山東省青島市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期初調(diào)研檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年高三年級(jí)期初調(diào)研檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上,

并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合/=｛巾=皿4-x）｝,底｛1,2,3,4,5｝,則標(biāo)=（）

A.⑸B.工2,3｝c,｛1，2,3,4｝D｛1,2,3,4,5｝

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（"2i）N=4+3i,貝ijz的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

=cos

已知命題pVoreR)，則9為（

B.

C.VaeR,14）^4）口.3a^R,U）^4）

4.等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為一為公差不為0,若出，%，。6成等比數(shù)列,則｛%｝的前6項(xiàng)和為

C.-24

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a與角￡均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于x

1

軸對(duì)稱.若c°s“一§,則c°s（f）=（）

2_77

A.9B.9C.1D.9

6.兩個(gè)粒子/,8從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為%=（1，2）,

SB=（4,3）.粒子2相對(duì)粒子/的位移為則S在S”上的投影向量為（）

rvi獨(dú)

A.[5'5JB.（亞2灼C.（1,2）D.（2』）

（%+d!）2,X<0

"x）=:+Lax>0

7.設(shè)〔x+x+dx>，若/（0）是/'（x）的最小值，則°的取值范圍為（）

A.[T，。]B.[T"]C.卜2，-1]D.12,0]

22

。：[==1（。>0,6>0）

8.已知雙曲線ab-的左、右焦點(diǎn)分別為巳，F(xiàn)2.以B3為直徑的圓

和C的漸近線在第一象限交于/點(diǎn)，直線交C的另一條漸近線于點(diǎn)5,F1B=BA,則

C的離心率為（）

A.皿B.^3C.2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)

的得0分.

9.一組數(shù)據(jù)：應(yīng)，與，…，肛。是公差為一2的等差數(shù)列，去掉首末兩項(xiàng)町，X”后得到一組

新數(shù)據(jù)，則（）

A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同

10.平面a過正方體44G2的頂點(diǎn)A,平面a//平面C4平面夕「平面

ABCD=m,平面aPl平面=〃，貝”（）

71

A.瓦。J/機(jī)B.48//平面&c.平面/OGAD.也”所成的角為片

m

-b.\

ii.設(shè)數(shù)列｛4｝和｛九｝的項(xiàng)數(shù)均為加，稱I''為數(shù)列｛4｝和｛4J的距離.記滿足

a=1+一」

1一.”的所有數(shù)列｛%｝構(gòu)成的集合為C.已知數(shù)列｛4｝和步"｝為C中的兩個(gè)元素，項(xiàng)

數(shù)均為加，下列正確的有()

A.數(shù)列135,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為4

B,若加=4p(p￡N*),則44…4=4與…%

m

C,若加=492,則小區(qū)“

D.若4=2,4=3,數(shù)列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則加的最大值為3456

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.若曲線>=6cosx在點(diǎn)(。,0)處的切線斜率為T,則〃=.

_71

13.若王一§,X2=兀是函數(shù)/(x)=sin°x(°>0)的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)，則。=.

14.正方體NBC。一幺4G〃的棱長(zhǎng)為3,P是側(cè)面(包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn)，E是棱

8上一點(diǎn)，若NAPB=NDPE,且△/依的面積是AOPE面積的9倍，則三棱錐尸一/3￡體

積的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

15.甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一

2j_

方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為1和萬，且每次活動(dòng)

甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響.

(1)求在一次猜謎活動(dòng)中，有一方獲勝的概率；

(2)若有一方獲勝則猜謎活動(dòng)結(jié)束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進(jìn)行3次，求猜謎次數(shù)X的分

布列和期望.

,V2(ccosB+bcosC)=--------

16.已知A/BC的內(nèi)角42,C的對(duì)邊分別為應(yīng)仇-cos/.

⑴求A；

(2)若42邊上的高等于I,求sinC.

17.如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，PD=DC,底面

4BCD,E是線段尸。的中點(diǎn)，下在線段依上，EF1PB.

p

/虞;…

/w\\/

//、、\\/

/------------%

（1）證明：P8_L平面。斯；

（2）G在線段P8上，EG與尸/所成的角為45。，求平面DE尸與平面DEG夾角的余弦值.

18.已知雙曲線C：4x-/=加，點(diǎn)片。，1）在C上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)勺（"22）；過點(diǎn)

月一作斜率為1的直線與c的左支交于點(diǎn)點(diǎn)以一關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)為夕，記點(diǎn)匕的坐

標(biāo)為

⑴求點(diǎn)鳥迷的坐標(biāo)；

⑵記見=2%-%,證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

⑶°為坐標(biāo)原點(diǎn)，G,〃分別為線段E￡+2,E,+f+3的中點(diǎn)，記△°￡+f+2,AOG〃的面積

A

分別為印邑，求s?的值.

19.已知函數(shù)/（X）定義域?yàn)?,D0,若VxeD,小eD,當(dāng)時(shí)，都

有/（X）＜.則稱/為/（X）在。上的“Q點(diǎn)”.

⑴設(shè)函數(shù)/3=（2+"x）M（l+x）-2,

（i）當(dāng)。=o時(shí),求"無）在（T+°°）上的最大9點(diǎn)”;

（ii）若"x）在［°」］上不存在，g點(diǎn)，，，求0的取值范圍；

⑵設(shè)0=｛12-5｝（加小）且“1）=0,“X）-/（xT）41,證明：“X）在。上的0

1.B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0解出集合A,再利用交集含義即可得到答案.

【詳解】"Un(j)}=*|尤＜4},則/cy1,2,3}.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的計(jì)算公式得亍=2-i,再根據(jù)共舸復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)虛部的概念即可.

_4+3i(4+3i)(l-2i)10-5i。.

z--------=-------------------=----------2-1

【詳解】1+20+20(1-21)5,

則z=2+i,則其虛部為1.

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結(jié)論，全稱變特稱即可.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結(jié)論，全稱變特稱,則力為￡R,

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)得到方程，解出d=2,后根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

［詳解］成等比數(shù)歹山則必二%?%,即(4+2d)2=(4+?)?(4+5d),

a\二-1代入,得至ij(-l+2d)2=(-l+d),(一l+5d),dw0,解得d=2.

的t$6=6X(_1)+BX2=24

則t的前6項(xiàng)和2

故選：D.

5.B

【分析】運(yùn)用角的終邊對(duì)稱性，得到正弦余弦值之間的關(guān)系，再用兩角差的余弦值計(jì)算即

可.

【詳解】角。與角夕均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于'軸對(duì)稱.

cosa-cosB-..Rsin2a=l-cos2a=-

則3,sma=-sin,，且9,

sina?sin/=-sin2a=

187

故cos(a—￡)=cosa?cosy^+sinasin/?=

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)題意，求得S=S-S/=(3,1),結(jié)合向量的數(shù)量積的公式和投影向量的公式，

準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由向量邑=。2),S"(4,3),可得粒子6相對(duì)粒子A的位移為*=SB-S?=(3,1),

可得用后=lx3+2xl=5且同=?

邑M三一5

■(1,2)=(1,2)

上的投影向量為同同石

所以下在其

故選：C.

7.A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的最值，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式，二次不等式求解.

(x+tz)2,x<0

/O,

x+當(dāng)x=0,/(°)=/，由于/(°)是/(x)的最小值,

【詳解】由于

/<XH-----F6Z,X>0

0

則(-°，。］為減區(qū)間，即有aW0則X恒成立.

x+—>2.xx—=2

由x\X,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，所以a2<2+a解得-1W2.

綜上，a的取值范圍為［T，°l

故選：A.

8.C

TT

NAOF)=ZF.OB=ZAOB=-

【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的對(duì)稱性，得到3,結(jié)合雙曲

b71FT

——tan—=

線的幾何性質(zhì)，求得a3,進(jìn)而求得雙曲線的離心率，得到答案.

【詳解】如圖所示，因?yàn)槠?=8/,可得點(diǎn)B為線段耳”的中點(diǎn)，則。8‘片“，

可得NFQB=NAOB

因?yàn)橹本€0408是雙曲線的漸近線，由雙曲線的對(duì)稱性可知―"2=/耳02,

兀

ZAOF?=ZF,OB=ZAOB=-

所以3,

—=tan—=V3e=—=.11+(―)2=V1+3=2

可得直線。”的斜率為。3，則。Na

所以雙曲線C的離心率為2.

故選：C.

【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C,由中位數(shù)的概念可判斷B,由方

差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可判斷D,根據(jù)極差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A.

X-...(X[++,??+Mn)=---X5(X?+Xz-)=-(X；+Xz-)

【詳解】對(duì)于C,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10102,

—111

工4*X，X'=G(X2+X3+…+工9)=3*4(%+%)=彳(%+X6)=X

去掉多，西。后的平均數(shù)為882則C正確;

1、

一(xs+)

對(duì)于B,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2,

1,、

一(%5+4)

去掉多，西。后的中位數(shù)仍為2,即中位數(shù)沒變，則B正確;

對(duì)于A,原數(shù)據(jù)的極差為西一而。=-9"=18

去掉多，再。后的極差為無2一月=-71=14,即極差變小，則A錯(cuò)誤;

對(duì)于D,設(shè)公差為d,則原數(shù)據(jù)的方差為

"i--I2I--12I--12'

S=仿(X1-2+^6+*2一,(工5+工6)+…+^10-2^5>

+

去掉不。后的方差為

-2'

,211z1.1

s+X3~~(X5++???+工廠]（%+工6）＞

2

17521+（1y+gd）2]=2i

-[(--^)2+(--^)2+(--^)2+(--^)2++

o222z

即方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差也變小，則D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABC

【分析】設(shè)平面an平面43cA=/證得機(jī)//w和"http://44,可判定A正確；過℃作

平面7,設(shè)平面7n平面。=。，證得"出〃。，可判定B正確；設(shè)平面平面

DCCQE,證得"平面可判定c正確；把肛”所成的角轉(zhuǎn)化為3a與

℃所成的角，結(jié)合AC4A為等邊三角形，可判定D不正確.

【詳解】對(duì)于A中，設(shè)平面1門平面44G。產(chǎn)加

在正方體ABCD-44CQ中，可得平面ABCDII平面48GA,

因?yàn)槠矫鎍A平面N8C￡＞="z,所以“//M,

又因?yàn)槠矫鎍〃平面〃，且平面平面48cA=",

平面CB.c平面44GAW,所以"http://8Q,所以加/他，所以A正確；

對(duì)于B中，在正方體-43cA中，可得48//DC,

因?yàn)槠矫鎍〃平面C8Q,且平面℃u平面C8Q,所以℃//平面?zhèn)悖?/p>

過。C作平面/,設(shè)平面7n平面a=°,可得RC//a,

可得&B//a,且所以/田//平面。，所以B正確；

對(duì)于C中，設(shè)平面々a平面℃GA=",

因?yàn)槠矫嫫矫鍯且平面CBRc平面DCC|4=AC,所以〃'//￡＞「，

co

在正方體/8-4B￡R中，可得AD1平面DCCR,

因?yàn)镽Cu平面。CGA,所以4D，RC

又因?yàn)镈Ci-L。。，且40rl℃]=。，/。,℃u平面,

所以平面所以平面

在正方體ABCD_42￡口中，可得平面4s44//平面DCCR,

因?yàn)槠矫鎍C平面DCG2="’,平面a。平面月4=〃，所以〃//“，

所以〃,平面40G4，所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)槎?且〃〃℃,所以機(jī)，〃所成的角，即為與，°所成的角,

71

「Rn/CD[B[=—

因?yàn)椤鰿B12為等邊三角形，可得3,

兀

所以異面直線機(jī)，〃所成的角為3,所以D不正確.

故選：ABC.

11.ABD

【分析】根據(jù)數(shù)列距離的定義求兩數(shù)列的距離判斷A,結(jié)合數(shù)列｛4｝,｛紇｝的遞推關(guān)系證

明兩數(shù)列具有周期性，判斷B,利用基本不等式求H軟+J+Z-2|+|4*+3]+|4"4|,由此求

m4r34563457

Y|4|y|4-^|=-B

白〔判斷c,由條件求修13Sl4~1\

結(jié)合周期性可求I，I由此

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)數(shù)列距離的定義可得:

數(shù)列135,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為|1-2]+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4,人正確;

對(duì)于B,設(shè)4=',其中，wO,且tR±l,由1一4

,_1+/,_1__/1

所以4=*4=74=證2

則4=4,

因此數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次,

所以4%+1/4左+24左+344左+4=1,\<k<p-1℃N*

B”此

設(shè)q=s,其中swO,且s*±l,由1一4,

82H4,用=3R

所以,IT,S,5+1,B5-S,

則用=用,

因此數(shù)列｛紇｝中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次,

所以A左+1以左+2^4左+3為左+4=1,\<k<p—1p￡N*

所以若冽=4p(p￡N)則44…4=5也…紇，B正確;

A+A+A+A=Z+1t-\

|4k+11|4k+2||4k+3||4M|||T~~+-+----

因?yàn)?7tZ+1其中"0,且fH±l,

■I1￡+1t—1

4077,——0——

所以kl1t+l

+++++

IA*+lIIA4k2IIA4k+3Il^4*+4I=N17T-7+>2+2=4

所以+KI"I'+1

Z⑷>4p=機(jī)

所以若加=4PMN)

t，C錯(cuò)誤;

所以數(shù)列｛4｝中，4-=2,4"2=-3,冊(cè)=§,左eN*,

=

故｛紇｝中，％.3=3,%一2=-2,=2,左eN*,

k+1k

1=1Z=1,

所以項(xiàng)數(shù)加越大，數(shù)列｛'"｝和｛紇｝的距離越大，

4734567

￡|4一周=w|6;-C,.1=1x864=2016

3

由,可得-13

3457

|=2016+1=2017

m

a-C;|<2017

所以加43456時(shí),Z=1

故加的最大值為3456；

所以數(shù)列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則的最大值為3456,D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定

義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一

定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

12.-1

【分析】先求導(dǎo)，再代入0,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義可解.

【詳解】求導(dǎo)得到了=a(cosx-xsinx),將。代入導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，得

(7(cos0-sin0)=a=-\

故答案為：T.

3

13.2

【分析】根據(jù)題意得到借助最小正周期公式，再用兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)相差半個(gè)周期可解.

=工-T=(

［詳解］為一§,/=兀是函數(shù)/價(jià)戶而^儂^^的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)測(cè)5一兀一§,

12兀/兀、3

—X--=(71---)CD=—

即2。3,解得2.

3

故答案為：2

述

14.8

【分析】由條件先證明A/PBSAEPD,結(jié)合面積關(guān)系可得/尸=3尸。，在平面"D04上建

立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)尸的軌跡方程，結(jié)合體積公式求三棱錐尸一42￡體積的最大值.

【詳解】由已知48,平面/0口4,4Pu平面

所以

因?yàn)镺E工平面4004,DPu平面ADDA,

所以。尸，

所以/BAP=ZEDP=90°,又ZAPS=NDPE,

所以“PBsaPE,又△/心的面積是△。尸E面積的9倍,

AP_1

所以市二3

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，刀，皮，的為x/，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(3,0,0),D(0,0,0)

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為G'°'Z),則04x43,0<z<3,

由已知"=3因，

所以展-3?+z。=3^X2+Z2,

x2+z2+—x--=0

所以48,其中04x43,0<z<3,

J。,o]?

所以點(diǎn)尸的軌跡為以點(diǎn)I8J為圓心，耳為半徑的圓在側(cè)面/。與4內(nèi)的一段圓弧,

過點(diǎn)P忤PQ"DD\,因?yàn)閆)A,平面ABCD,

所以平面N88,即尸°上平面/BE,

所以「°為三棱錐尸-/BE的高，

133

V=-S.PQ=-PQ=—日

所以三棱錐PTE的體積pP-ABE3BE22「

_I23~9

z—A—xxH—

所以丫48,04x43,

372

所以當(dāng)x=°時(shí)，z取最大值，最大值為丁，

33729亞

—X----------=-----------

所以當(dāng)尤=°時(shí)，三棱錐尸一N8E體積取最大值，最大值為248

9-

故答案為：8

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過證明ANPBSAOPE相似，結(jié)合相似三角形

AP_1

的性質(zhì)證明DP3.

]_

15.（I）2

7

（2）分布列見解析，4

【分析】（1）有一方獲勝，意味著結(jié)果為一對(duì)一錯(cuò)，分情況用相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)

算相加即可；

（2）確定X取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)時(shí)間的概率，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)甲猜對(duì)為事件4乙猜對(duì)為事件8,

事件/月+初表示“星隊(duì)，，第一輪活動(dòng)中只有1人猜對(duì)，且事件M與/與互斥,

尸（彳8）=尸（N）XP（8）=；耳）=P（/）x尸

則

P（AB+AB）=P（IB）+P（/方）=

2,即有一方獲勝的概率為I

（2）由題意X的可能取值為1,2,3

p（X=1）=—

X=1表示第一次猜謎有人獲勝，所以'12,

X=2表示第一次猜謎沒人獲勝同時(shí)第二次猜謎有人獲勝，所以'（X

p（X=3）=1--------=—

由分布列的性質(zhì)，可得244,

所以分布列為

X123

111

P—

244

iii7

E(X)=lx—+2x—+3x—=—

所以J2444

71

16.(I)4

3廝

⑵10

【分析】（1）利用正弦定理，邊化角,結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可;

（2）先用，表示A/BC中線段的長(zhǎng)度,然后利用等面積法求解即可.

V2(ccosB+bcosC)=---A/2(sinCcosB+sinBcosC)=

【詳解】(1)由cosA得cosA,

()sinA,V2

&sin3+C=^^&sin/=-------cosA=——

所以cos/,即cosA,又sm/wO,所以2,

又0</<兀，得4

（2）由題得示意圖

A=1得M=|c

因?yàn)?,所以MH3

\BC\=^'cl1|^||CD|=||^C||5C|sinC

所以,利用等面積法可知：2

c」d￡xsmC

即333

smC=亞

解得：10

17.（1）證明見解析

V6

⑵3

【分析】（1）根據(jù)題意，證得PO'BC和得到3C_L平面POC,證得

BC1DE,再由尸O=DC,得到DELPC,證得DEL平面P8C,得到DEL尸8,進(jìn)而

證得平面。防；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形43co的邊長(zhǎng)為2,設(shè)麗=4萬，

2=-

根據(jù)EG與P4所成的角為45。，求得2,得到求得平面。EG和平面。昉的

法向量分別為1=（°，1，-1）和尸8=（2,2,-2）,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)殡?gt;，底面/BCD,且BCu底面/BCD,所以PDLBC,

又因?yàn)?BCD為正方形，可得OCL8C,

因?yàn)镻〃nOC=C,且尸￡>,DCu平面尸℃,所以8cL平面PDC,

又因?yàn)镈Eu平面尸DC,所以

因?yàn)槭琙）=OC,且E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)ELPC,

又因?yàn)镻CcBC=C,且PC,8Cu平面尸8C,所以平面P5C,

因?yàn)槭珺u平面P8C,所以。尸8,

又因?yàn)镋F,PB,^DE^EF=EDE,EFu平面DE尸，所以尸8,平面。石尸.

（2）解：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以D4OC,。尸所在的直線分別為x軸、V軸和z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形438的邊長(zhǎng)為2,可得Z）P=2,

可得D(0,0,0),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),

則方=(2,0,-2),而=(2,2,-2),PE=(0,1,-1)

因?yàn)镚在線段尸8上，設(shè)4=2而=(24,24-22),其中

則而=而_而=(22,22-1,-22+1),

莎?西一|8"2|_也

cos45

司52>/2xV1222-8/1+22

因?yàn)镋G與尸/所成的角為45。，可得

A2=-A=-―■——

解得4,所以2,所以可得?！?(0,1,1),OG=(1,1,1),

n?DE=y+z=0

設(shè)平面OEG的法向量為"=(x，jZ,則M?旄=X+V+Z=0,

令＞=1,可得x=0,z=T,所以工=(0,1,-1),

因?yàn)楸?，平面。EF,所以平面DEF的一個(gè)法向量為PB=⑵2,-2）,

設(shè)平面。跖與平面。EG所成的二面角為8,其中0。<6<90。，

卜?麗4_V6r

可得\n\\PB\,2x233,即平面與平面D￡G所成的二面角為3

18.D,353）

（2）證明見解析

'=2

(3)邑25

【分析】（1）由點(diǎn)V（U）可得〃，的值，求出/臉的方程后聯(lián)立雙曲線可得2,即可得七，

再借助4金的方程后聯(lián)立雙曲線可得&,即可得乙；

（2）聯(lián)立了一匕T=X-X"T與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得知=5X,T-2以_,結(jié)合點(diǎn)

（一X"，片）代入可得%=-X“-X"T,再利用等比數(shù)列定義與判定定理計(jì)算即可得證;

（3）由2x.-%=3",結(jié)合4%一呼=3,從而可得x“與州，再利用面積公式分別計(jì)算出

幾邑即可得.

【詳解】（1）由題知機(jī)=47=3,所以雙曲線C：4/-/=3,

又過點(diǎn)4（1'1）,斜率為1的直線方程為》=無，

由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知2（T「D,所以只（1廠1）,

又過A（LT）,且斜率為1的直線方程為v+l=x-l,即y=x-2,

卜=x-2777.13

由［4x->-3,解得x=i或3,當(dāng)3時(shí)，33,

所以I33人所以（33人

（2）設(shè)月T（X5Ni）（"22,〃eN*）,

則過久（兌一,%一）（"22,"eN*）,且斜率為］的直線方程為V=X-X.T,

=x-x?-i2

聯(lián)立［4，-/=3,消y得到3/+2（/_］-%_1卜-6"_1-以_］）-3=0,

=-f（^-i-K-i）/曰13x-5x-2j

由題有3,得到""-3X"T-I,

y

由題知點(diǎn)（一/'"）在直線y~y^=X-x,T上，即有％-y?-t=-x?-xn_l,

所以匕=%「%-%,因?yàn)?=2X"-y”,

a

n=2x“一券=2X.-?T+X.+X,I=3x“fi+x,T=5x“_|一2-_|一％_|+一一

則。"T2無2元，T-BT2x?-i-y?-i2x?-i-y?-

由（1）知％=2-1=1,所以，數(shù)列｛%｝為1為首項(xiàng)，3的公比的等比數(shù)列；

=3,得到州=2匕一37

（3）由（2）知

由招”立=3,即4x；-；=（2x0-%）（2匕+匕）=3,

332-

2%+以一°-?_i-3"

即2x％3

（2x“+i“）+（2X"-%）_32-"+3"-1

則2一4—4,

2x2x§2-〃3〃—1

_（n+yn）-（?-yn）_'-

%一2

2,

產(chǎn)+3"-132T-3"["+3"3「"-3）

故（4，2J,"+<4，2J

3-"+3’m3一"一3"+.3^'+3,!+23-'1_3"2

Pn+22+3

42J42

1

if32-+3〃T3f+3"i+3"-）

XG

24

故

]（^2-n_3〃-13一〃-3"+i

-----------1------

^0=2I22

5(3-"+3"一)5(3-"_3"一)+3"15

GH

42

即<A則

1,3~+3〃一〃_一"+

&=]|x“+J“+2一演+2以+1|=~33"33"

2424~

則

1@?+3〃-3"i）-（3一"+3用）（3?一3〃）

28

_131-2"+1-9-32W+1-31-2"-9+1+32n+1

~28

1-161

=-----二I

28

I,15（3一"+3吟5（3-2-3"）5（3-"T+3"）56f-3叫

S,=-\xGyH-xHyG\=----------------------------』一一------------------』

22*12*124242

=；x氫3-"+3"-|）（3-"一-3"卜（3-"7+3"*3-"-3"-）

25|-16|25

=16|9|9

25=25

故9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于得到2%一%=3"-|后，結(jié)合44一立=3,

從而可得血與力,再利用面積公式計(jì)算即可得.

a<---2

19.(1)(i)°；(ii)In2

(2)證明見解析

【分析】⑴(i)由題意可得對(duì)Vxe(T°］,(-叫，當(dāng)尤〈/時(shí)，都有了(、)<”‘),

即可結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后取/(X)最大值點(diǎn)即可得；

0<<2

(ii)由題意可得/G)"/(°)在時(shí)恒成立，借助導(dǎo)數(shù)分〃《°、。21、<“一H及

21

一<a<I

3討論函數(shù)單調(diào)性即可得；

(2)分“。點(diǎn)”個(gè)數(shù)為°,I及大于等于2進(jìn)行討論，結(jié)合/(x)-/(xT)〈l,從而得到相

鄰兩個(gè)“Q點(diǎn)”的函數(shù)值之差小于等于I,即可得“C點(diǎn)”個(gè)數(shù)與/(加)的關(guān)系.

【詳解】⑴⑴當(dāng)。=。時(shí)，〃x)=2ln(l+x)-2x,

r(x)=--2=2~2^l+^=-—

貝Ul+xl+xl+x,

則當(dāng)xe(T，°)時(shí)，/(%)>0,當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(x)<0,

即/(x)在(TO)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

即對(duì)Vxe(-LO］,小e(-l,O］,當(dāng)x</時(shí)，都有/(x)</(。,

即/(x)在(T，+“)上的最大，g點(diǎn)，，為0.

(ii)由題意可得/G)"/(°)在*e［°，1］時(shí)恒成立,

2+ax

f(x)=QIn(l+x)+----------2

x+1,

2+ax

g(x)=aln(l+x)+THT-,xe[0,l].

令