高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及題型

第六節(jié)二次函數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)

1,二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式:f(x)=ax2+bx+c(aW0)；

頂點(diǎn)式:f(x)=a(x—h)2+k(aW0)；

兩根式:f(x)=a(x—x1)(x—x2)(a=#0).

2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)系數(shù)的特征

⑴二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#=0)中，系數(shù)a的正負(fù)決定圖象的開(kāi)口方向及開(kāi)口大小;

b

(2)一乙的值決定圖象對(duì)稱軸的位置；

(3)c的取值決定圖象與y軸的交點(diǎn)；

(4)b2-4ac的正負(fù)決定圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析式fix)=加+bx+c(〃>0)fix)=ax2+bx+c(〃<0)

/

圖象J

V

(一8,十8)(一8,H-OO)

定義域

(4?c—Z?2"|

值域L4a，+叼一8,.

k4a」

在[一品+8在(bl

)上單調(diào)遞增；在一8，一五上單調(diào)遞增；在

單調(diào)性

[-Fb+18)上單調(diào)遞減

18,g上單調(diào)遞減

當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)bWO時(shí)為非奇非偶函數(shù)

奇偶性

(b_4〃?！?

頂點(diǎn)12d4〃)

b

對(duì)稱性圖象關(guān)于直線X=一為成軸對(duì)稱圖形

常用結(jié)論

1.一元二次不等式恒成立的條件

(1)“ax2+bx+c>0(ar0)恒成立”的充要條件是"a>0,且A<0”.

(2)“ax2+bx+c<0(a豐0)恒成立”的充要條件是"a<0,且△<()”.

2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),閉區(qū)間為［m,n］.

(1)當(dāng)一Wm時(shí)，最小值為f(m),最大值為f(n)；

(2)當(dāng)m<-W時(shí)，最小值為f,最大值為f(n)；

(3)當(dāng)<—Wn時(shí)，最小值為f,最大值為f(m)；

(4)當(dāng)一>n時(shí)，最小值為f(n),最大值為f(m).

考點(diǎn)一求二次函數(shù)的解析式

求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同.

［典例］已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-l,f(—1)=—1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析

式.

［解］法一：利用二次函數(shù)的一般式

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a#=0).

〃4a+2Z?+c=-1,

a=-4,

a~b+c=-1解得｛。=

由題意得q4,

4ic—/

4a=8,,c=7.

故所求二次函數(shù)為fix)=-4X2+4X+7.

法二：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式

設(shè)/(%)=〃(%—機(jī))2+n.

Vf(2)=f(―1),二?拋物線對(duì)稱軸為x==.

.??m=,又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,??.n=8,

,\y=fix)=a(x—^\2+S.

Vf(2)=-1,Aa2+8=-l,解得a=-4,

.7/U)=-4，-分+8=-4『+4x+7.

法三：利用零點(diǎn)式

由已知f(x)+l=O的兩根為xl=2,x2=—1,

故可設(shè)f(x)+l=a(x-2)(x+1),

即/(%)=〃/_Q%_2Q_1.

又函數(shù)有最大值ymax=8,即=8.

解得a=—4或a=0(舍去)，

故所求函數(shù)解析式為fix)=-4X2+4X+7.

［題組訓(xùn)練］

1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一2,-1),且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),則函數(shù)的解析式為f(x)=

解析：法一：設(shè)所求解析式為f(x)=ax2+bx+c(a手0).

由已知得《^ac—b01解得《b=54

<4/+Z7+c=0,c—

\4s

所以所求解析式為/(x)+gx—

法二：設(shè)所求解析式為f(x)=ax2+bx+c(a#=0).

r1

—互=—2

2a

4

依題意得上-=T,解得jb=§,

、Q+Z?+C=0,5

[c=一§，

14s

所以所求解析式為/(%)=貢2+§x—

法三：設(shè)所求解析式為f(x)=a(x—h)2+k.

由已知得f(x)=a(x+2)2-1,

聘1點(diǎn)(1,0)代入，得a=,

所以f(x)=(x+2)2-l,

答案：x2+x—

2.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意x￡R,都有f(2

—x)=f(2+x),則函數(shù)的解析式f(x)=.

解析：丫f(2—x)=f(2+x)對(duì)xCR恒成立，

.\/(尤)的對(duì)稱軸為x—2.

又f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,

.,.f(x)=O的兩根為1和3.

設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-l)(x-3)(a*0).

又：人*)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),

??3a=3,a=l.

「?所求f(x)的解析式為f(x)=(x—1)(x—3),

即?x)=f—4%+3.

答案:x2—4x+3

考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考法(一)二次函數(shù)圖象的識(shí)別

［典例］若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象只可能

［解析］因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以a<0,b<0,所以二次函數(shù)的圖象開(kāi)

口向下，對(duì)稱軸方程x=一永0,只有選項(xiàng)C適合.

［答案］c

考法(二)二次函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題

［典例］

⑴已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+l—a在xG［0,l］時(shí)，有最大值2,則a的值為.

(2)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2—2ax+c在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，且f(m)Wf(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

［解析］(1)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+l—a=—(X—a)2+a2—a+1,對(duì)稱軸方程為x=a.

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max=f(0)=1—a,

所以1—a=2,所以a=-1.

當(dāng)OWaWl時(shí)，f(x)max=a2—a+1,

所以a2—a+l=2,所以a2—a—1=0,

所以a=(舍去).

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)max=f(l)=a,所以a=2.

綜上可知,a=—1或a=2.

(2)依題意a手0,二次函數(shù)f(x)=ax2—2ax+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=l,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上單

調(diào)遞減，所以a>0,即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，所以f(0)=f(2),則當(dāng)f(m)Wf(0)時(shí)，有0WmW2.

［答案］⑴T或2(2)［0,2］

［解題技法］

1.二次函數(shù)最值問(wèn)題的類型及解題思路

⑴類型：

①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；

②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；

③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng).

(2)解決這類問(wèn)題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點(diǎn)”是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，“一軸”指

的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問(wèn)題.

2.二次函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的求解策略

(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開(kāi)口方向與對(duì)稱軸的位置，若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,

則需要分類討論求解.

(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過(guò)二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單

調(diào)區(qū)間上比較.

考法(三)與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題

［典例］

⑴已知函數(shù)f(x)=x2+mx—1,若對(duì)于任意xG［m,m+1］,都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在區(qū)間［—3,—1］上恒成立，則k的取值范圍為

［解析］(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對(duì)于任意x6［m,m+l］,都有f(x)<0,

阿）<0,

則有，

江加+1）<0,

7層+相2-

即「

（771+1）2+77?（77?+1）—1<0,

解得一坐

(2)由題意得x2+x+l>k在區(qū)間［-3,-1］上恒成立.

設(shè)g(x)=x2+x+l,xW［—3,—1］,

則g(x)在［-3,-1］上遞減.

??g(X)min=g(-1)=L

；.k〈l.故k的取值范圍為(一8,1).

［答案］(1)0(2)(—8,1)

［解題技法］

由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵

(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).

(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)

思路的依據(jù)是：a2f(x)恒成立Qa》f(x)max,aWf(x)恒成立QaWf(x)min.

［題組訓(xùn)練］

1.(2019?杭州模擬)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在［0,1］內(nèi)的最大值為一5,則a的值為()

A.B.1或

C.-1或D.一5或

解析：選Df(x)=-42—4a,對(duì)稱軸為直線x=.

①當(dāng)21,即a22時(shí)，f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

(無(wú))max=/l)=-4—a2.

令一4—a2=—5,得2=±1(舍去).

②當(dāng)0<<1,即0<a<2時(shí)，f(x)max=f=-4a.

令-4a=-5,得a=.

③當(dāng)W0,即aWO時(shí)，f(x)在。1］上單調(diào)遞減，

?'?flx)raax—fiO)——4a一a2.

令一4a—a2=—5,得a=—5或a=1(舍去).

綜上所述,a=或一5.

2.若函數(shù)y=x2—3x+4的定義域?yàn)椋?,m］,值域?yàn)?，則m的取值范圍為()

A.(0,4］B.

「3門「3?)

C.1］,3jD.［］,+叼

解析：選Cy=x2—3x+4=2+的定義域?yàn)?。m］,顯然，在x=0時(shí)，y=4,又值域?yàn)?，根?jù)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性知WmW3,故選C.

3.已知函數(shù)f(x)=a2x+3ax—2(a>l),若在區(qū)間［-1,1］上f(x)W8恒成立，則a的最大值為.

解析：令ax=t,因?yàn)樗訵tWa,原函數(shù)化為g(t)=t2+3t—2,顯然g(t)在上單調(diào)遞

增，所以f(x)W8恒成立，即g(t)max=g(a)W8恒成立，所以有a2+3a—2W8,解得一5WaW2,又a>l,所

以a的最大值為2.

答案：2

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

A級(jí)

1.(2019?重慶三校聯(lián)考)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+l的圖象的對(duì)稱軸方程是x=l,并且過(guò)點(diǎn)P(—

1,7),則a,b的值分別是()

A.2,4B.-2,4

C.2,-4D.-2,-4

解析：選C；y=ax2+bx+l的圖象的對(duì)稱軸是x=l,，一=1..①

又圖象過(guò)點(diǎn)P(—1,7),；.a—b+l=7,即a—b=6.........②

由①②可得a=2,b=—4.

2.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,xd［0,l］,若f(x)有最小值一2,則a的值為()

A.-1B.0

C.1D.-2

解析：選D函數(shù)f(x)=-x2+4x+a的對(duì)稱軸為直線x=2,開(kāi)口向下,f(x)=-x2+4x+a在［0,1］

上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=0時(shí),f(x)的最小值為f(0)=a=-2.

3.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()

解析：選C若a>0,則一次函數(shù)y=ax+b為增函數(shù)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向上，故可排

除A；若a<0,一次函數(shù)y=ax+b為減函數(shù)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下，故可排除D；

對(duì)于選項(xiàng)B,看直線可知a>0,b>0,從而一<0,而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故可排除B.故選

C.

4.已知a,b,cGR,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(l),貝1()

A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

解析：選A由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為x=-=2,.Ma+b：。，又

f(0)>f⑴,f(4)>f(l)，,f(x)先減后增,于是a>0,故選A.

5,若關(guān)于x的不等式x2—4x—2—a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,-2)B.(-2,+8)

C.(-6,+0°)D.(—°0,—6)

解析：選A不等式x2—4x—2—a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2—4x—2)max,

令f(x)=x2-4x—2,xG(1,4),

所以f(x)<f(4)=-2,所以a<—2.

6.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,若丫=我乂)在區(qū)間［—4,6］上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是*=—a,

所以要使f(x)在［-4,6］上是單調(diào)函數(shù)，

應(yīng)有一aW—4或一a26,即aW—6或a》4.

答案：(-8,-6］U［4,+°°)

7.已知二次函數(shù)y=f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且方程f(x)=O的兩個(gè)實(shí)根之差等于7,則此二次函數(shù)的解

析式是.

解析:設(shè)f(x)=a2+49(a手0),

方程a2+49=0的兩個(gè)實(shí)根分別為xl,x2,

貝力xl—x2|=2=7,

所以a=-4,所以f(x)=-4x2—12x+40.

答案：f(x)=-4x2-12x+40

8.(2018-浙江名校協(xié)作體考試)y=的值域?yàn)椋?,+°°),則a的取值范圍是.

解析：當(dāng)a=0時(shí),y=，值域?yàn)椋?,+8),滿足條件；當(dāng)a/0時(shí)，要使y=的值域?yàn)椋?,+°°),只需

解得0<aW2.綜上,0WaW2.

答案:［0,2］

9.求函數(shù)f(x)=—x(x—a)在xG［—11］上的最大值.

解：函數(shù)f(x)=-2+的圖象的對(duì)稱軸為x=,應(yīng)分<—1,—1WW1,>1,即a<—2,一2Wa

W2和a>2三種情形討論.

⑴當(dāng)a<-2時(shí)，由圖①可知f(x)在上的最大值為f(一l)=—l-a=—(a+l).

⑵當(dāng)一2WaW2時(shí)，由圖②可知f(x)在［-1,1］上的最大值為f=.

⑶當(dāng)a>2時(shí)，由圖③可知f(x)在L1,1］上的最大值為f(D=a-l.

綜上可知，f(x)max=

10.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+l)—f(x)=2x,且f(0)=l.

(1)求兀x)的解析式；

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=2x+m的圖象的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

角星:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+l(a=^0),

由f(x+l)—f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.

所以，2a=2且a+b=0,解得a=l,b=—1,

因此fix)的解析式為J(x)—x+1.

(2)因?yàn)楫?dāng)x￡［—1,1］時(shí),y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，

所以在［—1,1］上,x2—x+l>2x+m恒成立；

即x2—3x+l>m在區(qū)間上恒成立.

所以令g(x)=x2—3x+l=2—,

因?yàn)間(x)在［—1,1］上的最小值為g(l)=-1,

所以m<一1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一8,—1).

B級(jí)

1.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(—3,0),對(duì)稱軸為x=—1.給出下面

四個(gè)結(jié)論：

①。2>4〃C；②2。一匕=1；@a—b+c=0；?5a<b.

其中正確的是()

A.②④B,①④

C.②③D.①③

解析：選B因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2—4ac>0,即b2>4ac,①正確；

對(duì)稱軸為x=—1,即一=—1,2a—b=0,②錯(cuò)誤；

結(jié)合圖象，當(dāng)x=-l時(shí),y>0,即a—b+c>0,③錯(cuò)誤；

由對(duì)稱軸為x=—1知，b=2a.

又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a<0,所以5a〈2a,即5a<b,④正確.

2.已知y=f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(x—1)2,若當(dāng)x￡時(shí)，nWf(x)Wm恒成立，則m—n的

最小值為()

A.1B.^

C.D.1

解析選D當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,f(x)=f(—x)=(x+1)2,因?yàn)閤￡,所以f(x)min=f(—1)=0,f(