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文檔簡介

常系數(shù)線性方程組一階常系數(shù)線性微分方程組:本節(jié)主要討論(5.33)的基解矩陣的求法.一、矩陣指數(shù)expA的定義和求法1expA的定義定義注1:矩陣級(jí)數(shù)(5.34)是收斂的.由于而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.注2:級(jí)數(shù)在t的任何有限區(qū)間上是一致收斂的.由于而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.2矩陣指數(shù)的性質(zhì)由于:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理由于:3常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣(1)定理9矩陣是(5.33)的基解矩陣,且例1如果A是一個(gè)對(duì)角矩陣?yán)?(2)基解矩陣的一種求法則其中注1:二基解矩陣的計(jì)算公式類似第四章4.2.2,尋求形如將(5.43)代入(5.33)得1基解矩陣與其特征值和特征向量的關(guān)系方程(5.44)有非零解的充要條件是:結(jié)論即例3解的根,解得解得例4解特征方程為為求其對(duì)應(yīng)的特征向量考慮方程組解得2基解矩陣的計(jì)算方法---常系數(shù)線性微分方程組的解法(1)矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)定理10是常系數(shù)線性微分方程組的一個(gè)基解矩陣.例5解由例3知由定理10,矩陣就是一個(gè)基解矩陣.注:但由于有從而例6

試求例5的實(shí)基解矩陣.解由于基解矩陣為故實(shí)基解矩陣為例7

求方程組的通解.解因此特征根為它們相的特征向量為故基解矩陣為故通解為(2)矩陣A的特征根有重根時(shí)分量是無窮級(jí)數(shù)分量表為t的指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積有限項(xiàng)組合的解產(chǎn)生的,由于由(5.49)有由(5.51)有注1:故注2:其中例8

試解初值問題解從例4知,例9

如果解直接計(jì)算可得因此由公式(5.53)可得例10

求方程組滿足初始條件解這里系數(shù)矩陣特征根為由(5.48)我們需要考慮下面方程和首先討論這個(gè)方程組的解為其次這個(gè)方程組的解為解之得

代入上式得到三個(gè)線性無關(guān)的解,利用這三個(gè)解為列,即得(3)非齊線性方程的解下面研究非齊線性微分方程組由于(5.60)對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣為故由常數(shù)

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