2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：解直角三角形及其應(yīng)用

第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編解直角三角形及其應(yīng)用一、單選題1．（2024北京清華附中初二下期中）如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022北京海淀初二下期中）如圖，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PQ的最小值是（

）A．4 B． C． D．二、填空題3．（2024北京西城初二下期中）將矩形對(duì)折使與重合，得到折痕，再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)D，得到折痕和線段，記與的交點(diǎn)為H．若，則．4．（2023北京八一學(xué)校初二下期中）如圖，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長(zhǎng)為2，則m的值為．5．（2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中）如圖，為了測(cè)量河寬AB(假設(shè)河的兩岸平行)，測(cè)得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，則河寬AB為m(結(jié)果保留根號(hào))．6．（2022北京西城第八中學(xué)初二下期中）在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，則平行四邊形ABCD的面積等于

.三、解答題7．（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）某中學(xué)組織九年級(jí)數(shù)學(xué)研學(xué)小組，進(jìn)行了“測(cè)量古樹高度”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)．其中甲、乙兩個(gè)研學(xué)小組分別設(shè)計(jì)了不同的測(cè)量方案；他們各自設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖及測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示：活動(dòng)課題測(cè)量古樹的高度研學(xué)小組甲組乙組測(cè)量示意圖測(cè)量說明于點(diǎn)E，為一個(gè)矩形架，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．于點(diǎn)D，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．測(cè)量數(shù)據(jù)，，，，請(qǐng)你選擇其中的一種測(cè)量方案，求古樹的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）8．（2024北京豐臺(tái)初二下期中）某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”如圖1所示，現(xiàn)需要配一適合該地下車庫的車輛限高標(biāo)志牌，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，距離地面的高度約為米，點(diǎn)E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，距離點(diǎn)A約為米．當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿升起，受現(xiàn)實(shí)因素限制，欄桿最多只能升起到如圖2所示的水平位置，（欄桿寬度忽略不計(jì)），經(jīng)測(cè)量，此時(shí)．要想解決這個(gè)問題，小張這樣思考：將此問題抽象為數(shù)學(xué)圖形如圖3所示，過點(diǎn)E向作垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，計(jì)算的長(zhǎng)，就可以估計(jì)出匹配的限高標(biāo)志牌（限高值應(yīng)小于實(shí)際高度0.2米）．請(qǐng)你結(jié)合小張的思路進(jìn)行計(jì)算，并在以下選項(xiàng)中選出適合該地下車庫的車輛限高標(biāo)志．A．

B．

C．

D．9．（2024北京清華附中初二下期中）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組去測(cè)量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高．如圖，在樓前平地處測(cè)得樓頂處的仰角為，沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測(cè)得樓頂處的仰角為，求此建筑物的高．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）10．（2024北京房山初二下期中）如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．11．（2024北京第四中學(xué)初二下期中）如圖，在東西方向的海岸線上有A，B兩個(gè)港口，甲貨船從A港沿東北方向出發(fā)，同時(shí)乙貨船從B港口沿北偏西方向出發(fā)，甲貨船行駛10海里后和乙貨輪相遇在點(diǎn)P處．則A港與B港相距多少海里？12．（2022北京西城第八中學(xué)初二下期中）如圖，在中，，求的長(zhǎng)．13．（2022北京大興初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B位于y軸正半軸，，點(diǎn)C位于x軸正半軸，．(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；(2)垂直于y軸的直線l與線段AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G．橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記四邊形DFGE圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．若點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，當(dāng)區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到最多時(shí)，直接寫出的取值范圍．14．（2022北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中）如圖，在ABC中，D是AB邊上任意一點(diǎn)，E是BC邊中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的平行線，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，CD．（1）求證：四邊形CDBF是平行四邊形；（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的長(zhǎng)．

參考答案1．D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，求出，再證明，即可知④正確．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解．2．B【分析】先根據(jù)題意證出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得，線段AB與AD關(guān)于AC對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Q’是點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，則PB＋PQ=PB＋PQ’，當(dāng)點(diǎn)Q’運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q’’時(shí)，即BQ’’⊥AD時(shí)，PB＋PQ’最小，解直角三角形即可．【詳解】解：在中，AD＝4，AC平分∠DAB，∴是菱形，AB＝AD＝4，∵＝120°，∴＝60°，∵是菱形，∴線段AB與AD關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)Q關(guān)于AC對(duì)稱的點(diǎn)在AD上，設(shè)點(diǎn)Q’是點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，則PB＋PQ=PB＋PQ’，當(dāng)點(diǎn)Q’運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q’’時(shí)，即BQ’’⊥AD時(shí)，PB＋PQ’最小，此時(shí)，BQ’’=ABsin∠DAB=，∴PB＋PQ的最小值是，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱?最短路線問題，菱形的性質(zhì)與判定，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)Q’’的位置是解答此題的關(guān)鍵．3．2【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握解直角三角形成為解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可得：，在根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得，進(jìn)而得到、，再解直角三角形得到,，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，∴,∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,，∴．故答案為2．4．2或2．【分析】由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，得到BE＝，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，證出BE＝DE，即可求出m；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∵△ABC是等邊三角形，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，綜上所述，m的值為2或2，故答案為：2或2．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．5．【詳解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD?sin∠ADB=60×=(m).故答案是：.6．或【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，分點(diǎn)E在AB上或AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別利用三角函數(shù)求出AE、DE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，繼而可得AB的長(zhǎng)，然后利用平行四邊形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，如圖1，點(diǎn)E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四邊形ABCD的面積為；如圖2，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四邊形ABCD的面積為，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的面積，正確地畫出圖形是解題的關(guān)鍵.7．【分析】本題是解直角三角形的應(yīng)用，選甲組，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可得出結(jié)果；選乙組，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出與的長(zhǎng)即可得出結(jié)果；掌握銳角三角函數(shù)及特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：選甲組：∵四邊形為矩形，，∴，，∴，∵，，∴，∴，即古樹的高度為；選乙組：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，即古樹的高度為．8．A【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出，則，得到，由限高值應(yīng)小于實(shí)際高度0.2米，則限高標(biāo)志上的數(shù)值為，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E向作垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則，∵，∴，∴，∴∵限高值應(yīng)小于實(shí)際高度0.2米∴限高標(biāo)志上的數(shù)值為∴適合該地下車庫的車輛限高標(biāo)志為．即適合該地下車庫的車輛限高標(biāo)志為A．9．82米【分析】設(shè)的長(zhǎng)為，可以得出BD的長(zhǎng)也為，從而表示出AD的長(zhǎng)度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)為，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴．答：此建筑物的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確的找準(zhǔn)每一個(gè)直角三角形中邊的關(guān)系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB，進(jìn)而利用菱形的判定解答即可；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及面積公式，解直角三角形即可求得．【詳解】（1）證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形（2）解：如圖：連接EO，交AB于點(diǎn)F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．11．A港與B港相距海里．【分析】先作于點(diǎn)C，根據(jù)題意求出，從而得出的值，得出的值，即可求出答案．【詳解】解：作于點(diǎn)C，由題意得，∴海里，∵乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，∴，，∴海里，∴海里，答：A港與B港相距海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知識(shí)求解．12．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)等角對(duì)等邊求得BD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵∠A=105°，∠C=30°，∴∠B=45°，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=30°，AC=4，∵，∴AD=2，∴由勾股定理得：，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠DAB═∠B=45°，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形及勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、等角對(duì)等邊等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．(1)B（0，4），C（，0）(2)【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，借助勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形，求出OB、OC的長(zhǎng)度，即可求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意作出圖形，由題意易知四邊形DFGE為矩形，再結(jié)合（1）的結(jié)果，可設(shè)，則，，結(jié)合圖形確定區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到最多時(shí)點(diǎn)D、E的位置，列出不等式組，解不等式組以確定的取值范圍．【詳解】（1）解：如圖1，∵點(diǎn)A（﹣4，0），∴，在中，，∴點(diǎn)B（0，4），在中，，即，∴，∴點(diǎn)C（，0）；（2）如圖2，易知四邊形DFGE為矩形，，由（1）可知，，即為等腰直角三角形，，在中，，在中，，，設(shè)，則，，區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)，有，解得，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征、利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形以及解不等式組等知識(shí)，根據(jù)題意作出圖形并加以分析是解題關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）8【分析】（1）欲證明四邊形CDBF是平行四邊形只要證明CF∥DB，CF＝DB即可；（2）如圖，作EM⊥DB于點(diǎn)M，解直角三角形即可；【詳解】（1）證明：∵C