22直線與圓的位置關(guān)系（重點(diǎn)）

2.2直線與圓的位置關(guān)系（重點(diǎn)）一、單選題1．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】A【解析】【分析】求得圓心到直線的距離和半徑之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離．故選：A2．若直線與圓相切，則的值是（

）．A．或12 B．2或 C．或 D．2或12【答案】D【解析】【分析】由于直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，從而可求出的值∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，解得或．故選：D3．已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由圓心和切點(diǎn)求得切線的斜率后可得切線方程．圓可化為，所以點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率為，則所求直線的斜率為，由點(diǎn)斜式方程，可得，整理得.故選：A.4．已知直線被圓所截得的弦長為4，則k為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)線距離公式求弦心距，再由弦長與半徑、弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)k.設(shè)圓心到直線的距離為d，則由點(diǎn)到直線的距離公式得，由題意得：，解得．故選：A5．過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】當(dāng)圓心與的連線垂直于時(shí)，被圓截得的線段長最短，從而可求直線的方程.圓的圓心坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，l被圓截得的線段最短，，∴，故所求直線l的方程為，即.故選：A.6．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線距離與圓半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判定.因?yàn)椋詧A心到直線的距離，所以直線與圓相離.故選：B.7．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出直線與曲線相切時(shí)實(shí)數(shù)的值，再結(jié)合圖象，即可得到答案；曲線為半圓，即，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A8．已知直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到不等式，解得即可；解：圓，即，圓心，半徑長為1．∵直線與圓有公共，∴，∴．故選：C9．已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為圓C上的動點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.由可知：圓心，半徑為，圓心C到直線距離，∴，∴.故選：C10．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用圓的弦長、半徑、弦心距的關(guān)系結(jié)合已知求出弦心距的范圍，再借助點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算作答.令圓的圓心到直線l的距離為d，而圓半徑為，弦AB長滿足，則有，又，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B11．已知圓，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線切點(diǎn)分別是和，下列說法正確的為（

）A．圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B．切線長的最小值為C．四邊形面積的最小值為2D．直線恒過定點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】利用圓心到直線的距離可判斷A，利用圓的性質(zhì)得切線長利用點(diǎn)到直線的距離判斷B，由題意四邊形ACBP面積為判斷C，由題知A，B在以為直徑的圓上，利用兩圓方程得直線AB的方程判斷D.由圓C：，則圓心，半徑，∴圓心到直線l：的距離為，而，故A錯(cuò)誤；由圓的性質(zhì)，切線長，∴當(dāng)最小時(shí)，有最小值，又，則，故B錯(cuò)誤；∵四邊形AMBP面積為，∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯(cuò)誤；設(shè)，由題知A，B在以為直徑的圓上，又，∴，即，又圓C：，即，∴直線AB的方程為：，即，由，得，即直線AB恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：D.12．若對圓上任意一點(diǎn)，的取值與x，y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)．A． B．C．或 D．【答案】D【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，數(shù)形結(jié)合，可求出的取值范圍.依題意表示到兩條平行直線和的距離之和的5倍．因?yàn)檫@個(gè)距離之和與x，y無關(guān)，故兩條平行直線和在圓的兩側(cè)，畫出圖像如圖所示，故圓心到直線的距離，解得或（舍去）.故選：D．二、多選題13．已知直線：與圓：，則（

）A．直線與圓相離 B．直線與圓相交C．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè) D．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)【答案】BD【解析】【分析】計(jì)算圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，即，所以直線與圓相交，故A錯(cuò)誤，B正確，所以圓上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：BD14．關(guān)于直線與圓，下列說法正確的是（

）A．若直線l與圓C相切，則為定值 B．若，則直線l被圓C截得的弦長為定值C．若，則直線l與圓C相離 D．是直線l與圓C有公共點(diǎn)的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】利用圓心到直線的距離，判斷A；利用弦長公式，判斷B；直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判斷C；利用直線與軸的交點(diǎn)，判斷D.A.若直線l與圓C相切，則圓心到直線的距離，整理為，即，故A正確；B.弦長，當(dāng)時(shí)，，故B正確；C.聯(lián)立方程，，得，，當(dāng)時(shí)，整理為恒成立，所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；D.直線與軸的交點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，過圓內(nèi)的點(diǎn)的直線一定與圓有交點(diǎn)，但反過來，直線與軸的交點(diǎn)在圓上的直線也與圓有交點(diǎn)，或直線與軸的交點(diǎn)在圓外，也有直線與圓相交，所以是直線l與圓C有公共點(diǎn)的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD15．已知直線與圓，則下列說法中正確的是（

）A．直線與圓一定相交 B．當(dāng)時(shí)，直線與圓的相交弦最長C．若直線與圓相切，則 D．圓心到直線的距離的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由圓的方程可得圓心的坐標(biāo)及半徑，因?yàn)橹本€過的原點(diǎn)，原點(diǎn)在圓外，可得A不正確；時(shí)可得直線過圓心，所以B正確；直線的斜率存在時(shí)，直線與圓相切時(shí)可得，所以C正確，當(dāng)過圓心的直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，且為，判斷D正確．解：圓，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓與，軸相切，不過原點(diǎn)，而直線過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與圓不相交，所以A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，而圓心在直線上，即直線為直徑所在的直線，所以弦長最大為直徑，所以B正確；對于C，直線與圓相切時(shí)顯然，所以C正確；對于D，圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)直線與圓相交則；所以D正確．故選：BCD．16．已知直線與圓，則（

）A．直線與圓C相離B．直線與圓C相交C．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷.由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤.故選：BD17．如圖所示，M，N是圓O：上的兩個(gè)動點(diǎn)，線段MO的延長線與直線l：交于點(diǎn)P，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為C．D．的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】點(diǎn)O到直線l上的點(diǎn)的距離即為的最小值，過點(diǎn)P作圓O的切線為切點(diǎn)，則有，可判斷出選項(xiàng)AB的正誤；假設(shè)，可推出，不符題意，故選項(xiàng)C正確；取，此時(shí)，可得到，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．如圖所示，過點(diǎn)P作圓O的切線為切點(diǎn)，則有，所以，則，又因?yàn)镻為直線l：上的動點(diǎn)，所以點(diǎn)O到直線l上的點(diǎn)的距離的最小值為，故A，B正確；若，則與，不合題意，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．18．已知圓上兩點(diǎn)A、B滿足，點(diǎn)滿足，則不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，過M點(diǎn)的圓C的最短弦長是C．線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值是D．過M點(diǎn)作圓C的切線且切線為A，B，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答圓的圓心，半徑，令圓心C到直線AB距離為，對于A，令直線AB：，即，顯然有，線段AB的垂直平分線平行于x軸，此時(shí)點(diǎn)M不存在，即不存在，A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓C內(nèi)，而圓C的直徑長為2，則過M點(diǎn)的圓C的最短弦長小于2，而，B不正確；對于C，令線段AB的中點(diǎn)，則，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，C不正確；對于D，依題意及切線長定理得：，，，解得，即，解得或，所以的取值范圍是，D正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.三、填空題19．若直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長為______．【答案】##【解析】【分析】先求出直線l與軸的交點(diǎn)，代入圓中求得，再由圓的弦長公式求解即可.由題意得，直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，即，解得，則，圓心到的距離為，則l被C截得的弦長為.故答案為：.20．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】令，由題可得，即得.令，則，代入，可得，∴，解得，即的取值范圍為.故答案為；.21．已知圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線與圓相切，則__________．【答案】或【解析】【分析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出半徑的最小值，即可求出，即可得圓的方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解得參數(shù)的值；解：圓，即，圓心為，半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)半徑取得最小值，此時(shí)圓的面積最小，此時(shí)圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得或；故答案為：或；22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線經(jīng)過點(diǎn)，若對任意的實(shí)數(shù)，直線被圓截得的弦長都是定值，則直線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，通過分析可以看出，圓心在一條直線上，若對任意的實(shí)數(shù)，直線被圓截得的弦長都是定值，可得直線與圓心所在的直線平行，即可求得結(jié)果將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑，令，消去，得，所以圓心在直線上，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，對任意的實(shí)數(shù)，直線被圓截得的弦長都是定值，所以直線與圓心所在的直線平行，所以設(shè)直線為，將代入，得，得，所以直線的方程為故答案為：23．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，則四邊形的面積的最小值為______【答案】【解析】【分析】依題意可得，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理求出的最小值，即可求得四邊形的面積的最小值；解：由圓，得到圓心，半徑由題意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)所求的面積也最小，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，所求四邊形的面積的最小值為；故答案為：24．已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，，，則的最大值為___________.【答案】35【解析】【分析】設(shè)，.先判斷出AB兩點(diǎn)在圓上且.設(shè)點(diǎn)A到直線的距離，點(diǎn)B到直線的距離，所以.利用幾何法判斷出當(dāng)點(diǎn)A，B在第三象限，且直線AB與直線平行時(shí)最大，進(jìn)而求出最大值.設(shè)，.則，.因?yàn)閷?shí)數(shù)，，，滿足：，，，所以AB兩點(diǎn)在圓上，且.又，所以，所以，所以為等邊三角形，.點(diǎn)A到直線的距離，點(diǎn)B到直線的距離，所以.要使最大，只需點(diǎn)A，B在第三象限，設(shè)直線為直線l，過A作AD⊥l于D,過B作BE⊥l于E,取AB中點(diǎn)F，過F作FG⊥l于G.由梯形的中位線性質(zhì)可知：,即.只需F到直線l距離最大，所以直線AB與直線平行.此時(shí)，設(shè)，由圓心到直線AB的距離為，可得：，即，解得：.所以兩平行線間的距離為，所以，所以.故答案為：35.【點(diǎn)睛】解析幾何中最值的計(jì)算方法有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.四、解答題25．已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上(1)求圓C的方程；(2)已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長.(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；(2)由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．26．已知圓，直線．(1)證明：直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，且，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）化簡直線，得到直線恒過點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.(1)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為2，由于直線，即，令，解得，，所以恒過點(diǎn)，所以，則點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)解：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為，因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，且，可得，解得，又由圓心到直線的距離，可得，所以.27．已知圓的圓心為，它過點(diǎn)，且與直線相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線交圓于，兩點(diǎn)，若弦的長為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先設(shè)出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)過點(diǎn)及圓M與直線相切建立方程組求解即可；（2）由點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理可求解.(1)設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：則圓心M到直線的距離為由題意得，解得或舍去.所以，所以圓M的方程為．(2)設(shè)直線l的方程為則圓心M到直線l的距離為，因?yàn)?，解得，則直線的方程為．28．在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直．問題：已知直線過點(diǎn)M（3，5），且______．(1)求的方程；(2)若與圓相交于點(diǎn)A、B，求弦AB的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)可依次根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.(1)選條件①：∵直線過點(diǎn)(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；(2)圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴．29．已知直線與直線，.(1)若，求a的值；(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(3)若直線與圓心為D的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且為直角三角形，求a的值.【答案】(1)(2)直線與圓C相切或相交(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線互相垂直的充要條件即可求解；（2）求出直線恒過的定點(diǎn)，再判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解；（3）由題意，圓心D到直線的距離是，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.(1)解：由題意，直線，直線，，因?yàn)椋?，解得?2)解：由題意，直線過定點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，所以直線與圓C有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓C相切或相交；(3)解：由題意，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以圓心D到直線的距離是，即，解得，所以a的值為.30．已知圓M的方程為．(1)求過點(diǎn)與圓M相切的直線l的方程；(2)過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為，且，試判斷直線的斜率是否為定值，并說明理由．【答案】(1)或(2)定值為，理由見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出直線l的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案；（2）由題可設(shè)，與圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)A坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)B坐標(biāo)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入斜率公式可得答案.(1)顯然當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；設(shè)，直線與圓相切，由圓心到直線l距離，解得或．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，所以直線l的方程為或．(2)由題意可設(shè)由可得，設(shè)，則，所以，，同理，因?yàn)椋?，所以為定值?1．如圖，在平面直角