吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學年高一上學期期中測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學年高一上學期期中數(shù)學測試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”的否定是“，”.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，，則，即中元素的個數(shù)為.故選：C.4.若函數(shù)，且，則（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】，.故選：B.5.若一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值集合為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】依題意，一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，所以，解得，所以的取值集合為.故選：A.6.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，則，而，易知，所以，且，所以.故選：A.7.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，則，由，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：D.8.已知函數(shù)滿足對任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設在定義域上遞增，所以，而在上遞增，故其值域是.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合或，，且是的真子集，則的取值可能為（）A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【解析】因是的真子集，若，則，解得，符合題意；若，則，解得，故需使或，解得或；綜上所述：或.故選：BCD.10.下列結論正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則必有且B.函數(shù)在定義域上單調遞減C.是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，則當時，D.若在R上是增函數(shù)，且，，則【答案】CD【解析】對于A，當且時，，其定義域為，又，則是奇函數(shù)，所以當奇函數(shù)時，不一定有，故A錯誤；對于B，對于，，，則，所以在不單調遞減，故B錯誤；對于C，因為是定義在上的偶函數(shù)，當時，，所以當時，，則，故C正確；對于D，因為，，則，即，則，因為在上是增函數(shù)，所以，，則，故D正確.故選：CD.11.已知實數(shù)滿足，且，則的值可以為（）A. B.7 C. D.5【答案】AB【解析】令，由題意，且，得，且，則，當且僅當，即時等號成立，由，解得，此時，故A正確；由，故CD錯誤；B項，由方程組，又，解得，故B正確.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】由題可得，解得且，所以函數(shù)的定義域為.13.已知甲地下停車庫收費標準如下：（1）停車不超過1小時免費；（2）超過1小時且不超過3小時，收費5元；（3）超過3小時且不超過6小時，收費10元；（4）超過6小時且不超過9小時，收費15元；（5）超過9小時且不超過12小時，收費18元；（6）超過12小時且不超過24小時，收費24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費為______．乙地下停車庫的收費標準如下：每小時2元，不到1小時按1小時計費．若小林將車停入乙車庫（停車時長不超過24小時），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優(yōu)惠，則小林停車時長的最大值為______．【答案】157【解析】小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，在當天18：30將車開出車庫，則停車時長為8小時8分鐘，滿足超過6小時且不超過9小時，所以需交停車費15元；設小林的停車時長為小時，則在乙車庫需交停車費為元，根據(jù)題意知當停車時長超過9小時后，乙車庫停車比甲車庫停車更貴，當停車時長超過6小時且不超過9小時，要使得乙車庫停車比甲車庫停車更優(yōu)惠，則，解得，所以小林的停車時長最大值為7小時.14.已知函數(shù)，，，.對于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，，所以，又對于任意的，存在，使得，則，又，，當時，，所以，解得，當時，，所以，解得，綜上，的取值范圍是，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當時，求；（2）若中整數(shù)元素的個數(shù)為3，寫出的一個值.解：（1），當時，，故.（2），，因為中整數(shù)元素的個數(shù)為3，故的整數(shù)為，故，故.所以的一個值可以為（答案不唯一）.16.已知冪函數(shù)的圖象經過點.（1）求的解析式.（2）設函數(shù).①判斷的奇偶性；②判斷在上的單調性，并用定義加以證明.解：（1）依題意，設冪函數(shù)，則，解得，所以.（2）①為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，，則其定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；②在上單調遞減，證明如下：任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞減.17.已知，．（1）比較與的大小；（2）若，求的最小值；（3）若，求的取值范圍．解：（1），∴a.（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，當且僅當時等號成立，所以的最小值為49.（3）設函數(shù)，，任取，且，則，，且，，，，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù).，由，，.所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)的定義域為，，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）討論函數(shù)最小值.解：（1）因為，令，則，又，有，故.（2）令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，令，有，則，聯(lián)立，解得，所以.（3）由（2）得，，其圖象開口向上，對稱軸為，又，當，即時，在上單調遞增，則；當，即時，在上單調遞減，則；當，即時，.19.笛卡爾積是集合論中的一個基本概念，由法國數(shù)學家笛卡爾首次引入.笛卡爾積在計算機科學、組合數(shù)學、統(tǒng)計學等領域中有廣泛的應用.對于非空數(shù)集，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”.（1）若，，求.（