2024-2025學(xué)年廣東省廣州市某中學(xué)高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三(上)第三次月考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是()

A.y=\x\,u=B.y=\[x1,s=(V^)2

C.y-=n+1D.y=yjx+1-y/x-l,y=ylx2-l

2.若復(fù)數(shù)Z滿足z(l—i)=1+i,貝舊4=()

A.1B.-1C.iD.16

3.若ab=^/ln2-ln5,c=ln0^,貝!］a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

4.已知向量集合M=(a\a=(3,4)+4(1,2),%GR},N=(a\a=(4,5)+A2(-2,-2),AGR},則MnN=

()

A.［(4,5)}B.{(3,4),(4,5)}C.{(3,4)}D.0

5.函數(shù)/(%)=Asin^x+9)(3>0,4>0)在區(qū)間［nvi］上是增函數(shù)，且/(zn)=-A,f(n)=4則函數(shù)

g(x)=Acos^x+0)(3>0,A>0)在區(qū)間［皿九］上()

A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)

C.可以取到最大值/D,可以取到最小值

6.已知點(diǎn)P在拋物線M：y2=4x上，過點(diǎn)P作圓C：(久-2)2+*=1的切線，若切線長為2々，則點(diǎn)P到M的

準(zhǔn)線的距離為()

A.5B.A/29C.6D.回

7.設(shè){an}為等比數(shù)列,則“對于任意的ri€N*,an+2<an”是“{an}為遞減數(shù)列”的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

8.如圖，B地在2地的正東方向4kni處，C地在B地的北偏東30。方向2/OTI處，河流

的沒岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到4的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線PQ上一處M建一座碼頭，向8、C兩

地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測算，從M到B、"到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/小、2a萬元/km,那么修建這兩條

公路的總費(fèi)用最低是()

北

A.(2W-2)a萬元u

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.——1

B.5a萬元

C.(2y/7+l)a萬元

D.(2避+3)a萬元

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.函數(shù)/(%)=eR)的圖象可能是()

10.有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，且P(X=k)=||

(k6{0,1,2,3,4,5},則新的樣本數(shù)據(jù)()

A.極差不變的概率是flB,第25百分位數(shù)不變的概率是亮

±o

C.平均值變大的概率是寺D.方差變大的概率是強(qiáng)

11.一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好

經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P,如果將容器倒置，水面也恰好經(jīng)過點(diǎn)P,則下列命題中正確的是()

A.正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半

B,若往容器內(nèi)再注a升水，則容器恰好能裝滿

C.將容器側(cè)面水平放置時，水面恰好經(jīng)過點(diǎn)P

D.任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(%)的導(dǎo)函數(shù)為且滿足/(X)=2x/,(e)+Inx,則廣(e)=.

13.如圖，圓。與X軸的正半軸的交點(diǎn)為4點(diǎn)C、B在圓。上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為弓-1),

Z.AOC=a,若|BC|=L則避cos2〉si擊cos,字的值為.

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14.對有71024)個元素的總體｛1,2,...,71｝進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個子總體｛1,2,…即｝和

｛m+1,爪+2,...,?i｝(ni是給定的正整數(shù)，且2WmWn-2),再從每個子總體中各隨機(jī)抽取2個元素組成樣本.

用Pi/表示

元素濟(jì)叩同時出現(xiàn)在樣本中的概率，貝葉1'=；所有P/IWi</三用的和等于.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=2b,2sin力=3sin2c.

(1)求價值；

⑵若△ABC的面積為邛，求4B邊上的高.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，2C與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在平面力BCD內(nèi)的投影為點(diǎn)0,若△BCD為正三角形，

且AB=AD=^AC,P0=0C.

(1)證明：AC1平面PBD；

(2)求直線PB與平面PAD所成角的正弦值.

17.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓c：,+餐=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乙、尸2,橢圓與y軸正半軸的

交點(diǎn)為點(diǎn)B,且人尸道尸2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)已知斜率為1的直線Z與橢圓C相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P在第二象限，過橢圓的右焦點(diǎn)尸2作直線Z的垂線，垂足為

點(diǎn)、H,若用T無？=一整，求橢圓C的方程.

18.(本小題12分)

已知函數(shù),/(%)=(%+l)e2~ax+1,g(x)=(x+1)。全2+(1—?x+1.

(1)若a=l,求/■(>)的極值；

(2)當(dāng)a<0時，討論/(x)零點(diǎn)個數(shù)；

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(3)當(dāng)x20時，/(x)>g(,x'),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12分)

將九(九>2)個不同的數(shù)按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛斯｝，對任意1<i<j<n,如果%>aj,那么稱

數(shù)對(四,%)構(gòu)成數(shù)列｛即｝的一個逆序?qū)?，一個有窮數(shù)列的全部逆序?qū)Φ目倲?shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù).

(1)若將1,2,3,4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列恰有2個逆序?qū)?，請寫出符合條件的數(shù)列組合；

(2)計算以下數(shù)列的逆序數(shù).

(i)an=-2n+19(1<n<100)；

../為奇數(shù)”,、

(If/為偶數(shù)MC

(3)已知數(shù)列@i，a2,0n的逆序數(shù)為a,求an，斯一…，Qi的逆序數(shù).

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參考答案

1.A

2.A

3.D

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.ACD

11.BC

14.皿71—TH)6

15.解：(1)2sinX=3sin2C,

sinA=3sinCcosC,

由正、余弦定理可得，a=3c?、?

2ab

又c=2b②,

由①②得,a2b=3b(a2+Z)2—4h2),

???a2=3b2=a=,:.三=

22b2

(2)由(1)得，cosC=^=￡=^=*，

(或由余弦定理得cosC=*■=吟『=￥)

C為銳角，sinC=殍,

4

???△力BC的面積S=|aZ?sinC另x宜如x』H=空,

，，242

???b=2,

設(shè)48邊上的高為九，

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則△ABC的面積S=1c/i=bh=軍,

h=啤,即4B邊上的高為呼.

44

16.證明：(1)因為4B=AD,BC=CD,AC=AC,

故△ABC三△4DC,

TT

：.乙4cB=^ACD=g,CO1BD,即AC1BD.

又點(diǎn)P在平面ABC。內(nèi)的投影為點(diǎn)。，

即P。1平面4BCD,

又ACu平面ABC。，PO1AC,

又BDCPO=0,BD,POu平面PBD,

.-.AC1平面PBD.

(2)由(1)可得P。J.平面力BCD,而RDu平面4BCD,故P。1BD,

故。8,OC,OP兩兩垂直，建立以。為原點(diǎn)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CD=3,則B(20,0),D(-1,0,0),P(0,0琴,4(0,—乎,0),

乙乙ZZ

所以麗=60,—挈)，礪=(0,一察一嶗，麗=(—1,0,—嶗,

設(shè)平面PAD的法向量為有=(x,y,z)f

m-PA==0,

則有有?麗=一了久一宜L=o

22

令z=1,則zn=(一避,—3,1),

設(shè)直線PB和平面PAD所成角為仇

貝!Jsin。=|cos<m,->1=0

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3A/3_3^/3I

22?

J3+9+1X第尋13

.-■直線PB與平面PAD所成角的正弦值為曙.

17.(1)解：設(shè)橢圓C的半焦距為c,由已知得點(diǎn)B(O,b),

因為AF1BF2為等腰直角三角形，且。為的中點(diǎn)，所以|。印=|。?2|,即匕=5

所以a2=扶+°2=202,有e=?=&=孝.

(2)解：由⑴知e=孝，設(shè)橢圓C方程為蔡+改=1,

因為切點(diǎn)P在第二象限，且直線I的斜率為1,

由d=16m2—12(2m2—2c2)=24c2—8m2=0,可得m2=3c2,即瓶=y/3c,

所以，/=一與，%=-粵+m=￡，所以P(-竽,￡),

因為直線尸2”與直線1垂直，所以直線尸2”的斜率為-1，

則直線F2H的方程為y=—x+c,

(X=_一僧

聯(lián)立g+腎，可得,二工，即點(diǎn)”(與％，亨)，

又因為%(-c,0)、F2(C,0),

有士廠J(丁3c-m,Tm+c\，F(xiàn)廠2P】=(—-2mL+3c，wm"\

vr-77_(3c_=)(2m+3c)(m+c)m_37n2_如_2cHi___4倍

'1〃?'2尸=6+6=6=~-6~='

所以C2=4,所以橢圓C的方程為《+。=1.

o4

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18.解：(1)

當(dāng)a=1時，/(%)=(x+l)e2-x+1,

則/(%)=e2~x-(x+l)e2~x=-xe2~x,

令f'(%)=0，解得久=0，

當(dāng)工€(—8,0)時，((%)>0,

所以/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%6(0,+8)時，尸(%)<0,

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)有極大值/(0)=/+1,無極小值;

(2)

/(%)=e2~ax—a(x+l)e2-ax

=e2~ax{—ax—a+1),

令/'(%)=。，得x

因為a<0,所以—a>0,-——<0,

a

當(dāng)XG(—8,寧)時，f'(X)<0,

則;■(%)在(-8,號)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(勺2+8)時，f(x)>0,

則/(X)在(詈+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)》/(早)

=(―寧+1=-e1+a+1,

vaya

設(shè)/i(a)=~el+a+l,a<0,

則"(a)=—*i+a+5ei+a=ei+a整，

因為a<0,所以h'(a)<0,

所以h(a)在(-8,0)單調(diào)遞減，

又因為九(—1)=0,

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所以當(dāng)a<—l時，-e1+a+l>0,

a

則/(%)>0,無零點(diǎn)；

當(dāng)a=—1時，和1+。+1=0,f(x)有1個零點(diǎn),

當(dāng)一l<a<0時,和1+。+1<0,

又/X。)=62+1>0,

當(dāng)時，/(久)-1,/(尤)有2個零點(diǎn)；

⑶若fO)》g(X)，

則(久+l)e2-ax+l>(x+l)"e2+(i-a)x+l,

2-<zxax

所以(久+l)e>(x+l)e2+(l-a)x；

因為x20時，x+1>l,e2-ax>0,

所以ef>(X+1產(chǎn)-1,

兩邊同時取對數(shù)得，"-x>(ax-l)ln(x+1),

當(dāng)x=0時，0N0成立，

當(dāng)x>0時，ln(x+1)>0,

.一11

則In(久+1)+x^a,

—11

設(shè)皿%)=府不+訶>。，

111

則加(久)=ln2(x+1)-^-^

_%2—(%+l)Zn2(%+1)

-%(%+l)ln2(x+1)'

設(shè)?1(%)=%2—(%+l)ln2(x+l),x>0,

則?T(X)=2x—ln2(x+1)

1

一(％+1)?2?In(%+1)-%+]

=2x—ln2(%+1)-21n(x+1),

設(shè)p(%)=2x—ln2(%+1)-21n(x+l),x>0,

i2

則P'O)=2-21n(%+1)-

_2x-21n(x+1)

%+1'

設(shè)k(%)=2%—21r1(%+V),x>0,

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則/光)=2一系=蓋>0,

所以k(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又k(0)=2x0-21n(0+1)=0,

所以k(x)>0,所以p，(x)>0,

則p(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又p(0)=2x0-Zn2(0+l)-21n(0+1)=0,

所以p(x)>0,所以"(x)>0,

則n(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又n(0)=02-(0+l)Zn2(0+1)=0,

所以n(x)>0,所以加(x)>0,

則m(久)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又當(dāng)—0時，

所以m(x)