青島市城陽(yáng)區(qū)2024年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題與參考答案

青島市城陽(yáng)區(qū)2024年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

一、選擇題

本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這

個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，由此即可得到答案.

【解答】解選項(xiàng)A、B、C中的圖形都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)

的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

選項(xiàng)D中的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中

心對(duì)稱(chēng)圖形.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義.

2.如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人師傅在焊接立柱時(shí)，只用找到BC

的中點(diǎn)D,這就可以說(shuō)明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（）

A.等邊對(duì)等角

1/26

B.等角對(duì)等邊

C.垂線段最短

D.等腰三角形“三線合一”

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：因?yàn)锳B=AC,BD=CD,

所以AD1BC,

故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形“三線合一”性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

3.交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全.在通過(guò)橋洞時(shí)，我們往往會(huì)看到如圖所示的標(biāo)態(tài).則

通過(guò)該橋洞的車(chē)高x(m)的范圍在數(shù)軸上可表示為()

??????J?

A.-1012344.55

???????

B.-1012344.55

??????J?

C.-1012344.55

??j,??????

D.-1012344.55

【分析】利用已知圖表直接得出該橋洞的車(chē)高X(m)的取值范圍.

【解答】解:由題意可得:

2/26

通過(guò)該橋洞的車(chē)高X(m)的取值范圍是：0<xw4.5.

在數(shù)軸上表示如圖：-'101—234455*.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集.根據(jù)圖表理解題意是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，^ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(-1,1),C(2,2),如果將aABC先

向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到AA'B'C',那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐()

y

-5

4

S3

_

I----1—r-_TT「-1—I-1—?

?IJB'I|?}?

-4-3-2-10112347

A.(-4,0)B.(2,0)

C.(-4,2)D.(2,2)

【分析】根據(jù)左減右加，上加下減的規(guī)律解決問(wèn)題即可.

【解答】解：因?yàn)閷ABC先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到4A‘B'C'

所以點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是(-1-3,1+1),即(-4,2).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移，用到的知識(shí)點(diǎn)為：左右平移只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左

減右加；上下平移只改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減.

5.若Q<b,則下列不等式一定成立的是()

A.a-6>b-6B.3a>3bC.-2a<-2bD.a-b<0

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.

3/26

【解答】解：A、已知Q<b,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式

子），不等號(hào)的方向不變，所以Q-6>b-6錯(cuò)誤；

B、不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，所以3Q>3b錯(cuò)誤；

C、不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，所以-2a<-2b錯(cuò)誤；

D、Q-b<0即avb兩邊同時(shí)減去b,不等號(hào)方向不變.不等式一定成立的是Q-b<0.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

6.用反證法證明命題"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形

中（）

A.每一個(gè)內(nèi)角都大于60°

B.每一個(gè)內(nèi)角都小于60°

C.有一個(gè)內(nèi)角大于60°

D.有一個(gè)內(nèi)角小于60°

【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：用反證法證明"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)三角形

中每一個(gè)內(nèi)角都不小于或等于60。，即都大于60°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)

4/26

推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有

可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

7.已知點(diǎn)A（a-2,2a+6）在第二象限，則a的取值范圍是（）

A.Q<-3或a>2B.-3<a<2C.a<2D.a>-3

【分析】根據(jù)題意列出不等式組，解之即可得出答案.

【解答】解：由題意知，,

2a+6>0

解得-3<a<2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大

取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，把a(bǔ)ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°,得到4A'B'C,A'B'交AC于點(diǎn)D,若/

A'DC=90°,則/A的度數(shù)（）

A.35°B.75°C.55°D.65°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NACA'=35,/A=/A',結(jié)合NA'DC=90°,可求得

NA',即可獲得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，把△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°,得到4A'B'C,

5/26

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得/ACA'=35,/A=/A',

因?yàn)?A'DC=90°,

所以NA'=90°一/ADA'=55°,

所以/A=/A'=55°.

故選：C.

9.如果不等式（Q+1）X>Q+1的解集為X<1,則Q必須滿(mǎn)足（）

A.a<0B.a<1C.a>-1D.a<-1

【分析】根據(jù)不等式的解集，得到不等號(hào)方向改變，即Q+1小于0,即可求出Q的范圍.

【解答】解：因?yàn)椴坏仁剑╝+1）x>（a+1）的解為x<1,

所以Q+l<0,

解得：a<-1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作

弧，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,分別以點(diǎn)巳F為圓心，大于LEF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在

2

NBAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)G,作射線AG,交BC于點(diǎn)D,則BD的長(zhǎng)為（）

A.1B.1C.1D.1

5433

6/26

【分析】由角平分線的性質(zhì)定理推出CD=MD,由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由AABC的面積=△

ACD的面積+4ABD的面積，得到2AC?BC=2?CD+1AB?MD,因此4x3=

222

4CD+5CD,即可求出CD的長(zhǎng)，得至UDB的長(zhǎng).

【解答】解：作DM1AB于M,

由題意知AD平分NBAC,

因?yàn)镈C1AC,

所以CD=DM,

因?yàn)?C=90°,AB=5,BC=3,

所以AC=〃B2-BC2=4,

因?yàn)?ABC的面積=aACD的面積+4ABD的面積，

所以1AC?BC=1AC?CD+1AB?MD,

222

所以4x3=4CD+5CD,

所以CD=_1,

3

所以BD=BC-CD=3-1=1.

33

故選：D.

二.填空題

本大題共6小題，每小題3分，共18分。

7/26

11.如圖是環(huán)島行駛的交通標(biāo)志，表示在環(huán)形交叉路口中，車(chē)輛按逆時(shí)針?lè)较蚶@行.將這個(gè)圖

案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則旋轉(zhuǎn)的角度至少為120°.

【分析】根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性，用360°除以3計(jì)算即可得解.

【解答】解：因?yàn)?60°4-3=120°,

所以旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，

所以旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°.

故答案為：120。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，仔細(xì)觀察圖形求出旋轉(zhuǎn)角是120°的整數(shù)倍是解題的

關(guān)鍵.

12.某校舉行“學(xué)以致用，數(shù)你最行”數(shù)學(xué)知識(shí)搶答賽，共有20道題，規(guī)定答對(duì)一道題得10

分，答錯(cuò)或放棄扣4分，在這次搶答賽中，八年級(jí)1班代表隊(duì)被評(píng)為優(yōu)秀(88分或88分以

上)，則這個(gè)隊(duì)至少答對(duì)12道題.

【分析】設(shè)這個(gè)隊(duì)答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)或放棄(20-x)道題，利用得分=10X答對(duì)題目數(shù)-

4X答錯(cuò)或放棄題目數(shù)，結(jié)合得分不低于88分，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其

中的最小值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)這個(gè)隊(duì)答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)或放棄(20-x)道題，

根據(jù)題意得：1Ox-4(20-x)>88,

解得：x>12,

8/26

所以X的最小值為12,即這個(gè)隊(duì)至少答對(duì)12道題.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等

式是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在AABC中，/ABC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)P,連接CP.若NA=

75°,ZABC=62°,則/ACP的度數(shù)為12°.

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PB=PC,得到NPBC=/PCB,根據(jù)角平分線的

定義、三角形內(nèi)角和定理及角的和差求解即可.

【解答】解：因?yàn)锽P是/ABC的平分線，ZABC=62°,

所以/ABP=/CBP=_1/ABC=31°,

2

因?yàn)镻是線段BC的垂直平分線上一點(diǎn)，

所以PB=PC,

所以NPBC=NPCB,

所以NABP=NCBP=/PCB=31°,

因?yàn)?A=75°,ZABC=62°,ZA+ZABC+ZACB=180°,

所以NACB=43°,

所以/ACP=NACB-NPCB=12°,

故答案為：12.

9/26

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線

上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

14.若不等式組.的解集是x>3,則m的取值范圍是mW3.

【分析】先解第一個(gè)不等式得到x>3,由于不等式組的解集為x>3,根據(jù)同大取大得到

3.

'x+8<4x-l①

【解答】解：

x

解①得x>3,

因?yàn)椴坏仁浇M的解集為x>3,

所以m<3.

故答案為m<3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組分別求出不等式組各不等式的解集，然后根據(jù)“同

大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，大于大的小于小的無(wú)解”確定不等式組的解

集.

15.如圖，已知在四邊形ABCD中，AD//BC,AM平分/BAD交BC于點(diǎn)M,BE1AM于

點(diǎn)E,EF1AD于點(diǎn)F,AB=7,EF=3,則AABM的面積為21.

【分析】過(guò)E作EG1AB于G,則EG=EF=3,即可求出4ABE的面積，證明BE是aABM

的中線，由三角形中線的性質(zhì)即可得出答案.

10/26

【解答】解：過(guò)E作EG1AB于G,如圖:

因?yàn)锳M平分/BAD,

所以EG=EF=3,ZDAM=ZBAM,

所以SAABE=—X7x3=—,

22

因?yàn)锳D//BC,

所以NDAM=NAMB,

所以NBAM=/AMB,

所以AB=BM,

因?yàn)锽E1AM,

所以BE是AABM邊AM上的中線，

所以SAABM=2SABE:=2X—=21.

A2

故答案為：21.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線

的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù)，k力0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2.0),與函數(shù)y=2x的

圖象交于點(diǎn)A,下列結(jié)論：①點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2;②關(guān)于x的不等式kx+b<0的解集為x>

2;③關(guān)于x的方程kx+b=2x的解為x=2;④關(guān)于x的不等式組0<kx+b<2x的解集為

11/26

x<2.其中正確的是②④（只填寫(xiě)序號(hào)）.

【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，對(duì)所

給結(jié)論依次進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由所給函數(shù)圖象可知，

A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,

貝2x=2,

解得x=l,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

故①錯(cuò)誤.

因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)為（2,0）,

所以當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸下方，即kx+bvO,

則不等式kx+b<0的解集為x>2.

故②正確.

因?yàn)楹瘮?shù)y=2x和函數(shù)y=kx+b交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

所以方程kx+b=2x的解為x=l.

故③錯(cuò)誤.

由函數(shù)圖象可知,

12/26

當(dāng)X>1時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象在函數(shù)y=2x圖象的下方，即kx+b<2x,

當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸上方，即kx+b>0,

所以關(guān)于x的不等式組0<kx+b<2x的解集為1<x<2.

故④正確.

故答案為：②④.

三、作圖題

本大題滿(mǎn)分4分。用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡.

17.（4分）已知：如圖，四邊形ABCD;

求作：點(diǎn)P,使點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部，PD=PC,且點(diǎn)P到NBAD兩邊的距離相等.

【分析】作NBAD的角平分線，作CD的垂直平分線，兩條線交于點(diǎn)P即可.

【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

★

四.解答題

13/26

本大題共7小題，共68分。

18.(20分)計(jì)算：

(1)解不等式x-l>2x;

(2)解不等式再迎《火紅，并把解集表示在數(shù)軸上；

63

(3)求不等式3(x-3)-6<2x-10的非負(fù)整數(shù)解；

r3(x+2)>5x+4

(4)解不等式組：x-l,；

號(hào)<1

r3(x+l)-(x-3)<13

(5)解不等式組：2x+l1-x、

L~

【分析】(1)先移項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，把X的系數(shù)化為1即可；

(2)先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1,并把解集表示在數(shù)軸上

即可；

(3)先求出不等式的解集，再求出其非負(fù)整數(shù)解即可；

(4)(5)分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：(1)移項(xiàng)得，x-2x>l,

合并同類(lèi)項(xiàng)得，-x>1,

x的系數(shù)化為1得，xw-l;

(2)去分母得,4+3X&2(l+2x),

去括號(hào)得，4+3xw2+4x,

移項(xiàng)得，3x—4xW2-4,

合并同類(lèi)項(xiàng)得，-XW-2,

14/26

X的系數(shù)化為1得，X>2,

在數(shù)軸上表示為：

ill，)???IA

-10123456；

⑶去括號(hào)得，3x-9-6<2x-10,

移項(xiàng)得，3x—2x<—10+9+6,

合并同類(lèi)項(xiàng)得，x<5,

故其非負(fù)整數(shù)解為：0,1,2,3,4;

'3(x+2)》5x+更)

(4)［詈<1②，

由①得，XW1,

由②得，x<3,

故不等式組的解集為：XW1；

'3(x+1)-(x-3)<13①

⑸駕②‘

由①得，xv工，

2

由②得，x>l.

故不等式組的解集為：1WX<?.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示不等式的解集,

熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵.

19.(6分)如圖，BD,CE是aABC的高，且BD=CE.

15/26

(1)求證：aABC是等腰三角形；

(2)若NA=60°,AB=2,求aABC的高BD.

【分析】(1)由"HL”可證RtaCDB/RtaBEC,可得/ABC=/ACB,即可求解;

(2)由直角三角形的性質(zhì)可求AD的長(zhǎng)，由勾股定理可求解.

【解答】(1)證明：因?yàn)锽D,CE是aABC的高，

所以NADB=/AEC=90°,

在RtACDBRtABEC中，

(BD=CE

IBC=CB'

所以口△CDB/RtaBEC(HL),

所以NABC=/ACB,

所以AB=AC,

所以aABC是等腰三角形；

(2)解：因?yàn)镹A=60°,ZBDA=90°

所以/ABD=30°,

所以AD=2AB=1,

2

所以BD=7AB2-AD2=V4-1=V3.

20.(6分)^ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(3,4),C(3,1),將aABC先向

16/26

下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

(1)如果將看成是由aABC經(jīng)過(guò)一次平移得到的，則平移的距離是，西一個(gè)單

位長(zhǎng)度；

(2)在V軸上有點(diǎn)D,則AD+CD的最小值為個(gè)單位長(zhǎng)度；

(3)作出AABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的AAzB2c2.

【分析】(1)利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

(2)取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'C交y軸于點(diǎn)D,可得AD+CD的最小值即為

A'C的長(zhǎng)度；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可作出aABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的AAzB2c2.

【解答】解：(1)因?yàn)閷ⅰ鰽[B]C]看成是由aABC經(jīng)過(guò)一次平移得到的，

所以平移的距離是后不=2五個(gè)單位長(zhǎng)度；

故答案為：2心

(2)如圖點(diǎn)D為所求，

所以AD+CD的最小值為序不=5個(gè)單位長(zhǎng)度；

故答案為：5;

17/26

(3)如圖，4A2B2c2即為所求.

A____B

II?

4,5n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是

掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì).

21.(8分)如圖，已知△ABC,以AC為邊構(gòu)造等邊4ACD,連接BD,在BD上取一點(diǎn)

使NAOD=60°,在OD上取一點(diǎn)E,使AO=AE,連接。C.

(1)求證：△AOC/aAED;

(2)OA,OB,OC三條線段長(zhǎng)度之和與圖中哪條線段的長(zhǎng)度相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可;

(2)結(jié)論：BD=OA+OB+OC,理由全等三角形的性質(zhì)證明.

【解答】(1)證明：因?yàn)?AOE=60°,AO=AE,

所以aAOE是等邊三角形,

所以/OAE=60°

因?yàn)閍ACD是等邊三角形,

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所以AC=AD,ZCAD=60°=ZOAE,

所以/OAC=/EAD,

在△OAC和4EAD中，

，A0=AE

,Z0AC=ZEAD,

LAC=AD

所以△AOC/aAED(SAS);

(2)解：結(jié)論：BD=OA+OB+OC.

理由：因?yàn)閍AOE是等邊三角形，

所以O(shè)A=OE,

因?yàn)椤鰽OC/aAED,

所以O(shè)C=DE,

所以BD=OB+OE+ED=OB+OA+OC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

22.(9分)兩個(gè)家庭暑假結(jié)伴自駕到某景區(qū)旅游，該景區(qū)售出的門(mén)票分為成人票和兒童票，

小鵬家購(gòu)買(mǎi)3張成人票和1張兒童票共需350元，小波家購(gòu)買(mǎi)1張成人票和2張兒童票共需200

元.

(1)求成人票和兒童票的單價(jià)；

(2)售票處規(guī)定：一次性購(gòu)票數(shù)量達(dá)到30張，可購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票，即每張票均按成人票價(jià)的八

折出售.若干個(gè)家庭組團(tuán)到該景區(qū)旅游，導(dǎo)游收到通知該團(tuán)成人和兒童共30人，估計(jì)兒童8

至16人.導(dǎo)游選擇哪種購(gòu)票方式花費(fèi)較少?

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【分析】(1)設(shè)成人票的單價(jià)是X元，兒童票的單價(jià)是y元，根據(jù)“小鵬家購(gòu)買(mǎi)3張成人票

和1張兒童票共需350元，小波家購(gòu)買(mǎi)1張成人票和2張兒童票共需200元”，可列出關(guān)于

x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該團(tuán)兒童有m人，則該團(tuán)成人有(30-m)人，購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票所需費(fèi)用為2400元，不

貝勾買(mǎi)團(tuán)體票所需費(fèi)用為(-50m+3000)元，分2400<-50m+3000,2400=-50m+3000

及2400>-50m+3000三種情況，求出x的取值范圍或x的值，再結(jié)合"估計(jì)兒童8至16

人”，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)成人票的單價(jià)是x元，兒童票的單價(jià)是y元，

根據(jù)題意得：—'如二及。，

Ix+2y=200

解得：卜=ioo.

ly=50

答：成人票的單價(jià)是100元，兒童票的單價(jià)是50元；

(2)設(shè)該團(tuán)兒童有m人，則該團(tuán)成人有(30-m)人，購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票所需費(fèi)用為100x0.8x30

=2400(元)，不購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票所需費(fèi)用為100(30-m)+50m=(-50m+3000)元，

當(dāng)2400v-50m+3000時(shí),m<12,

所以當(dāng)8&mv12時(shí)，購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票花費(fèi)較少；

當(dāng)2400=-50m+3000時(shí)，m=12,

所以當(dāng)m=12時(shí)，兩種購(gòu)票方式花費(fèi)一樣多；

當(dāng)2400>—50m+3000時(shí),m>12,

所以當(dāng)12Vm<16時(shí)，不購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票花費(fèi)較少.

答：當(dāng)8wm<12時(shí)，購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票花費(fèi)較少；當(dāng)m=12時(shí)，兩種購(gòu)票方式花費(fèi)一樣多；當(dāng)12

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vm&16時(shí)，不購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票花費(fèi)較少.

23.(9分)【問(wèn)題情境】

如圖①，AABC的內(nèi)角/ABC,/ACB的平分線BD,CD交于點(diǎn)D.

【建立模型】

(1)如圖②，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.請(qǐng)你寫(xiě)出EF與BE,CF的

數(shù)量關(guān)系并證明.

(2)如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)A作直線I//BC,延長(zhǎng)BD和CD,分別交I于點(diǎn)E,F,

若AB=4,AC=3,請(qǐng)你直接寫(xiě)出EF的長(zhǎng)度(不需要證明).

【類(lèi)比探究】

如圖④，aABC的內(nèi)角NABC的平分線BD,與它的外角/ACG的平分線CD交于點(diǎn)D,過(guò)

點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB,AC于點(diǎn)巳F.請(qǐng)你寫(xiě)出EF與BE,CF的數(shù)量關(guān)系并證明.

【分析】（1）先由角平分線定義得/DBC=/DBE,ZDCB=ZDCF,再由平行線的性質(zhì)得

ZBDE=ZDBC,ZCDF=ZDCB,則/DBE=/BDE,ZCDF=ZDCF,證出BE=DE,CF

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DF,進(jìn)而得出結(jié)論;

(2)同(1)證出AE=AB,AF=AC,進(jìn)而得出結(jié)論;

(3)同(1)證出DE=B2DF=CF,進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：(1)EF=BE+CF,理由如下：

如圖②,

因?yàn)镹ABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)D,

所以NDBC=/DBE,ZDCB=ZDCF,

因?yàn)镋F//BC,所以NBDE=/DBC,ZCDF=ZDCB,

所以NDBE=/BDE,ZCDF=ZDCF,所以BE=DE,CF=DF,

所以DE+DF=BE+CF,gpEF=BE+CF;

(2)EF=7;理由如下：

如圖③，

圖③

因?yàn)?ABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)D,

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所以NEBC=NABE,ZFCB=ZACF,

因?yàn)镋FIIBC,

所以NAEB=/EBC,ZFCB=ZAFC,

所以/ABE=/AEB,ZACF=ZAFC,

所以AE=AB,AF=AC,

因?yàn)锳B=4,AC=3,

所以EF=AE+AF=4+3=7;

(3)EF=BE-CF,理由如下:

如圖④，

圖④

因?yàn)?ABC的平分線BD與/ACG的平分線CD交于點(diǎn)D,

所以NDBC=/ABD,ZACD=ZDCG,

因?yàn)镈E//BC,

所以NDBC=/BDE,ZCDF=ZDCG,

所以NABD=/BDE,ZACD=ZCDF,

所以DE=BE,DF=CF,

因?yàn)镋F=DE-DF,

所以EF=BE-CF.

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【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定、角平分線定義、平行線的性質(zhì)等知

識(shí)本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線定義，證明三角形為等腰三角形是