幾何圖形初步知識歸納與題型突破-2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)上冊單元速記巧練（含答案）

第六章幾何圖形初步知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

幾何圖形的初步認(rèn)識

02知識速記

一、幾何體的特征與分類

1、常見幾何體的特征

名

常見幾何體特征

稱

r?5圓

由三個面組成，上、下兩個底面是大小相等的圓，側(cè)面是曲面.

柱

試卷第1頁，共23頁

棱柱分為直棱柱和斜棱柱，一般只討論直棱柱，其上、下兩個面為

棱

形狀、大小相同的多邊形，其余各面為長方形，底面為”邊形的棱

柱

柱叫n棱柱.

圓

由兩個面圍成，底面是圓形，側(cè)面為曲面.

錐

棱由底面與側(cè)面組成，底面為多邊形，側(cè)面為三角形，底面為〃邊形

錐的棱錐叫”棱錐.

球

由一個曲面圍成.

體

2、幾何體的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)

柱體圓柱、棱柱

按柱、錐、球分類錐體圓錐、棱錐

球體球體

直面體棱柱、棱錐

按面是否有曲面

曲面體圓柱、圓錐、球體

是棱柱、棱錐、圓錐

按是否有頂點

否圓柱、球體

注意：在對幾何體分類時首先確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，結(jié)果也就不同，不論選擇哪

種分類標(biāo)準(zhǔn)，都要做到不重、不漏.

二、點、線、面、體之間的關(guān)系

（點、線、面、體之間的關(guān)系：點動成線，線動成面，面動成體）

試卷第2頁，共23頁

線與線相交而成

點

（幾何中的點無大?。?/p>

平面線段

,面與面相交而成

，幾何＜三角形

幾（幾何中的線無粗細(xì)）

圖形多邊形

何'包圍著體的部分

圓

圖（幾何中的面無厚?。?/p>

形'圓柱

圓錐

體f立體圖形＜

棱柱

棱錐

三、直線相關(guān)概念

1.概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一

根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實際事物進(jìn)行形象描述.

2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示

為直線（或直線A4）.（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為

直線/.

3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡單說成：兩點確定一條直線.

直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸.（2）直線沒有粗細(xì).（3）兩點確定一條

直線.（4）兩條直線相交有唯一一個交點.

四、線段相關(guān)概念

1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.

2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作:

線段N8或線段切.（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段

3.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：

法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段.例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線/C上截取/2=

法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段.例：可以先量出線段。的長度，再畫一條等于這

個長度的線段.

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aAaBC

4.基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡記為：兩點之間，線段最短.

如圖所示，在4,3兩點所連的線中，線段的長度是最短的.

注：(1)線段是直的，它有兩個端點，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短.

(2)連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.

(3)線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短.②疊合法：利

用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同

側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠(yuǎn)近來比較長短.

5.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如圖所示，點C是線

段的中點，則NC=C3=148,或4B=2AC=2BC.

2

ACB

若點C是線段N8的中點，則點C一定在線段N8上.

五、射線相關(guān)概念

1.概念：直線上一點和它一側(cè)的部分叫射線，這個點叫射線的端點.

如圖所示，直線/上點。和它一旁的部分是一條射線，點。是端點.

OA-1

2.特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長.

3.表示方法：(1)可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上

除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線CM.(2)也可以用一個小

寫英文字母表示，如圖8所示，射線。/可記為射線/.

注：(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線.如圖中射線O/,射線是不同

的射線.

-"BOA-OA~~BC-

(2)端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線.如圖中射線。/、射線02、射

線0C都表示同一條射線.

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六、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系

1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系

（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系.在直線上任取一點，則可將

直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四條射線.

（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得

到直線.

2.三者的區(qū)別如下表

類別、直線射線

黑形AB1AB1AB1

①兩個大寫字母俅示①表示兩端點的兩

①兩個大寫字母；端點的字母在前）；

表示方法個大寫字母;②一個

②一個小寫字母②一個小寫字母

小寫字母

端點個數(shù)無1個2個

延伸性向兩方無償延伸向一方無限延伸不可延伸

性啟兩點確定一條直戰(zhàn)兩點之間，坎段最短

度，不可以不可以可以

作國敘述’過4、8作直線48以4為端點作射段48連接48

注：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下:

（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣.

七、角的相關(guān)概念

1）角的定義：角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點,

這兩條射線叫做角的邊，構(gòu)成角的兩個基本條件：一是角的頂點，二是角的邊.

角的另一種定義：角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的.

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如圖4—3—7所示，MNC可以看成是以/為端點的射線，從的位置繞點/旋轉(zhuǎn)到/C

的位置而成的圖形.

如圖4—3—8所示，射線。/繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0C和起始位置。/成一直線時，所

成的角叫做平角；如圖4—3—9所示，射線。繞它的端點旋轉(zhuǎn)一周所成的角叫做周角.

2）角的分類：小于平角的角可按大小分成三類：當(dāng)一個角等于平角的一半時，這個角叫直

角；大于零度角小于直角的角叫銳角（0。＜銳角＜90。）；大于直角而小于平角的角叫鈍角

（90。＜鈍角＜180。）.

1周角=2平角=4直角=360。，1平角=2直角=180。，1直角=90。.

3）角的表示方法：角用幾何符號2”表示，角的表示方法可歸納為以下三種：

（1）用三個大寫英文字母表示，如圖4—3—3所示，記作或4。4,其中，。是角的

頂點，寫在中間；/和8分別是角的兩邊上的一點，寫在兩邊，可以交換位置.

（2）用一個大寫英文字母表示，如圖4—3—3所示，可記作NO.用這種方法表示角的前提

是以這個點作頂點的角只有一個，否則不能用這種方法表示，如圖4—3—4所示，乙40c就

不能記作N。.因為此時以。為頂點的角不止一個，容易混淆.

（3）用數(shù)字或小寫希臘字母來表示，用這種方法表示角時，要在靠近頂點處加上弧線，注

上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母a、p,丫等.如圖4—3—4所示，乙403記作N/,乙BOC記作

Z2；如圖4―3—5所示，乙408記作年，N8OC記作Na.

4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角時要注意：（1）對中（頂點對中

心）；（2）重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）（3）讀數(shù)（讀出另一邊所在線的刻度

數(shù)）.

5）角的換算：在量角器上看到，把一個平角180等分，每一份就是1。的角.1。的《為1

60

分，記作T',即/°=60、r的義為1秒，記作T"，即1"=60".

60

八、角的比較

1）角的比較方法

（1）度量法：如圖4—4—4所示，用量角器量得41=40。，Z2=3O°,所以N1＞N2.

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FC

CF

A(D)

圖4-4-5

(2)疊合法：比較乙48c與乙。跖的大小，先讓頂點8、￡重合，再讓邊8/和邊ED重合,

使另一邊斯和3C落在A4(DE)的同側(cè).如果斯和3c也重合(如圖4—4—5(1)所

示)，那乙DEF等于乙48c.記作乙D￡/=ZJ8C；如果￡尸落在乙48c的外部(如圖4一4一5

(2)所示)，那么乙DE尸大于乙42c,記作ZZ)斯＞ZABC；如果斯落在412C的內(nèi)部(如

圖4一4一5(3)所示)，那么小于乙48C,記作乙DEFCzA8c.

提示：疊合法可歸納為“先重合，再比較”.

2)角的和、差

由圖4—4—7(1)、(2),已知41,N2,圖4—4—7(3)中，Z^BC=zl+z2；圖4—4—7

(4)中，乙GEF=3EG一人

OA

圖4-4-9

圖4-4-7

3)角的平分線

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分

線.

如圖4一4一9所示，射線0c是4804的平分線，則乙BOC=4cOA=-4BOA，乙BOA=2乙B0C

2

=2乙COA.

4)方向的表示

方位角：是指南北方向線與目標(biāo)方向所成的小于90。的水平角.

注意表示方向時要先寫北或南，再寫偏東或偏西，最后寫多少度.如圖4—4—2所示，0A

是表示北偏東30。的一條射線.特別地，射線OC表示北偏西45.或?qū)懗晌鞅狈较?

試卷第7頁，共23頁

視線

K4-?-i

仰角和俯角：如圖：在用上標(biāo)上仰角和俯角

九、余角、補角

1）余角定義：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，簡稱互余，其中一個

角是另一個角的余角.

用數(shù)學(xué)語言表示：如果Na+44=90。，那么/a與N4余角；反過來，如果乙。與N夕互余,

那么4"+N力=90。

2）補角定義：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補角，簡稱互補，其中一個

角是另一個角的補角.

用數(shù)學(xué)語言表示：如果za=180。，那么4。與互補；反過來如果/a與2夕互補,

那么N1+N夕=180。

03題型歸納

題型一常見的幾何體

例題

（24-25七年級上?全國?隨堂練習(xí)）

1.觀察下列實物，抽象出的幾何圖形為長方體的是（）

B.

C.D.

試卷第8頁，共23頁

鞏固訓(xùn)練

（23-24七年級上?貴州六盤水?期末）

2.下列學(xué)習(xí)或生活中的物品，它的形狀可以近似的看作圓柱體的是（）

（23—24七年級上?四川達(dá)州?期末）

（23-24七年級上?貴州貴陽?期末）

4.下列實物圖中，其形狀類似圓柱的是（

題型二幾何體中的點、棱、面

例題

（23-24六年級上?山東煙臺?期中）

5.五棱柱是由一個面圍成的，有.個頂點,共有一條棱.

鞏固訓(xùn)練

（23-24七年級上?重慶沙坪壩?期中）

6.一個七棱柱有個面；個頂點.

（23-24七年級上?陜西西安?期中）

試卷第9頁，共23頁

7.如圖，這是一個五直棱柱，若它的底面邊長都是2cm,側(cè)棱長都是5cm,回答下列問題:

(1)它有個側(cè)面，個底面.

(2)它的所有側(cè)面的面積之和是多少？

(23-24六年級上，山東泰安,期中)

8.推理猜測：

(1)三棱錐有條棱，個面；四棱錐有條棱，個面.

(2)棱錐有30條棱，棱錐有101個面；

(3)有沒有一個多棱錐，其棱數(shù)是2024,若有，求出它有多少個面；若沒有，說明為什么？

(23-24七年級上?四川達(dá)州?階段練習(xí))

9.十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)(刀、面數(shù)(尸)、棱數(shù)(E)之間

存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多面體模型，回答下列

問題:

四面體長方體正八面體正十二面體

(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:

多面體頂點數(shù)(K)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)

四面體44

長方體8612

正八面體812

正十二面體201230

試卷第10頁，共23頁

四面體棱數(shù)是二正八面體頂點數(shù)是

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（%）、面數(shù)5）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是一.

（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8,且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是一.

（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而

成，且有24個頂點，每個頂點出都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個數(shù)為。個，八邊

形的個數(shù)為b個，求6的值.

題型三點、線、面、體四者之間的關(guān)系

例題

（24-25七年級上?山西呂梁?階段練習(xí)）

10.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，歷來中國有“制扇王國”之稱.如圖，打開折扇時，隨

著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為（）

A.點動成線B.線動成面C.面動成體D.以上都不對

鞏固訓(xùn)練

（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）

11.如圖是一種折疊燈籠，壓扁的時候,它看起來是平面的，提起來卻變成了美麗的圓柱形

燈籠.這個過程中蘊含的數(shù)學(xué)原理是（

B.線動成面C.面動成體D.垂線段最短

（23-24七年級上?遼寧本溪?期末）

12.下雨時汽車的雨刷會把玻璃上的雨水刷干凈，運用數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象為（）

試卷第11頁，共23頁

A.點動成線B.線動成面C.面動成體D.面面相交成線

（23-24七年級上?山東青島?期中）

13.下面現(xiàn)象能說明“面動成體”的是（）

A.流星從空中劃過留下的痕跡

B.扔一塊小石子，小石子在空中飛行的路線

C.時鐘秒針旋轉(zhuǎn)時掃過的痕跡

D.將一枚硬幣豎立在桌面，擊打一側(cè)使其快速旋轉(zhuǎn)，就會看到一個“球”

題型四平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形

例題

（24-25七年級上?山東荷澤?階段練習(xí)）

14.如圖，由所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是（）

鞏固訓(xùn)練

（24-25七年級上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）

15.將如圖所示的平面圖形繞直線/旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）

試卷第12頁，共23頁

A.B.C.D.

（2024七年級上?四川成都?專題練習(xí)）

16.觀察圖，把左邊的圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后可能形成的立體圖形是（）

（23—24七年級上?陜西榆林?期中）

17.如圖是一張長方形紙片，長方形的長為6cm,寬為4cm,若將此長方形紙片繞它的一

邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體.

（1）這個幾何體的名稱是一，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為二

（2）求得到的這個幾何體的體積（結(jié)果保留兀）

題型五直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別

例題

18.下列各圖中直線的表示方法正確的是（）

的枝￡

A.直線42B.直線C.直線gD.直線辦

鞏固訓(xùn)練

19.下列說法錯誤的是（）

A.直線助與直線是同一條直線B.線段NB與線段切是同一條線段

C.射線創(chuàng)與射線是同一條射線D.射線48與線段48都是直線48的一部分

20.如圖，點B,C在直線/上，下列說法中正確的有（）

試卷第13頁，共23頁

①只有一條直線；②能用字母表示的射線共有3條；③一共有三條線段；④延長直線

⑤延長線段AB和延長線段BA的含義是相同的；⑥點2在線段AC1..

----???------/

A-------BC

A.2個B.3個C.4個D.5個

21.如圖，A,3在直線/上，下列說法正確的是（）

AB

——1---------1--------------1

A.射線42和射線詡是同一條射線

B.圖中以點/為端點的射線有兩條

C.直線48和直線R4不是同一條直線

D.延長線段和延長線段切的含義是相同的

題型六畫直線、射線、線段

例題

（23-24七年級上?山東濱州?階段練習(xí)）

22.如圖，已知點A、B、0、M,請按下列要求作圖并解答.

M

?B

⑴連接收

（2）畫射線0W；

⑶在射線上取點C,使得。C=2/8（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）;

鞏固訓(xùn)練

（23-24七年級下?廣東廣州?期末）

23.如圖，在平面內(nèi)有4,B,C三點.請按照要求畫圖.

試卷第14頁，共23頁

(1)分別畫出直線/C,線段5C,射線N3；

(2)過點/畫4D25C,垂足為點。；

(3)尺規(guī)作圖：在射線48上作出點E,使4E=2BC(要求保留作圖痕跡).

(23-24七年級上?重慶榮昌?期末)

24.如圖，平面上有三個點A,B,C,利用尺規(guī)按要求作圖；

A?

B，,C

⑴作直線/c；

⑵作射線N3;

(3)在線段/C上作線段C。，使=(不寫作法，保留作圖痕跡).

(23-24七年級上?山東德州?期末)

25.尺規(guī)作圖：用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

如圖，平面上有四個點4B,C,D.

請按下列語句畫出圖形:

①作直線48、射線AD,線段8C；

②延長C8,在C3的延長線上截取線段BE,使BE=BC.

題型七兩點確定一條直線、兩點之間線段最短

例題

26.生活中有下列現(xiàn)象如圖所示.對于這個現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋.

木板上彈墨線

鞏固訓(xùn)練

27.在安裝如圖所示的掛衣鉤時，小明先在墻上標(biāo)記兩個固定孔，就可以預(yù)先確定好掛衣鈞

試卷第15頁，共23頁

合適的位置，這樣做的依據(jù)是：.

28.如圖，學(xué)生要去博物館參觀，從學(xué)校/處到博物館2處的路線共有（1）（2）（3）三

條.假設(shè)行走的速度不變，為了節(jié)約時間，盡快從/處趕到8處，你認(rèn)為應(yīng)該走第

條路線（只填編號），理由是.

例題

（23-24七年級上?湖北荊門?單元測試）

30.如圖，C是線段48上一點，且/C:48=2:3,。是的中點，E是C3的中點,

DE=8.

IIIII

ADCEB

（1）求線段的長；

⑵求NABC.

鞏固訓(xùn)練

（24—25七年級上?全國?單元測試）

31.如圖，C是線段NE的中點，點。在線段CE上，B是線段的中點.

IIIII

ABCDE

試卷第16頁，共23頁

⑴若/C=3,DE=2,求CD的長；

⑵若BC=3,CD:AD=1:4,求NC的長.

(23-24七年級上?湖南株洲?期末)

32.如圖所示，線段/8=18°加，點C為線段N8上的一點，點。是線段NC的中點，點E

是線段C8的中點，

II111

ADCEB

⑴求DE的長；

(2)如果=求線段/C的長.

(22-23七年級上?廣東東莞?期末)

33.如圖，C是線段48上一點，M是線段/C的中點，N是線段2c的中點.

BNCMA

(1)若8C=6cm,AC=8cm,求A/N的長；

(2)若4s=15cm,求MN的長；

(3)若M/=6cm,求42的長；

(4)指出48與之間的大小關(guān)系.

題型九角的概念及表示方法

例題

34.下列說法中，正確的是()

A.一個周角就是一條射線B.平角是一條直線

C.角的兩邊越長，角就越大D.也可以表示為N8CM

鞏固訓(xùn)練

(2324上?全國?課時練習(xí))

35.如圖，下列說法中不正確的是()

B./NOC也可以用N。表示

D.圖中有三個角//02,ZA0C,

試卷第17頁，共23頁

ZBOC

36.如圖所示，回答下列問題:

(1)寫出能用一個字母表示的角：:

(2)寫出以點B為頂點的角；

(3)圖中共有個小于平角的角.

37.根據(jù)給出的圖回答下列問題：

(1)/1表示成這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正?

(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？

⑶以A為頂點的角有幾個？請表示出來.

(4)/ADC與是同一個角嗎？請說明理由.

(5)圖中共有幾個小于平角的角？

題型十角的單位與角度制

例題

38.計算：

(1)49.9°=°'；

(2)25。42，=°；

(3)18。46'55〃+27。17'24〃=.

鞏固訓(xùn)練

39.(1)1周角=平角=_____________直角；

(2)1°=_'="；

(3)1.25°=5400〃=—°,

40.計算：

(1)180°-46。42'=；

試卷第18頁，共23頁

（2）28°36'+72°24'=；

（3）50。24勺3=：

（4）49°28'52"+4.

題型H一■求一個角的余角、補角

例題

（24-25七年級上?全國?單元測試）

41.一個角的補角是92。，則這個角的余角是.

鞏固訓(xùn)練

（23-24六年級下?全國?單元測試）

42.如果一個角是50。，那么這個角的補角是____度.

（23-24七年級上?全國?期末）

43.已知的余角是23.46。，〃的補角是113。27'36〃，則/a和二?的大小關(guān)系

是.

（22-23七年級上?重慶九龍坡?期末）

44.一個角的余角的3倍比這個角的補角小40。，則這個角的度數(shù)為.

題型十二三角板中角度計算問題

例題

45.將一副直角三角尺如圖放置，若NBOC=160。，則44OD等于.

鞏固訓(xùn)練

46.如圖，直角三角板的直角頂點。在直線A8上，線段OC,是三角板的兩條直

角邊，射線是乙40。的平分線.

試卷第19頁，共23頁

(2)當(dāng)/COE=a時，ZBOD=(用含a的式子表示).

47.如圖所示，以直線上的一點。為端點，在直線的上方作射線。尸，使

=70。.將一塊直角三角尺的直角頂點放在點。處，且直角三角尺(NMON=90。)

在直線48的上方.設(shè)立8?！?〃。(0<〃<90).

(1)當(dāng)見=32時，求/PON的大?。?/p>

(2)若0<〃<70時，求N/ON-NPOM的值.

題型十三角平分線的有關(guān)計算

例題

(23-24七年級下?四川自貢?開學(xué)考試)

48.如圖，點/,O,8在同一條直線上，OD,OE分別平分/NOC和23OC.

⑴求的度數(shù)；

(2)如果/COD=60。，求N/OE的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

(23-24七年級上?云南昭通?期末)

49.如圖，點O在直線上，是//OC的平分線，OE是NCO2的平分線.

O

(1)求乙DOE的度數(shù)；

(2)如果44。。=56。18「求Z8OE的度數(shù).

試卷第20頁，共23頁

（23-24七年級上?湖北襄陽?期末）

50.如圖，已知OE平分//OC,CR平分/20C.

⑴若2/O8是直角，N8OC=60。，求/EO9的度數(shù)；

（2）若44OC=x,ZBOC=y,列式表示NEO9的大小.

（23—24七年級下?寧夏固原?開學(xué)考試）

51.如圖（1）所示，已知：ZAOB=90°,ZBOC=30°,（W平分N/02,ON平分

ZBOC.

圖⑵

⑵如果NAOB=a,ABOC=/3,其它條件不變，那么NMON=_（用含a,/的式子表

示）.

⑶如圖（2）,若將條件變成。是直線NC上一點，QB為一條射線，平分乙4。8,ON

平分N8OC,那么/VON=_,并給出理由.

題型十四與余角、補角、角平分線有關(guān)角的計算問題

例題

（23?24上?全國?課時練習(xí)）

52.如圖，OD平分ZBOCOE平分N/OC,/2OC=70。,//。。=50°.

試卷第21頁，共23頁

D

B

⑴求出2/03及其補角的度數(shù)；

(2)請求出40。和的度數(shù)，并判斷4＞?！昱c是否互補，并說明理由.

鞏固訓(xùn)練

⑵?24上?呼和浩特?階段練習(xí))

53.如圖，。為直線N2上一點，過點。作射線。C,使NB0C=120。.將一直角三角尺的

圖①圖②

(1)當(dāng)三角尺一邊在N3OC的內(nèi)部(圖①)，且恰好平分/3OC,此時直線0N是否平分

ZAOC2請說明理由；

(2)當(dāng)三角尺一邊ON在NNOC的內(nèi)部(圖②)，求N4OM-NCCW的值.

54.如圖，過點。在內(nèi)部作射線OC.0E,。尸分別平分N/OC和N80C,ZAOC

與N/Q8互補，ZAOC=?.

(1)如圖1,若a=70。，貝ijNN02=°,ZAOF=°,NEOF=°；

⑵如圖2,若。。平分Z/02.試探索：/COD是否為定值,若是，請求出這個

ZDOE

定值；若不是，請說明理由.

試卷第22頁，共23頁

試卷第23頁，共23頁

1.B

【分析】此題主要考查了簡單幾何體，準(zhǔn)確地識別球、長方體、圓柱、圓臺是解決問題的關(guān)

鍵.根據(jù)各選項中的實物所抽象出的幾何圖形逐一進(jìn)行判斷即可得出答案.

【詳解】解：選項A中的實物抽象出的幾何圖形為球，故選項A不符合題意；

選項B中的實物抽象出的幾何圖形為長方體，故選項B符合題意；

選項C中的實物抽象出的幾何圖形為圓柱，故選項C不符合題意；

選項D中的實物抽象出的幾何圖形為圓臺，故選項D不符合題意，

故選：B.

2.A

【分析】本題考查了立體圖形的識別，注意幾何體的分類，一般分為柱體、錐體和球，柱體

又分為圓柱和棱柱，錐體又分為圓錐和棱錐.依次從觀察圖形，即可得出答案.

【詳解】解：A、形狀類似圓柱，故符合題意；

B、形狀類似長方體，故不符合題意；

C、形狀類似圓錐，故不符合題意；

D、形狀類似球，故不符合題意.

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)三棱柱、球、圓柱、四棱柱的定義逐一判斷即可.本題主要考查認(rèn)識立體圖形,

熟練掌握三棱柱、球、圓柱、四棱柱的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.本圖是圓柱，故本選項符合題意；

B.本圖是三棱柱，故本選項不符合題意；

C.本圖是球，故本選項不符合題意；

D.本圖是四棱柱，故本選項不符合題意；

故選：A.

4.D

【分析】本題主要考查了立體圖形.根據(jù)個選項實物特征，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、其形狀類似圓，故本選項不符合題意；

B、其形狀類似棱柱，故本選項不符合題意；

C、其形狀類似棱柱，故本選項不符合題意；

D、其形狀類似圓柱，故本選項符合題意；

答案第1頁，共24頁

故選：D

5.71015

【分析】本題主要考查立體圖形的認(rèn)識，解答此題首先要理解五棱柱的概念和特性，柱體中,

面與面相交成棱，棱與棱相交成頂點.根據(jù)五棱柱的概念和特性即可解.

【詳解】解：五棱柱如圖所示：

五棱柱是由7個面圍成的，有10個頂點，共有15條棱.

故答案為：7；10；15.

6.914

【分析】本題考查了棱柱的面，頂點，一個七棱柱是由兩個七邊形的底面和7個四邊形的側(cè)

面組成，根據(jù)其特征進(jìn)行填空即可.

【詳解】解：一個七棱柱有9個面，14個頂點，

故答案為：9,14.

7.(1)5；2.

(2)50cm2.

【分析】(1)根據(jù)棱柱的特征回答即可；

(2)根據(jù)矩形的面積公式，先算一個側(cè)面的面積，再算所有側(cè)面積之和.

本題考查了棱柱的特征："棱柱有〃個側(cè)面，2個底面，每個側(cè)面都是長方形.

【詳解】(1)五棱柱有5個側(cè)面，2個底面。

故答案為：5；2.

(2)一個側(cè)面的面積為2x5=10cm2,

側(cè)面積之和為10x5=50cm2.

答：它的所有側(cè)面的面積之和是50cm2.

8.(1)6,4,8,5

(2)十五,一百

(3)有，它有1013個面

答案第2頁，共24頁

【分析】本題考查了立體圖形，掌握棱錐的特征和命名規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三棱錐、四棱錐的特征，數(shù)出其棱數(shù)和面數(shù)即可；

(2)總結(jié)出"棱錐2〃條棱，5+1)個面，即可解答；

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律，先確定這是幾棱錐，再確定其面數(shù)即可.

【詳解】(1)解：三棱錐有6條棱，4個面；四棱錐有8條棱，5個面.

故答案為：6,4,8,5；

(2)解：根據(jù)題意可得：

三棱錐有6條棱，4個面，

四棱錐有8條棱，5個面，

五棱錐有10條棱，6個面，

"棱錐2〃條棱，(”+1)個面，

當(dāng)2〃=30時，

解得〃=15,

；?十五棱錐有30條棱，

當(dāng)"+1=101時，

解得〃=100,

二一百棱錐有101個面，

故答案為：十五，一百；

(3)解:當(dāng)2〃=2024時，

解得：〃=1012,

.?.”+1=1012+1=1013,

即：有，它有1013個面.

9.(1)6；6；V+F-E=2

⑵12

(3)a+b=14

【分析】本題考查了歐拉公式和數(shù)學(xué)常識，注意多面體的頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系及

靈活運用.

(1)觀察可得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；

答案第3頁，共24頁

(2)代入(1)中的式子即可得到面數(shù)；

(3)得到多面體的棱數(shù)，求得面數(shù)即為。+方的值.

【詳解】(1)解：四面體的棱數(shù)為6；

正八面體的頂點數(shù)為6；

關(guān)系式為：V+F-E=2；

故答案為：6；6；V+F-E=2；

(2)：一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8,

K=F+8,

■.■V+F-E=2,且E=30,

二尸+8+F-30=2,

解得尸=12；

故答案為：12；

(3)?.?有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；

.??共有24x3+2=36條棱，

那么24+戶一36=2,

解得尸=14,

a+b=14.

10.B

【分析】本題考查了線、面的關(guān)系，根據(jù)題意，結(jié)合線動成面的數(shù)學(xué)原理：某一條線在運動

過程中留下的運動軌跡會組成一個平面圖形，這個平面圖形就是一個面，即可得出答案.熟

練掌握線動成面的數(shù)學(xué)原理是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為

線動成面，

故選：B

11.C

【分析】本題考查了點、線、面、體的相關(guān)知識.根據(jù)點、線、面、體相關(guān)的知識進(jìn)行解答

即可.

【詳解】解：由平面圖形變成立體圖形的過程是面動成體，

故選：C.

12.B

答案第4頁，共24頁

【分析】本題考查了圖形的運動，熟練掌握從圖形運動變化的角度感悟到點動成線是解決本

題的關(guān)鍵，根據(jù)圖形運動變化的角度思考即可得出答案.

【詳解】解：下雨時汽車的雨刷會把玻璃上的雨水刷干凈，運用數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象為線

動成面，

故選：B.

13.D

【分析】本題考查了點、線、面、體的知識；根據(jù)點動成線，線動成面，面動成體對各選項

分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A.流星從空中劃過留下的痕跡，說明“點動成線”，故該選項不正確，不符合

題意；

B.扔一塊小石子，小石子在空中飛行的路線，說明“點動成線”，故該選項不正確，不符合

題意；

C.時鐘秒針旋轉(zhuǎn)時掃過的痕跡，說明“線動成面”，故該選項不正確，不符合題意；

D.將一枚硬幣豎立在桌面，擊打一側(cè)使其快速旋轉(zhuǎn)，就會看到一個“球”，說明“面動成

體”，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

14.D

【分析】本題主要考查了面動成體，根據(jù)立體圖形的形狀，平面圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求

解.

【詳解】解：所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是D,

故選：D.

15.D

【分析】本題考查的知識點是點、線、面、體，解題關(guān)鍵熟悉常見圖形的旋轉(zhuǎn)得到立體圖

形.

根據(jù)面動成體，所得圖形是兩個圓錐體的復(fù)合體確定答案即可.

【詳解】解：由圖可知，可將平面圖形分成矩形和直角三角形兩部分，

答案第5頁，共24頁

根據(jù)面動成體，矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周可得圓柱，直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)

一周可得圓錐，

則圖中繞直線/旋轉(zhuǎn)一周所得立體圖形為上邊圓柱下邊圓錐的組合.

故選：D.

16.D

【分析】本題考查了點、線、面、體，關(guān)鍵要注意觀察，培養(yǎng)空間想象力，解題的關(guān)鍵是要

掌握面動成體的原理；根據(jù)面動成體的原理以及空間想象力即可得到答案.

【詳解】解：由圖形可以看出，左邊的長方形的豎直的兩個邊與已知的直線平行，因而這兩

條邊旋轉(zhuǎn)形成兩個柱形表面，因而旋轉(zhuǎn)一周后可能形成的立體圖形是一個管狀的物體.

故選：D.

17.⑴圓柱，面動成體；

(2)得到的幾何體的體積為144萬加3或96萬cn?

【分析】本題考查幾何體的體積以及面動成體；

(1)根據(jù)面動成體可知，將長方形紙片繞它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓

柱；

(2)分兩種情況確定出圓柱的底面半徑和高，再根據(jù)圓柱的體積公式計算即可求解.

【詳解】(1)解：將長方形紙片繞它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓柱，這個

現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為面動成體，

故答案為：圓柱，面動成體；

(2)①若繞4cm的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的是底面半徑為6cm,高為4cm的圓柱，

它的體積為：x62x4=144^cm3；

②若繞6cm的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的是底面半徑為4cm,高為6cm的圓柱，

它的體積為：yrx42x6=96/rcm3；

綜上：得到的幾何體的體積為144萬cn?或96萬cn?.

18.A

答案第6頁，共24頁

【分析】本題考查了直線的表示方法.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：直線有兩種表示方法：①

可以用一個小寫字母表示，如直線。；②用直線上任意兩點的大寫字母表示，如直線A8

或直線胡.根據(jù)直線的表示方法作答即可.

【詳解】解：由題意知，圖中直線的表示方法正確的是直線

故選：A.

19.C

【分析】直線是無端點，向兩邊無限延伸，取直線上的兩個點，用大寫字母表示該直線；射

線是有一個端點，向一邊無限延伸，端點不同，射線不同；線段有兩個端點，線段與線

段胡是同一條線段，可度量長度，由此即可求解.

【詳解】解：A、直線以與直線48是同一條直線，正確，不符合題意；

B、線段43與線段8/是同一條線段，正確，不符合題意；

C、射線A4與射線不是同一條射線，端點不同，射線不同，原選項錯誤，符合題意；

D、射線與線段都是直線的一部分，正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查直線，射線，線段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解題的關(guān)

鍵.

20.B

【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義與表示：直線是從客觀事物中抽象出來的，直線沒有

盡頭，是向兩方無限延伸的，用直線上任意兩點的大寫字母表示，可用一個小寫字母表示；

直線上的一點和它一旁的部分叫做射線，用兩個大寫字母表示，一條射線可用它的端點和射

線上另一點來表示，也可用一個小寫字母表示；直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，

可用表示端點的兩個大寫字母表示，也可用一個小寫字母表示.觀察圖形，逐項判斷，選擇

答案即可.

【詳解】①直線沒有盡頭，是向兩方無限延伸的，即圖中只有一條直線/,故原說法正確；

②能用字母表示的射線有射線/5、射線創(chuàng)、射線8C、射線C8,共4條，故原說法錯誤；

③線段有線段/3、線段/C、線段8C,一共有三條，故原說法正確；

④直線是向兩方無限延伸的，沒有長度，不能再延長，故原說法錯誤；

⑤延長線段和延長線段切的延長方向不同，含義不同，故原說法錯誤；

⑥觀察圖形，點8在線段NC上，該說法正確.

綜上，說法中正確的有①、③、⑥這3個.

答案第7頁，共24頁

故選：B.

【點睛】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，理解直線、射線、線段的定義與表示

是解題的關(guān)鍵.

21.B

【分析】根據(jù)直線，射線，線段延長線的定義依次進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：A、射線A8和射線切是不同的射線，選項說法錯誤，不符合題意；

B、圖中以點/為端點的射線有兩條，選項說法正確，符合題意；

C、直線和直線切是同一條直線，選項說法錯誤，不符合題意；

D、延長線段和延長線段及，延長方向不同，含義不同，選項說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了直線，射線，延長線，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點.

22.⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了畫線段，畫射線，線段的尺規(guī)作圖：

(1)根據(jù)線段的畫法畫圖即可；

(2)根據(jù)射線的畫法畫圖即可；

(3)根據(jù)線段的尺規(guī)作圖方法作圖即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)如圖所示，即為所求；

(3)解；如圖所示，即為所求.

23.(1)見解析

(2)見解析

答案第8頁，共24頁

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)直線、線段和射線的定義進(jìn)行作圖即可；

(2)先延長C8,然后過點/作NO2BC于點。，即可；

(3)以點/為圓心，BC為半徑畫弧，交于點以點〃為圓心8C為半徑畫弧，交射

線43于點￡,則/￡即為所求.

【詳解】(1)解：如圖：直線NC,線段2C,射線即為所求；

(2)解:如圖,4D即為所求;

(2)見詳解

(3)見詳解

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，直線，射線線段的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解直線,

射線，線段的定義.

(1)過點A和點C畫直線即可；

(2)連接43并延長即可；

(3)以A為圓心，長為半徑畫弧，交射線NC于。，則點。即為所求.

【詳解】(1)如圖，直線/C即為所求：

(2)如圖，射線即為所求；

(3)如圖，線段CD即為所求.

答案第9頁，共2