浙江省七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，再由集合交集的運(yùn)算法則得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴∴.故選：C2.若函數(shù)，則其定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)根號(hào)下大于等于0和分母不為0得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，解得且，則其定義域?yàn)?故選：D.3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于A，，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，；，；所以，且由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得函數(shù)為增函數(shù)，故D正確；故選：D.4.已知命題：，，命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】C【解析】【分析】代入或1并結(jié)合全稱(chēng)命題的否定判斷即可；【詳解】當(dāng)x=1時(shí)，成立，所以命題為真命題；當(dāng)或1時(shí)，命題為假命題，所以為真命題；故選：C.5.已知，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法即可得到答案.【詳解】令，則，且，則，，則.故選：B.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即能推出，取，滿足，而，即不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.函數(shù)，滿足：對(duì)任意都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)為增函數(shù)且的函數(shù)值不大于時(shí)的函數(shù)值列不等式組求解即可；【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有成立，所以在定義域上為遞增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A.8.已知是二次函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，函數(shù)滿足函數(shù)方程，如果.下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.在上單調(diào)遞增C.為偶函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，利用特殊值法，整理題目中等式，可得答案；對(duì)于B，利用待定系數(shù)法，根據(jù)等式求得函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；對(duì)于C、D，整理對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，令，則，解得，故A正確；對(duì)于B，由，令，則，化簡(jiǎn)可得，設(shè)二次函數(shù)，則，化簡(jiǎn)可得，可得，所以，由，解得，所以，由函數(shù)，則其對(duì)稱(chēng)軸為直線，所以函數(shù)在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B可知，則其對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，由B可知，則其對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則即可判斷.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確.故選：CD.10.已知正數(shù)，滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及“1”的妙用逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】正數(shù)，滿足，對(duì)于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD11.已知解集為，則的解可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由一元二次不等式的解集得到為方程的兩個(gè)根，再得到韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理和分式不等式將所求不等式化簡(jiǎn)，再利用“穿針引線法”求解即可；【詳解】由題意可得，，且為方程的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以，則，又等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，所以不等式的解為或，故選：BD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞增，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，得到方程，求出或，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉不合要求的根，得到答案.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不合要求，舍去；故答案為：213.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：.14.在研究集合時(shí)，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題.我們把含有限個(gè)元素的集合叫做有限集，用來(lái)表示有限集合中元素的個(gè)數(shù).例如，，則，一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集合，，有.例如某學(xué)校舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人.兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？用集合表示田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生，用集合表示球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生，就有是田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生，是球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生，那么是兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的學(xué)生，是所有參賽的學(xué)生，則，所以，在兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有17名同學(xué)參賽；若集合，集合，集合，集合，則__________.【答案】180【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用容斥原理列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，而，，所以.故答案為：180四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用并集的定義直接求解.（2）利用給定交集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出的范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，而，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且.（1）求的表達(dá)式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案及解析（3）【解析】【分析】（1）對(duì)于奇函數(shù)，有，再結(jié)合，可以求出函數(shù)中的參數(shù)和，從而得到函數(shù)表達(dá)式.（2）要判斷函數(shù)單調(diào)性，可通過(guò)設(shè)出區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)自變量，，然后作差，根據(jù)差的正負(fù)來(lái)判斷單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來(lái)解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，所?又因?yàn)?，，把代入得，解?所以，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞減.理由如下：設(shè).因?yàn)?，所以，，，?所以，即，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】解關(guān)于的不等式，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以可化為.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.解得.解得.綜上，取交集得.17已知函數(shù)，，.（1）當(dāng)，且時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）若，，若，求的最小值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】解含參數(shù)的一元二次不等式，分和和求解即可；代入f1=0，再變形為【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，且時(shí)，不等式即，等價(jià)于，等價(jià)于當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解集為；所以不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解集為；【小問(wèn)2詳解】，即，即因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若，求的最大值；（2）若，求的最小值；（3）若，使得成立，求取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）分類(lèi)討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）令并分離參數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，令，即，由，則；【小問(wèn)2詳解】易知，對(duì)稱(chēng)軸為，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；綜上；【小問(wèn)3詳解】由在上恒成立，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知t在時(shí)單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，易得，則，分離參數(shù)得在上恒成立，即，令，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，即，所以，即的取值范圍.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式，需多注意式子結(jié)構(gòu)，常用換元法及整體思想轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，換元需注意所換元的范圍即可.19.對(duì)于函數(shù)，若，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn)；若，則稱(chēng)為的穩(wěn)定點(diǎn)；若滿足，且則稱(chēng)為的周期點(diǎn).已知函數(shù)，.（1）若，求的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若，求的穩(wěn)定點(diǎn)；（3）若存在周期點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）-1（2），，（3）或【解析】【分析】（1）由函數(shù)新定義求出即可；（2）由函數(shù)新定義先求不動(dòng)點(diǎn)，再求穩(wěn)定點(diǎn)即可；（3）由函數(shù)新定義，先求不動(dòng)點(diǎn)，再由不動(dòng)點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)得到方程，然后再由存在周期點(diǎn)的情況得到的判別式大于等于零，再分類(lèi)討論即可；【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，由題意可得，即，所以的不動(dòng)點(diǎn)為-1；【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，先求不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)，故，，則；，化簡(jiǎn)可得，由于的解是不動(dòng)點(diǎn)，故的解，即或?yàn)橹芷邳c(diǎn)，，，為穩(wěn)定點(diǎn).