高考文科數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)課后習(xí)題 題型專項集訓(xùn)6 大題專項（四）

題型練6大題專項（四）立體幾何綜合問題

1.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，側(cè)面BBCC為菱形，NCBBi=60°,點A在側(cè)

面BBCC上的投影恰為BE的中點0,E為AB的中點.

⑴求證:0E〃平面ACCiAi;

⑵若AC與平面BBCC所成角為45°,且BC=2,求點E到平面ACCA的距

離.

2.如圖，已知三棱柱ABC-AiBC的底面是正三角形，側(cè)面BBCC是矩形,M,N

分別為BC,BiCi的中點,P為AM上一點.過BC和P的平面交AB于E,交AC

于F.

⑴證明AA/MN,且平面AiAMN,平面EBCF;

⑵設(shè)。為△AEG的中心.若A0=AB=6,A0〃平面EBCF,且NMPNg,求四棱

錐B-EBCF的體積.

3.（全國甲，文19）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒.

包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長為8（單位:cm）的正方

形,AEAB,AFBC,AGCD,AHDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平

面ABCD垂直.

⑴求證:EF〃平面ABCD;

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

4.如圖，AABC的外接圓0的直徑為AB,CD,平面ABC,BE〃CD.

⑴求證:平面ADC_L平面BCDE;

⑵試問在線段DE和BC上是否分別存在點M和F,使得平面OMF〃平面ACD?

若存在,確定點M和點F的位置;若不存在,請說明理由.

5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,APCD為等邊三角

形,平面PAC，平面PCD,PALCD,CD=2,AD=3.

⑴設(shè)G,H分別為PB,AC的中點,求證:GH〃平面PAD;

⑵求證:PA_L平面PCD;

⑶求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PAL底面ABCD,PA=AC,

過點A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點E,F,G(E,F,G三點均不在棱的端

點處).

⑴求證:平面PAB_L平面PBC.

⑵若PC平面AEFG,求三的值.

⑶直線AE是否可能與平面PCD平行?證明你的結(jié)論.

答案：

1.⑴證明：如圖,連接BG,AG,因為。為B.C的中點,

所以。為BG的中點.

又E為AB的中點，所以O(shè)E〃AG.

又又。平面ACCiAi,AGu平面ACCiAi,

所以0E〃平面ACCIAL

⑵解：因為AO_L平面BBCC,

所以NAC0=45°.

因為BC=2,NCBBi=60。，所以AO-1,AC=V2,AG=2,SAOcC1=y-

所以S^ACCi-

設(shè)點0到平面ACCiAi的距禺為d,因為V三棱錐O-Ace1=V三棱錐A-OCCJ

所以京?SAACC1=|A0?S^occp即［d,y=1Xy,解得d=手.

o3J4J乙/

因為OE〃平面ACCiAi所以點E到平面ACCA的距離為呼.

2.(1)證明：因為M,N分別為BC,BC的中點，

所以MN#CCi.

又由已知得AAi〃CG,故AA/MN.

因為△ABG是正三角形，

所以BiCJAiN.

又BxCiXMN,故BiC」平面AiAMN.

又BCu平面EBCF,

所以平面AiAMN,平面EBCF.

(2)解:A0〃平面EBCF,AOu平面AiAMN,平面AiAMNA平面EBCF=PN,故AO

〃PN.

又AP〃ON,故四邊形APNO是平行四邊形，

所以PN=AO=6,AP=0N=|AM=V3,PM=|AM=2V3,EF=|BC=2.

因為BC〃平面EBCF,所以四棱錐B-EBCF的頂點B到底面EBCF的距離

等于點M到底面EBCF的距離.

作MT±PN,垂足為T,則由(1)知，MT,平面EBCF,

故MT=PMsinNMPN=3.

底面EBCF的面積為:X(BxCi+EF)XPN=j(6+2)X6=24.

所以四棱錐B-EBCF的體積為［X24X3=24.

3.⑴證明：如圖，過點E作EE'J_AB于點E',過點F作FF'_LBC于點F',

連接E'F'.

,底面ABCD是邊長為8的正方形,AEAB,AFBC均為正三角形,且它們所

在的平面都與平面ABCD垂直，

.,.EE,，平面ABCD,FF'_L平面ABCD,且EE'=FF',

...四邊形EE'F'F為平行四邊形，

.,.EF〃E'F'.

又E'F'u平面ABCD,EF。平面ABCD,

.\EF〃平面ABCD.

(2)解:過點G,H分別作GG'±CD,HH'±DA,交CD,DA于點G',H',連接

F'G',G'H',H'E',AC.

由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點,幾何體EFGH-E'F'G'H'為長

方體，

故該包裝盒由一個長方體和四個全等的四棱錐組合而成.

?.?底面ABCD是邊長為8的正方形，

.,.AC=V82+82=8V2(cm),E'F，才E'=|AC=4V2cm,EE)=AEsin60°=4V3cm,

該包裝盒的容積為

5

V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE,H,H=E'F'.E'H'?EE+4X|SEE,H-H-]AC=4或X4或X4g+

4X-X4V2X4V3X2V2=^^(cm3).

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4.⑴證明：'.,△ABC的外接圓0的直徑為AB,CD，平面ABC,BE〃CD,

.-.AC±BC,AC±DC.

VBCADC=C,

.\AC，平面BCDE.

TACu平面ADC,

I.平面ADC_L平面BCDE.

(2)解:存在點M和F,使得平面OMF〃平面ACD.

取BC的中點M,DE的中點F,連接OM,MF,OF.

???0是AB的中點,

.?.OM〃AC,MF〃CD.

VACnCD=C,OMnMF=M,AC,CDu平面ACD,OM,MFu平面OMF,

.二平面OMF〃平面ACD.

5.(1)證明：如圖，連接BD,易知ACABD=H,BH=DH.

又由BG=PG,故GH〃PD.

又因為GH。平面PAD,PDu平面PAD,所以GH〃平面PAD.

(2)證明:取棱PC的中點N,連接DN,依題意,得DN±PC,

又因為平面PACL平面PCD,平面PACA平面PCD=PC,

所以DNL平面PAC,又PAu平面PAC,故DNXPA.

又已知PA±CD,CDADN=D,

所以PAL平面PCD.

⑶解:連接AN,由⑵中DNL平面PAC,可知NDAN為直線AD與平面PAC

所成的角.

因為4PCD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點,所以DN=V3,

又DNXAN,在RtAAND中，sin/DAN;黑=—.

所以,直線AD與平面PAC所成角的正弦值為拳

6.(1)證明：因為PA_L平面ABCD,

所以PAXBC.

因為四邊形ABCD為正方形,

所以ABLBC,

所以BCL平面PAB.

所以平面PABL平面PBC.

⑵解:連接AF.

因為