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

劣弧小于半圓的弧叫做劣弧.

同圓圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.①在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等

弧,度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧.

等圓半徑相等的圓叫做等圓.

②同圓或等圓的半徑相同.

同心圓圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距.

圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和

圓相交，二者缺一不可.

圓內(nèi)接如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接

四邊形四邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.

提升-必考題型歸納

題型01理解圓的相關(guān)概念

【例1】（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）下列說(shuō)法中，正確的是（）

①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等；④弧分為優(yōu)弧和劣弧.

A.①B.①③C.①③④D.②③④

【變式「1】（2023?上海普陀?統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（）

A.過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓B.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦D.圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸

【變式1-2］（2021?河南南陽(yáng)?校聯(lián)考一模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸

D.過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓

【變式1-3］（2022?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，正確的是（）

①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對(duì)的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算

【例2】（2023?福建泉州?南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）適時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙

法?白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，BC=400像素，^ABC=90°,那么周?chē)?/p>

圓環(huán)面積約為（）

A.400007TB.1600?rC.64000兀D.1600007T

【變式2-1］（2019?廣東佛山?佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴

水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴

水池的邊沿（）

圖（1）圖（2）

A.圖（1）需要的材料多B.圖（2）需要的材料多

C.圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多D.無(wú)法確定

【變式2-2］（2021?河南南陽(yáng)?校聯(lián)考一模）方孔錢(qián)是我國(guó)古代銅錢(qián)的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”.如圖所示,

是方孔錢(qián)的示意圖，已知“外圓”的周長(zhǎng)為2%,“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4,則圖中陰影部分的面積是.

【變式2-3］（2022?山東濟(jì)寧.統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢(qián)幣的中間是一個(gè)正方形孔，己知圓的直徑與正

方形的對(duì)角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的倍.（精確到個(gè)位）

【變式2-4］（2021?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┌岩粋€(gè)圓心為O,半徑為r的小圓面積增加

一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個(gè)圓（包括原來(lái)的小圓），則這四個(gè)圓的周長(zhǎng)之比（按從小到大

順序排列）是.

題型03圓中的角度計(jì)算

【例3】（2022?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，已知4B、4D是。。的弦，NB=30。，點(diǎn)C在弦4B上，連接C。

并延長(zhǎng)CO交于。。于點(diǎn)。，AD=20。，貝吐B4D的度數(shù)是（）

B.40°C.50°D.60°

【變式3T】（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）如圖，是。。的弦，0C_LA8,垂足為C,0D||AB,OC^OD,

C.100°D.105°

【變式3-2］（2022.河北廊坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，CO是的直徑,弦OE\\A0,若乙4=25。,則乙D的

度數(shù)為（）

40°C.50°D.60°

【變式3-3］（2022.江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形4。8中，。為初上的點(diǎn)，連接

4D并延長(zhǎng)與。B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CD=OA,4。=75°,則N力的度數(shù)為（）

A.35°B.52.5°C.70°D.72°

題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算

【例4】（2023?湖南益陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，在RtZkABC中，NC=90。，點(diǎn)。在斜邊4B上，以BD為直徑的。。

經(jīng)過(guò)邊4C上的點(diǎn)E,連接BE,且BE平分N4BC,若。。的半徑為3,AD=2,則線段BC的長(zhǎng)為（）

【變式4-1］（2023?云南臨滄?統(tǒng)考一模）已知2B=12,C、。是以4B為直徑的。。上的任意兩點(diǎn)，連接CD,

且AB1CD,垂足為NOCD=30。，則線段MB的長(zhǎng)為.

【變式4-2］（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知A、8是圓。上的點(diǎn)，以。為圓心作弧，交。4、0B于點(diǎn)C、D.分

別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于:CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E.作線段0E,交4B于點(diǎn)足交。。于點(diǎn)

G.若。尸=3cm,4AOB=120°,則。。的半徑為cm.

coD

題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值

【例5】（2023?山東德州?統(tǒng)考三模）如圖，四邊形4BCD為矩形，2B=3,BC=4.點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).^ADM=ABAP,貝IBM的最小值為（）

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【變式5T】（2021?山東臨沂?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAZBC中,AACB=90°,AC=10,BC=12,點(diǎn)。是

△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接AD,CD,BD,滿足N4DC=90。，貝UBD的最小值是（）

C.8D.13

【變式5-2］（2022.山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB^AC,BC=24,AO_LBC于點(diǎn)。，AD=5,P

是半徑為3的04上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸C,若E是尸C的中點(diǎn)，連結(jié)。E,則。E長(zhǎng)的最大值為（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

【變式5-3］（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A（3,0）、8（0,3）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面

內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2,點(diǎn)M為線段4C的中點(diǎn)，連接OM,貝UOM的最大值為（）

B.3V2+2c.|V2D.2

考點(diǎn)二圓的性質(zhì)

一夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1.圓的對(duì)稱(chēng)性

內(nèi)容補(bǔ)充

圓的軸對(duì)經(jīng)過(guò)圓心任意畫(huà)一條直線，并沿此直線圓對(duì)折,直線兩旁的部①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對(duì)稱(chēng)圖

稱(chēng)性分能夠完全重合，因此圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑所在的直形所沒(méi)有的性質(zhì).

線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.②圓的對(duì)稱(chēng)軸不是直徑，而是直徑所在

圓的中心將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱(chēng)圖的直線.

對(duì)稱(chēng)性形，它的對(duì)稱(chēng)中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自③圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱(chēng)圖形，它的許多

身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱(chēng)性推出.

2.垂徑定理及推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

方法技巧垂徑定理模型（知二得三）

如圖，可得①AB過(guò)圓心②AB_LCD③CE=DE@AC=AD⑤前=BD

【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直徑）（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出

其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱(chēng)“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt2\,用勾股，求長(zhǎng)度；

2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

【易錯(cuò)點(diǎn)】求兩條弦間的距離時(shí)要分類(lèi)討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的

異側(cè).

3.弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.

【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角、圓周角也

都相等.運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化.

4.圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=|圓心角）

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

【補(bǔ)充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚?duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩

個(gè)度數(shù)和為180°

【解題思路】

1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，在同圓中可以利

用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.

2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?

3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角.

4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的

圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”一一圓心角來(lái)轉(zhuǎn)化.

3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)

的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

5.圓內(nèi)接四邊形

性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).

2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

.提升-必考題型歸納

題型01由垂徑定理及推論判斷正誤

【例1】（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是。。是直徑，4B是弦且不是直徑，CD14B,則下列結(jié)論不丁

牢.確的是（）

C

D

A.AE=BEB.OE=DEC.AO=COD.A?=§?

【變式1-1］（2022?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)尸是。。直徑4B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4B重合），過(guò)點(diǎn)F作

弦CD148,點(diǎn)E是的上不與點(diǎn)。重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

C./-BAC=/.BEDD./.ABC>乙BED

【變式1-2］（2022?山東濟(jì)寧?二模）如圖，在。。中，AB是直徑，是弦，AB1CD,垂足為E,連接CO、

AD.OD,Z.BAD=22.5°,則下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.CE=EOB.OC=42CDC./-OCE=45°D.4BOC=24BAD

題型02利用垂徑定理求解

【例2】（2023?廣東佛山??？家荒＃┤鐖D，線段CD是。。的直徑，CD148于點(diǎn)E,若48長(zhǎng)為16,OE長(zhǎng)為

6,則。。半徑是（）

c

【變式2-1］（2022.重慶.重慶八中?？家荒＃┤鐖D，AB是。。的直徑，弦COL42于點(diǎn)E,AC^CD,QO

的半徑為2vL則△AOC的面積為（）

A.V3B.2C.2A/3D.4

【變式2-2］（2022.廣東廣州?執(zhí)信中學(xué)校考二模）如圖，。。是44BC的外接圓，ABAC=60%若O。的半

徑。C為2,則弦BC的長(zhǎng)為（）

【變式2-3］（2022?浙江寧波?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知。。的直徑CD=10cm,是。。的弦，AB1CD,垂足

為M,且48=8cm,貝必。的長(zhǎng)為（）

A.2V5cmB.4V3cmC.2j^cm或4A后cmD.2Hcm或4"Qcm

題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解

【例3】（2022?湖北襄陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）如圖，為。。的直徑，4E為。。的弦，C為優(yōu)弧4BE的中點(diǎn)，CDLAB,

垂足為D,AE=8,DB=2,則。。的半徑為（）

A.6B.5C.4V2D.4V3

【變式3-1](2020?湖北武漢?統(tǒng)考一模)如圖,48是0。的直徑,點(diǎn)。為9的中點(diǎn),。尸為。。的弦,且。尸，43,

垂足為E,連接BD交CF于點(diǎn)G,連接CD,AD,BF.

(1)求證：ABFG=ACDG；

(2)若4。=BE=2,求BF的長(zhǎng).

【變式3-2](2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè))如圖AB為圓。的直徑,4E為圓。的弦,C為。上一點(diǎn)，相=笆,

CD1AB,垂足為。.

(1)連接C。，判斷CO與4E的位置關(guān)系，并證明;

(2)若4E=8,BD=2,求圓0的半徑；

題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解

【例4】(2022?重慶沙坪壩.重慶南開(kāi)中學(xué)?？既?如圖，點(diǎn)E是。。中弦A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作。。的直

徑CZ),尸是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。。的切線與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R與C。延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若點(diǎn)尸為

尸G中點(diǎn)，COSF=￡。。的半徑長(zhǎng)為3則CE的長(zhǎng)為()

G

【變式4-1］（2022?四川瀘州??？家荒＃┤鐖D，AB為。。的直徑，弦于點(diǎn)ROELAC于點(diǎn)E,若

OE=3,08=5,則CD的長(zhǎng)度是（）

A.9.6B.4V5C.5V3D.10

【變式4-2］（2019?新疆阿克蘇?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是。。的直徑，弦BDLAO于E,連接BC,過(guò)點(diǎn)O

作OFJ_BC于E若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長(zhǎng)度是（）

A.3cmB.V6cmC.2.5cmD.V5cm

【變式4-3］（2023?河南周口?統(tǒng)考一模）如圖，4B為O。的直徑，C為。。上的一點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)B作。。的切線PB,交力C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若。D1BC,垂足為。，0D=2,PC=9,求P8的長(zhǎng).

題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)

【例5】(2021?吉林松原??？家荒?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，OP與x軸、y軸都相

切，且經(jīng)過(guò)矩形40BC的頂點(diǎn)C,與BC相交于點(diǎn)D,若。P的半徑為5,點(diǎn)4的坐標(biāo)是(0,8),則點(diǎn)D的坐標(biāo)

是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【變式5-1](2023?湖南衡陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。尸與y軸相切于點(diǎn)C,與x軸

相交于A,8兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(5,3),點(diǎn)M是。P上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△力面積的最大值為()

A.64B.48C.32D.24

【變式5-2](2022.江蘇泰州?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M(3,5)為圓心，力B為直徑的圓

與％軸相切，與y軸交于A、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

【變式5-3](2022?江蘇南京?校聯(lián)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、

C、。四點(diǎn).已知A(6,0),8(-2,0),C(0,3),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【變式5-4](2022?新疆昌吉?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。聞與x軸相切于點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)

分別為8、C,圓心M的坐標(biāo)是（4,5）,則弦8c的長(zhǎng)度為.

【變式5-5］（2023.黑龍江齊齊哈爾.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，2為半徑

作圓，交x軸于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在OC上.

（1）求出4,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試確定經(jīng)過(guò)4B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

題型06利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題

【例6】例023,山東泰安?統(tǒng)考二模）己知。。的直徑為10cm,4B,CO是。。的兩條弦,AB\\CD,AB=8cm,

CD=6cm,貝iMB與CD之間的距離為（）.

A.1B.7C.1或7D.3或4

【變式6-1］（2022.江蘇宿遷?校聯(lián)考一模）已知。。的直徑為10cm,AB,CD是。。的兩條弦，AB//CD,

AB=8cm,CD=6cm,貝！MB與CD之間的距離為cm.

【變式6-2］（2022?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，是直徑，弦EFII4B.

p

（1）在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫(huà)出劣弧EF的中點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）如圖2,在（1）的條件下連接OP、PF,若0P交弦E尸于點(diǎn)。，現(xiàn)有以下三個(gè)選項(xiàng)：①APQF的面積為

②EF=6；③PF="U,請(qǐng)你選擇兩個(gè)合適選項(xiàng)作為條件，求。。的半徑，你選擇的條件是一（填序號(hào)）

題型07利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題

【例7】（2020?山東泰安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的

弦與小圓有公共點(diǎn)，則弦A8的取值范圍是（）

A.8<AB<10B.8<AB<10C.4<AB<5