第18講數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列極限（講義）原卷版

第18講數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列極限【知識梳理】一、數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.注意：①應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運用“歸納假設(shè)”，沒有運用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法。②由k到k+1的證明，實際問題中由k到k+1的變化規(guī)律是數(shù)學(xué)歸納法的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的推論方法，在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系。利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)；或從P(k+1)從分離出P(k)，再進行局部調(diào)整；也可考慮尋求二者的“結(jié)合點”，以便順利過渡。3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式，常采用從一邊開始并以另一邊為目標(biāo)進行推證的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，常采用配湊的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時，常常需要運用不等式的性質(zhì)以及比較法、放縮法、分析法、綜合法等基本方法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，常常要運用幾何圖形的性質(zhì)。二、歸納——猜想——論證“歸納、猜想、證明”就是運用“檢驗有限個的值，尋找一定規(guī)律，猜想一個結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明所猜想的結(jié)論正確”的解題方法．理解一個完整的思維過程，往往是既要發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要證明結(jié)論的正確性．這就需要掌握運用由特殊到一般的思維方法，也就是通過觀察、歸納，提出猜想，探求結(jié)論，且運用嚴密的邏輯推理，即數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論（猜想）的正確．領(lǐng)會“歸納、猜想、證明”的思想方法，非常有助于提高觀察分析能力．三、數(shù)列的極限在無限增大的變化過程中，如果數(shù)列中的項無限趨向于某個常數(shù)，那么稱為數(shù)列的極限，記作．換句話說，即：對于數(shù)列，如果存在一個常數(shù)，對于任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，把叫做數(shù)列的極限，記為．注意：①理解數(shù)列極限的關(guān)鍵在于弄清什么是無限增大，什么是無限趨近；②有限項的數(shù)列不存在極限問題，只有無窮項數(shù)列才存在極限問題；③這里的常數(shù)是唯一的，每個無窮數(shù)列不一定都有極限，例如：；④研究一個數(shù)列的極限，關(guān)注的是數(shù)列后面無限項的問題，改變該數(shù)列前面任何有限多個項，都不能改變這個數(shù)列的極限；⑤“無限趨近于”是指數(shù)列后面的項與的“距離”可以無限小到“零”．幾個常見的極限：（1）C=C（C為常數(shù)）；（2）=0；（3）qn=0（|q|＜1）；（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；（5）．3、數(shù)列極限的四則運算法則：設(shè)數(shù)列，當(dāng)時，； ； ；特別地。如果c是常數(shù)，那么．注意：(1)公式成立的條件：公式成立的前提是與都存在極限；(2)公式的實質(zhì)：是四則運算與取極限這兩種運算可以變換順序；(3)公式的推廣：公式中的兩項的和，差，積可以推廣到有限個項，但是它們都不能推廣到無限個．四、無窮等比數(shù)列各項的和把公比滿足的無窮等比數(shù)列的前項和，當(dāng)時的極限叫做無窮等比數(shù)列各項的和，并用符號表示，即．【例題解析】知識點一：數(shù)學(xué)歸納法例1．求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).例2．已知數(shù)列，又，用數(shù)學(xué)歸納法證明．例3．證明：在上為奇函數(shù)；證明不等式．例4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)＞eq\f(13,24)(n≥2，n∈N)．例5．已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(3,2)x2的最大值不大于eq\f(1,6)，又當(dāng)x∈[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]時，f(x)≥eq\f(1,8).(1)求a的值；(2)設(shè)0<a1<eq\f(1,2)，an＋1＝f(an)，n∈N*，證明：an<eq\f(1,n＋1).例6．試證：n為正整數(shù)時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．例7．求證：能被整除．例8．設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0．則{an}為等差數(shù)列．例9．等比數(shù)列的前n項的和為，已知對任意的，點均在函數(shù)（且，均為常數(shù)）的圖像上．求的值；（2）當(dāng)時，記，證明：對任意的，不等式成立．例10．已知數(shù)列：，，，（是正整數(shù)），與數(shù)列：，，，，（是正整數(shù)）．記．（1）若，求的值；（2）求證：當(dāng)是正整數(shù)時，；例11．對于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)．例12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)≥eq\f(3n,2n＋1)(n∈N*)．例13．是否存在正整數(shù)m使得對任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論。若不存在說明理由。例14．已知，且，求證：對任意正整數(shù)，.例15．已知數(shù)列中，，．設(shè)，，求數(shù)列的通項公式；求使不等式成立的的取值范圍．例16．已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)．(1)求證：cosA是有理數(shù)；(2)求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．例17．觀察數(shù)列：①；②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列；③（1）對以上這些數(shù)列所共有的周期特征，請你類比周期函數(shù)的定義，為這類數(shù)列下一個周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列，如果___________________，對于一切正整數(shù)都滿足___________________成立，則稱數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足為的前項和，且，證明為周期數(shù)列，并求；（3）若數(shù)列的首項，且，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并證明你的結(jié)論.例18．求證：不論正數(shù)是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)且，互不相等時，均有例19．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成個部分．例20.．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．知識點二：歸納—猜想—論證例1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝eq\f(an,2)＋eq\f(1,an)－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；(2)證明通項公式的正確性.例2．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.例3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0).(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項公式，并加以證明.例4．設(shè)f(k)滿足不等式的自然數(shù)x的個數(shù)（1）求f(k)的解析式；（2）記，求的解析式；（3）令，試比較與的大小。例5．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想.例6．已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)當(dāng)n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.例7．在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列。記，。求：(1)求數(shù)列和的通項公式(2)比較和的大小，并證明你的結(jié)論例8．某林場現(xiàn)有木材存量為，每年以25%的增長率逐年遞增，但每年年底要砍伐的木材量為b，經(jīng)過n年后林場木材存有量為y.（1）求的解析式.（2）為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于，如果，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，要經(jīng)過幾年？（?。├?．已知數(shù)列的各項均不為零，，且對任意，都有．（1）設(shè)若數(shù)列是等差數(shù)列，求；（2）設(shè)當(dāng)時，求證：是一個常數(shù)；（3）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式知識點三：數(shù)列的極限例1．若等比數(shù)列的前項和為，公比為，集合，則用列舉法表示．例2．已知：，，求的值．例3．如圖所示：矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數(shù)的圖像上（其中點的坐標(biāo)為），矩形的面積記為，則=．例4．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）試研究數(shù)列各項值的奇偶性，并用數(shù)字歸納法證明你的結(jié)論；（Ⅲ）求的值．知識點四：無窮等比數(shù)列各項的和例1．(1)已知無窮等比數(shù)列各項的和等于10，則數(shù)列的首項的取值范圍是_______．(2)已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,且有（－qn）=,求首項a1的取值范圍是_______．例2．是無窮等比數(shù)列，且所有項和存在，解答下列問題：（1）若，求的范圍；（2）若，求公比的范圍。例3．一個動點，從原點開始，沿軸正方向前進一個單位一個單位到點，后沿y軸的正方向前進個單位到點，再沿軸的負方向前進個單位到點，又再沿y軸的負方向前進個單位到達點，又再沿軸的正方向前進個單位到達點，如此無限地進行下去，求點最終能到達的極限位置．例4．RtΔABC中，AC=a,∠A=θ,∠C=90°，排列著無限多個正方形，其中面積依次為S1，S2，S3，……試將這些正方形的面積之和S用a和θ表示，若S為RtΔABC的面積的，試確定θ的值．例5． 已知無窮數(shù)列，首項，其前項和為，且.若數(shù)列的各項和為，則.例6． 數(shù)列中，，求=.例7．已知△ABC的頂點分別是，記△ABC的外接圓面積為，則＿＿＿＿＿.【反思總結(jié)】1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時，必須用上歸納假設(shè).3.利用歸納假設(shè)的技巧在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè).此時既要看準目標(biāo)，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系.在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用.運用極限運算法則應(yīng)用的前提條件，各個數(shù)列均有極限.然后合理利用“分子”、“分母有理化”、“化簡約分”等常見方法.5.常見的極限要記牢：，注意存在與是不相同的；，特別注意此式的結(jié)構(gòu)形式；若是關(guān)于的多項式函數(shù)，要會求.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021·上海市崇明中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則下列選項錯誤的是（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．?dāng)?shù)列無界C． D．2．（2020·上海）利用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，由變到時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項3．（2021·上海交大附中）已知無窮數(shù)列滿足，且，，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，則下列哪個不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．二、填空題4．（2021·上海市建平中學(xué)高三三模）公比為q的無窮等比數(shù)列各項的和為，則_________.5．（2020·上海）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數(shù)共__項6．（2021·上海黃浦區(qū)·高三二模）無窮等比數(shù)列的前項和為，且，則首項的取值范圍是____________.7．（2021·上海市控江中學(xué)高三三模）若數(shù)列的通項公式是，，則____.8．（2021·上海高三三模）計算：_________.9．（2021·上海寶山區(qū)·高三二模）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則________10．（2021·上海高三二模）若首項為1、公比為的無窮等比數(shù)列的各項和為，表示該數(shù)列的前項和，則的值為_______．11．（2021·上海復(fù)旦附中高三其他模擬）已知無窮等比數(shù)列的各項和為1，則首項的取值范圍是__________.12．（2020·上海市建平中學(xué)高三月考）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，前項和，則通項______.三、解答題13．（2020·上海）是否存在常數(shù)a，b，c，使等式N+都成立，并證明你的結(jié)論.14．（2021·上海市金山中學(xué)高三月考）己知數(shù)列是非零數(shù)列.（1