必考點(diǎn)02直線與平面平行

必考點(diǎn)02直線與平面平行題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)例題1在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離.【解析】(1)證明取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴MF∥CB，MF＝CB，∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴DE∥CB，DE＝CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，則PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，∴S△PDC＝×1×＝.連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設(shè)E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，則×h×＝×1×××1，∴h＝，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離為.例題2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點(diǎn).(1)求三棱錐B1－A1BE的體積；(2)試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行，如果平行，請在平面A1BE上作出與B1F平行的直線，并說明理由.【解析】(1)如圖所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×2×2＝.(2)B1F∥平面A1BE.延長A1E交AD延長線于點(diǎn)H，連BH交CD于點(diǎn)G，則BG就是所求直線.證明如下：因為BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E為DD1的中點(diǎn)，則G為CD的中點(diǎn).故BG∥B1F，BG就是所求直線.【解題技巧提煉】1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反.題型二異面直線所成的角例題1（2021·湖北華中師大一附中高三模擬）在三棱錐中，，，平面，，是線段的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，將三棱錐還原成長方體,取的中點(diǎn)，又因為E為AC的中點(diǎn)，則，所以異面直線和所成的角即直線和所成的夾角，設(shè)所成角為，則.由勾股定理，，則，，連接，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，所以直線和所成的夾角為.故選：C.【解題技巧提煉】（1）平移其中一條或兩條使其相交。（2）連接端點(diǎn)，使角在一個三角形中。（或者平行四邊形等可以輕易求出角與角關(guān)系的基本平面幾何形中）（3）計算三條邊長，用余弦定理或正弦定理計算余弦值。（4）若余弦值為負(fù)，則取其相反數(shù)。題型三面面品行的判定與性質(zhì)例題1如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【解析】(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.例題2在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.【證明】如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【解題技巧提煉】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)1．（2021·山東濟(jì)南市·濟(jì)南一中高三期中）設(shè)表示不同直線，表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，則B．是兩條異面直線，若則C．若，則D．若則【答案】B【解析】對于A：若，則或，故選項A不正確；對于B：設(shè)直線，且，則直線和確定平面，因為，，所以，因為，，所以平面，同理可證，所以，故選項B正確；對于C：當(dāng)與相交時，和都平行于與的交線時，也滿足，但與不平行，故選項C不正確；對于D：若則或，故選項D不正確；故選：B.2．(2020·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC.題型二異面直線所成的角1.（2021·長豐縣鳳麟中學(xué)高三期中）如圖，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中點(diǎn).由以下論斷：①與是異面直線；②平面；③與為異面直線，且；④平面．則這些論斷正確的序號是（）A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】A【解析】對于①，都在平面內(nèi)，故錯誤；對于②，上底面是一個正三角形，不可能存在平面，故錯誤；對于③，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形是正三角形，是中點(diǎn)，故與是異面直線，且，故正確；對于④，所在的平面與平面相交，且與交線有公共點(diǎn)，故錯誤．故選：A2.已知ABCD－A1B1C1D1是正方體，則異面直線A1C1與B1C所成角為．【答案】60°.【解析】如圖所示，連接A1D和C1D，∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1即為異面直線A1C1與B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D為正方體各面上的對角線，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D為等邊三角形．即∠C1A1D＝60°.∴異面直線A1C1與B1C所成的角為60°.題型三直線與平面平行1.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F－DCE的體積.【解析】(1)因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝AB，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn).綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.∴CE＝1.2.（2021·山東濟(jì)南市·濟(jì)南一中高三期中）設(shè)表示不同直線，表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，則B．是兩條異面直線，若則C．若，則D．若則【答案】B【解析】對于A：若，則或，故選項A不正確；對于B：設(shè)直線，且，則直線和確定平面，因為，，所以，因為，，所以平面，同理可證，所以，故選項B正確；對于C：當(dāng)與相交時，和都平行于與的交線時，也滿足，但與不平行，故選項C不正確；對于D：若則或，故選項D不正確；故選：B.一、單選題1．已知直線m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【答案】D【解析】若α//β，則內(nèi)的直線與內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)，所以當(dāng)m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是平行或異面.故選：D2．已知空間中有五個點(diǎn)，如果點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，那么這五個點(diǎn)（

）A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不對【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，若，則五點(diǎn)共面，若，且，這種情況五點(diǎn)不共面，故選：B3．在底面為正方形的四棱錐中，底面，，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為四棱錐中，底面，，所以PA=AD，又底面為正方形，所以四棱錐可擴(kuò)充為正方體，如圖示：連結(jié)PE、BE，，則PE∥AC，所以∠EPB（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角.而△EPB為正三角形，所以∠EPB=.故選：.4．已知直線、、與平面、，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中假命題是A．① B．② C．③ D．③④【答案】D【解析】①若，，則根據(jù)公理4可知成立；②若，，則成立；③若，，則可能平行、相交或異面，故③錯誤；④若，，則或，故④錯誤；故③④是假命題．故選：D．5．已知在棱長均為的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個平面，∴平面，此時，故選：B6．如圖，在三棱柱中，，，底面，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱柱中，，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，連接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在△中，，即異面直線與所成角的余弦值為．故選：A．7．在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線與直線所成的角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取AB中點(diǎn)E，連接，，如圖，分別是,中點(diǎn)，,（或其補(bǔ)角）即為異面直線與直線所成的角,直三棱柱中，，，,,，，故異面直線與直線所成的角大小為，故選：C8．如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的平面為，則下列說法正確的是（

）A．在正方體中，存在某條棱與平面平行B．在正方體中，存在某條面對角線與平面平行C．在正方體中，存在某條體對角線與平面平行D．平面截正方體所得的截面為五邊形【答案】D【解析】對于選項A，交平面于點(diǎn)，平面，都不與平面平行，交平面于點(diǎn)，平面，都不與平面平行，

交平面于點(diǎn)，平面，都不與平面平行，故A錯誤；觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面都相交，故B錯誤；四條體對角線全部與面都相交，故C錯誤.如下圖，取中點(diǎn)為，易得，取中點(diǎn)為，連接，易得，再取中點(diǎn)為，連接，則，，是平面與正方體底面的交線，延長，與的延長線交于，連接，交于，則可得五邊形即為平面交正方體的截面，故D正確；故選：D.

二、多選題9．設(shè)a，b是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】在選項A中，，由線面平行判定定理得，，故A項正確；在選項B中，，則a與b平行或異面，故B項錯誤；在選項C中，，則與相交或平行，故C項錯誤；在選項D中，由面面平行的性質(zhì)定理得D項正確．故選：AD﹒10．如圖一張矩形白紙ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同側(cè)，下列命題正確的是（

）A．當(dāng)平面平面CDF時，B．當(dāng)平面平面CDF時，平面BFDEC．當(dāng)A，C重合于點(diǎn)P時，D．當(dāng)A，C重合于點(diǎn)P時，三棱錐外接球的表面積為150.【答案】BD【解析】A：當(dāng)平面平面CDF，如圖1所示，假設(shè)，則四邊形AEDC為平面圖形，由，得，所以四邊形GHDE為平行四邊形，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，故A不正確；B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，則，且，所以平面AGH，平面CHG.由，可得平面AGH與平面CHG重合，即四邊形AGHC為平面四邊形，又平面平面CDF，所以，又，故四邊形AGHC為平行四邊形，所以，所以平面BFDE，故B正確；C：當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時，如圖2所示，，不滿足，所以PG與PD不垂直，故C錯誤；D：在三棱錐中，，所以為直角三角形，，所以為直角三角形，又為直角三角形，由補(bǔ)形法可知，三棱錐外接球的直徑為，則三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：BD11．在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).給出下列結(jié)論正確的是（

）A．若是上的動點(diǎn)，則與異面 B．平面C．若該三棱柱有內(nèi)切球，則 D．平面平面【答案】BC【解析】A.如圖，若是的中點(diǎn)，則,所以，則與不異面，所以該選項錯誤；B.如圖，連接,則平面,不在平面內(nèi)，所以平面.所以該選項正確；C.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則,所以該選項正確；D.前面已經(jīng)證明平面.假設(shè)平面平面，則平面,但是實(shí)際上不在平面內(nèi)，所以該選項錯誤.故選：BC12．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線所成的角的正切值為B．直線與平面平行C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】ABD【解析】如圖所示：.因為，所以直線與直線所成的角，，故正確；.取中點(diǎn)，連接，，在正方體中，，，平面，平面，所以平面，同理可證平面，，所以平面平面，平面，所以平面，故正確；.假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故錯誤；.在正方體中，，把截面補(bǔ)形為等腰梯形，易知，之間的距離為，所以其面積為，故正確，故選：ABD三、填空題13．如圖是一個正方體的展開圖，則在該正方體中直線AB與直線CD所成角的大小為___________.【答案】60°##【解析】將展開圖還原后如圖，因為該幾何體為正方體，易知，為正三角形，所以直線AB與直線CD所成角等于60°.故答案為：60°14．設(shè)a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列四個命題：①若a⊥b，，則∥；②若∥，，則；③若，，則∥；④若a⊥b，，，則．其中，真命題的序號是______．【答案】④【解析】對于①，當(dāng)a⊥b，時，∥或，所以①錯誤，對于②，當(dāng)∥，時，直線與平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以②錯誤，對于③，當(dāng)，時，∥或，所以③錯誤，對于④，當(dāng)a⊥b，時，∥或，因為時，所以，所以④正確，故答案為：④15．如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，高為3，則異面直線與所成角的大小是_______.【答案】；【解析】因為，所以異面直線與所成的角，在正四棱柱的底面邊長為2，高為3，所以，因為，所以，故答案為：16．如圖，四棱臺的底面為菱形，P、Q分別為、的中點(diǎn).若平面BPQD，則此棱臺上下底面邊長的比值為______.【答案】【解析】連接，則，即四點(diǎn)共面，設(shè)平面與分別交于，連接，因為平面BPQD，所以，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，所以，即.故答案為：.四、解答題17．如圖所示，在三棱柱ABC-中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點(diǎn)，求證：（1）B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2）E∥平面BCHG.【解析】（1）∵G，H分別是，的中點(diǎn)，∴，而，∴，即B，C，H，G四點(diǎn)共面.（2）∵E，G分別是AB，的中點(diǎn)，∴平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，即，又面，面，∴面，18．如圖，在長方