高考數(shù)學一輪復習：統(tǒng)計與統(tǒng)計案例【導學案】

第十章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第一節(jié)統(tǒng)計

課程標準

1.理解隨機抽樣的必要性和重要性.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分

層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.

2.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉

圖，體會它們各自的特點.

3.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.

4.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋.

5.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，理

解用樣本估計總體的思想.

6.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

基礎不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎］

1.簡單隨機抽樣

⑴抽取方式：逐個不放回地抽取.

(2)特點：每個個體被抽到的概率相笠」

(3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

2.分層抽樣

⑴在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定

數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

⑵分層抽樣的應用范圍

當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

3.系統(tǒng)抽樣的步驟

假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

(1)編號碼：先將總體的N個個體編號.

(2)確定分段間隔k：對編號進行分段，當條"是樣本容量)是整數(shù)時，取k=%

(3)定規(guī)則：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號I(lWk)；按照一定的規(guī)則抽取

樣本.通常是將/加上間隔左得到第2個個體編號上也，再加k得到第3個個體編號l+2k,

依次進行下去，直到獲取整個樣本.

4.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中曩大值與董小值的差);

⑵決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

5.頻率分布折線圖和總體密度曲線

⑴頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的史點，就得到頻率分布折

線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應的頻

率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

6.莖葉圖的優(yōu)點

莖葉圖的優(yōu)點是不但可以記錄所有信息，而且可以隨時記錄,這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都

能帶來方便.

提醒：莖葉圖中莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

7.樣本的數(shù)字特征

眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

把"個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最空同位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個

中位數(shù)

數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

平均數(shù)把?+"2：稱為ai，。2,…，斯這〃個數(shù)的平均數(shù)

一一

設一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，弘的平均數(shù)為X,則方差為s2=%1(X]—X)2

標準差

與方差

+(X2—X產(chǎn)+…+(X〃一X)2],其中S為標準差

澄清微點?熟記結(jié)論

(1)平均數(shù)的性質(zhì)

①若給定一組數(shù)據(jù)xi,X2,,,,,X”的平均數(shù)為x,則axi,axi,…，ax”的平均數(shù)為ax;

axi+b,axi+b,…，ax.+b的平均數(shù)為ax+瓦

MX+NY

②若M個數(shù)的平均數(shù)是X,N個數(shù)的平均數(shù)是Y,則這(M+N)個數(shù)的平均數(shù)是下有1.

③若兩組數(shù)據(jù)Xi,X2,?,,,X"和yi,J2,,,,,，〃的平均數(shù)分別是X和y,則xi+ji,X2

+j2,…，〃的平均數(shù)是x+y.

(2)方差的性質(zhì)

2,貝11axi,ax2,QX"的方差為42s2；

若給定一組數(shù)據(jù)％1,X2,,,,,Xn,其方差為SaX1

+b9ax2~\-b,,,,,axn+b的方差為a2s2.特別地,當a=l時，有xi+bf…，xn+b

的方差為S2,這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù)，方差是不變的，即

不影響數(shù)據(jù)的波動性.

［練小題鞏固基礎］

一、準確理解概念（判斷正誤）

（1）分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關.（）

（2）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.（）

（3）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.（）

（4）頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.（）

答案：（1）X（2）V（3）X（4）J

=二'練牢教材小題

1.（新北師大版必修①P180T1改編）某城市收集并整理了該市2021年1月份至10月份

每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖，已知該市每月的最

低氣溫與當月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是

1月2月3月4月5月陰7月8月9月10月

0U1111111111

--最高氣溫

一最低氣溫

A.每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量為正相關

B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份

D.最低氣溫低于0C的月份有4個

解析：選D由題圖可以看出，當最低氣溫較大時，最高氣溫也較大，故A正確；10

月份的最高氣溫大于20°C,而5月份的最高氣溫不超過20°C,故B正確；從各月的溫差看，

1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0°C的月份是1,2,4三個月份，故D錯誤.

2.（人教A版必修③P64T5改編）一支田徑隊有男運動員56人，女運動員42人，按性

別用分層抽樣的方式從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，則男、女運動員應各抽

人,人.

答案：1612

3.（新人教A版必修②Pl97Tl改編）如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖,

則月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)為.

解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.5X0.5

=0.25,所以月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)為100X0.25=25.

答案：25

4.（新蘇教版必修②P254T10改編）已知數(shù)據(jù)對，必，…，xio的平均數(shù)為2,方差為3,

那么數(shù)據(jù)2乃+3,2必+3,…，2辦。+3的平均數(shù)和方差分別為.

答案：7,12

三、練清易錯易混

1.（忽視隨機抽樣的等可能性致誤）某校要從高一、高二、高三共2020名學生中選取50

名學生組成志愿團，若先用簡單隨機抽樣的方法從2020名學生中剔除20名學生，再從剩下

的2000名學生中按分層抽樣的方法抽取50名學生，則下面對每名學生入選的概率描述正確

的是.（填序號）

①都相等且為鼎；②都相等且為「；③不完全相等.

答案：①

2.（混淆眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念）某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出

80名學生，其數(shù)學成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示，則這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)

為，這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)為（精確到0.1）,這次測試數(shù)學成績的平均

數(shù)為.

答案：7573.372

3.（不理解均值、方差的意義）某校高二年級在一次數(shù)學選拔賽中，因為甲、乙兩人的競

賽成績相同，所以決定根據(jù)平時在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試

的成績數(shù)據(jù)如下:

甲127138130137135131

乙133129138134128136

貝！IX甲=,X乙=,S甲2=,S乙2=,進而根據(jù)以上

數(shù)據(jù)可判斷最佳人選為.

答案：133133孝苧乙

考法研透--方向不對，努力白費

命題視角一抽樣方法的應用（自主練通）

1.利用簡單隨機抽樣，從〃個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次抽取時，余下的

每個個體被抽到的概率為;，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為（）

n10

D-27

91

解析：選C根據(jù)題意，解得"=28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的

n—1J

概率為羽=含

2.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03,32,33這33個兩位號碼中

選取，小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的

解析：選C被選中的紅色球的號碼依次為17,12,33,06,32,22.所以第四個被選中的紅色

球的號碼為06.

3.現(xiàn)從編號為1,2,…，96的觀眾中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取八位幸運觀眾，其中有

兩個編號為21與93,則所抽取的8個編號的中位數(shù)為（）

A.45B.48C.51D.57

解析：選C由系統(tǒng)抽樣的特點可知，其抽樣方法是等間隔抽取，由于從96名觀眾中

96

抽取8位幸運觀眾，因此間隔*=v=12,設在第一組抽取的編號為x,由于在第2組抽取

O

的編號為21,在第8組抽取的編號為93,所以在第2組抽取的號碼為x+12=21,因此x=

45+57

9,則抽取的8個號碼依次為9,21,33,45,57,69,81,93,這8個數(shù)的中位數(shù)為一z—=51.故選

乙

C.

4.某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的轎車，其產(chǎn)量之比為2：3：4,為檢驗該公司

的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為?的樣本，若樣本中A種型號的轎車比B

種型號的轎車少8輛，則〃=()

A.96B.72C.48D.36

32

解析：選B由題意得g〃一§〃=8,所以”=72.故選B.

5.山東某高中針對學生發(fā)展要求，開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社

團，已知報名參加這兩個社團的學生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級

參加社團的人數(shù)情況如下表：

高一年級高二年級高三年級

泥塑abC

剪紙XyZ

其中無：y：z=5：3：2,且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的信3為了了解學生

對這兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”

社團的學生中應抽取_______人.

解析：因為“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的士所以“剪紙”社團的人數(shù)占兩

22

個社團總?cè)藬?shù)的會所以“剪紙”社團的人數(shù)為800X5=320.易知“剪紙”社團中高二年級

人數(shù)所占比例為系,所以“剪紙”社團中高二年級人數(shù)為320X^=96.

x-ry-rz5十3十21U10

由題意知，抽樣比為券;=上，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為96X==6.

oUU10IO

答案：6

L"點”就過］

1.應用隨機數(shù)法的兩個關鍵點

(1)確定以表中的哪個數(shù)(哪行哪列)為起點，以哪個方向為讀數(shù)的方向；

(2)讀數(shù)時注意結(jié)合編號特點進行讀取.若編號為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取；若編號

為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下

去，直到獲取整個樣本.

2.解決分層抽樣的常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù).

“3,必樣本容量各層樣本容量

⑴抽樣比一總體容量-各層個體總量；

⑵層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：樣

本中層3的容量.

命題視角二樣本的數(shù)字特征的計算

［典例］⑴已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,

17,15,13,設其平均數(shù)為”，中位數(shù)為心眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2)已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為70,方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的

兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60,另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行

更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為三，方差為S2,貝!|()

A.T=70,s2<75B.T=70,s2>75

C.T>70,S2<75D..T<70,S2>75

［解析］⑴把題中數(shù)據(jù)按從小到大排列為11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,平均數(shù)為a=~

157

(11+13+15+15+16+16+17+18+18+18)=^-=15.7,中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,則b=

16,c=18,所以c>》>a.

—70X50+80-60+70-90…、…

(2)由題意，x=----------------疝----------=70,設收集的48個準確數(shù)據(jù)分別為xi,

X2,…，X48,則75=^j［(xi-70)2+(X2-70)2+...+(X48-70)2+(60-70)2+(90-70)2］=^［Ui

2222

-70)2+(刈-70A+...+(X48-70)2+500］,S=^［(XI-70)+(X2-70)+...+(X48-70)+(80

22222

-70)+(70-70)］=^j［(xi-70)+(x2-70)+…+(必8—70)+100］<75,所以s?V75.

［答案］(1)D(2)A

［方法技巧］

(1)利用平均數(shù)、方差的性質(zhì)可簡化運算，要熟記.

⑵方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的幅度.

應用時注意其公式的簡化形式：s2=/f：譚一行2.

1=1

［針對訓練］

1.某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，

85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學習小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是

()

A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分

C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分

解析：選C由題意知，該學習小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85,平均數(shù)為古

(100+95+2X90+4X85+80+75)=87.

2.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標準差為6，則孫=.

解析：由平均數(shù)得9+10+ll+x+j=50,.*.x+yuZO.又由(9一10)2+(10—10)2+(11—

10)2+(x-10)2+(y-10)2=(^2)2X5=10,得x2+j2-20(x+j)=-192,(x+y)2-2xy~20(x

+y)=-192,：.xy=96.

答案：96

命題視角三統(tǒng)計圖表的應用

［典例］(1)(2021?全國甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣

調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

⑵2021年新型冠狀病毒肺炎疫情對消費飲食行業(yè)造成了很大影響，為了解A,3兩家大

型餐飲店受影響的程度，現(xiàn)統(tǒng)計了2021年2月到7月A,8兩店每月營業(yè)額，得到如圖所示

的折線圖，根據(jù)營業(yè)額折線圖，下列說法不正確的是()

70

6V

5O—A店

O—B店

4O

3O

2O

1O

O

234567月份

A.A店營業(yè)額的極差比3店營業(yè)額的極差小

B.A店2月到7月營業(yè)額的中位數(shù)是31

C.5店2月到7月每月增加的營業(yè)額越來越多

D.3店2月到7月的營業(yè)額的平均值為29

［解析］(1)由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為

0.02+0.04=0.06,所以A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為0.02

+0.02+0.02+0.04=0.10,所以B正確；由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平

均值約為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04

+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5,所以C不正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5

萬元至8.5萬元之間的比率約為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,所以D正確.故選C.

(2)由折線圖可知，A店營業(yè)額的極差為64—14=50(萬元)，5店營業(yè)額的極差為63—2

=61(萬元)，故A正確；由A店2月到7月營業(yè)額由低到高依次為14,20,26,36,45,64,得A

店2月到7月營業(yè)額的中位數(shù)是(26+36)+2=31,故B正確；因為5店從4月到5月營業(yè)額

的增加量為19,從5月到6月營業(yè)額的增加量為15,故C錯誤；3店2月到7月的營業(yè)額

的平均值為/(2+8+16+35+50+63)=29,故D正確.

[答案](1)C(2)C

[方法技巧]

1.謹記頻率分布直方圖的相關公式

(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.

率頻率

(2)直方圖中縱軸表示國毒，故每組樣本的頻率為組距X如:，即矩形的面積.

(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘

以小長方形底邊中點的橫坐標之和.

[針對訓練]

1.(2021?廣東湛江一模)中國數(shù)學奧林匹克由中國數(shù)學會主辦，是全國7「Q…7

中學生級別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學競賽.某重點高中8345556

為參加中國數(shù)學奧林匹克做準備，對該校數(shù)學集訓隊進行一次選拔賽，所得分數(shù)的莖葉

圖如圖所示，則該集訓隊考試成績的眾數(shù)與中位數(shù)分別為()

A.85,75B.85,76

C.74,76D.75,77

解析：選B由莖葉圖可知，85出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為85;中位

?,75+77

數(shù)為一—=76.

2.某大學生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度(單位:

厘米)，將所得數(shù)據(jù)分成6組:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如

圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中不正確的是()

A.6=0.25

B.長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的個數(shù)為35

C.長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

D.長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

解析：選C對于A,由頻率和為1,得（0.35+6+0.15+0.1X2+0.05）X1=1,解得6

=0.25,所以A正確；對于B,長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的個數(shù)為100x0.35=35,所以B正確；

對于C,頻率分布直方圖上不能判斷長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)，所以C錯誤；對于

D,［90,93）內(nèi)有45個數(shù)，［94,96］內(nèi)有20個數(shù)，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)，

所以D正確.

命題視角四用樣本估計總體

［典例］（2021?全國乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品

的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項

指標數(shù)據(jù)如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為X和y,樣本方差分別記

為為和S22.

⑴求x,y,sp,S229

(2)判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高如果亍-T

》2小票，那么認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認

為有顯著提高.

［解］(1)；1=點X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

—1J1

yX(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,51=而

22222222222222

X(0.2+0.3+0+0.2+0.1+0.2+0+0.1+0.2+0.3)=0.036,s2=^X(0.2+0.1+0.2

+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.M+O>22)=0.04.

——/0.036+0.04,............——

(2)Vj-x=10.3-10=0.3,2J10=2A/------m------=2-0.0076,y—x=

0.3=2X0.15=2X、0.152=2X、0.0225>2X、0.0076,滿足亍一日2241。，，新設備

生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

［方法技巧］

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的

大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離

散程度越小，越穩(wěn)定.

(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

［針對訓練］

1.(2020?全國I卷)某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A,

B,C,D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加

工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙

兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠

家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些

產(chǎn)品的等級，整理如下：

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應

選哪個分廠承接加工業(yè)務？

解：(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概

率的估計值為布=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為礪=0.28.

⑵由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

擊(65X40+25X20-5X20-75X20)=15.

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤70300-70

頻數(shù)28173421

因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

加70*28+30X17+0X34-70*21)=10.

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應選甲分廠承接加工業(yè)務.

2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到

這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻率分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.200.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值為代表).(精確到0.01)

附：M七8.602.

解：(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻率分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%

14+72

的企業(yè)頻率為而-=021,產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為市=0.02,

用樣本頻率分布估計總體分布，得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為

21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.

—1

(2)y(-0.10X2+0.10X24+0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

$2=擊義[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02x53+0.202x14+0.402x7]=0.0296,

s=-0.0296=062義寸浜0.17.

所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為0.30,0.17.

思維激活——靈活不足?難得高分

數(shù)學建模.練抽象思維一統(tǒng)計中的創(chuàng)新應用問題

1.（創(chuàng)新學科情境）一個樣本。,3,5,7的平均數(shù)是①且a,&分別是數(shù)列｛2L2｝（“GN*）的

第2項和第4項，則這個樣本的方差是（）

A.3B.4

C.5D.6

2-22222

解析：選C由題意，得a=2=l,5=24-2=4,/.s=^-［（1—4）+（3—4）+（5—4）

+（7-4）2］=5.

2.（創(chuàng)新學科情境）某高校為從甲、乙兩名學生中選出一名學生會主席，對甲、乙兩名學

生的領導力進行了考核.已知一個人的領導力由影響力、控制力、決斷力、前瞻力和感召力

這五項能力構成.通過考核，得到甲、乙兩人的五項能力指標值的雷達圖如圖所示，則下列

說法中正確的是（）

A.從整體上看，乙的領導力高于甲的領導力［一一甲

B.甲、乙兩人的五項能力指標值的方差不同器

C.如果僅從控制力、決斷力和前瞻力三項能力考慮，乙的領

導力低于甲的領導力

D.如果僅從影響力、感召力、控制力三項能力考慮，甲的領控制力決斷力

導力高于乙的領導力

解析：選C由雷達圖可得甲的五項能力指標值分別為6,5,4,5,4,乙的五項能力指標值

分別為6,4,5,4,5,甲、乙兩人的五項能力指標值的和相同，所以從整體上看，甲、乙兩人的

領導力相當，選項A錯誤；由對A的分析易知甲、乙兩人五項能力指標值的方差相同，選

14

項B錯誤；從控制力、決斷力、前瞻力考慮，甲的能力指標值的均值為不，乙的能力指標值

的均值為號，故甲的領導力高于乙的領導力，選項C正確；從影響力、感召力、控制力考慮，

甲、乙的能力指標值的均值相同，故甲、乙兩人的領導力相當，選項D錯誤.故選C.

3.（走向生產(chǎn)生活）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加

環(huán)保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設得分的中位數(shù)為孫眾數(shù)為"，平均數(shù)為

則m,n,x的大小關系為.（用連接）

解析：由圖可知，30名學生得分的中位數(shù)為第15個數(shù)和第16個數(shù)(分別為5,6)的平均

數(shù)，即m=5.5;又5出現(xiàn)次數(shù)最多，故〃=5;T=^(2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8

+2X9+2X10產(chǎn)5.97.故n<m<x.

答案：x

4.(決策性問題)2021年9月15日20時，中華人民共和國第十四屆運動會在西安奧體

中心體育場盛大開幕，會歌《追著未來出發(fā)》將百年夢想與健康中國高度融合，標志著我國

競技體育水平的提高以及對競技體育的重視，也激勵著廣大體育愛好者為夢前行.少年有夢,

不應止于心動，更要付諸行動，某籃球運動愛好者為了提高自己的投籃水平，制訂了一個短

期訓練計劃，為了了解訓練效果，執(zhí)行訓練前，他統(tǒng)計了10場比賽的得分，計算出得分的

中位數(shù)為15分，平均得分為15分，得分的方差為42.5分2.執(zhí)行訓練后也統(tǒng)計了10場比賽

的得分，分另U為：14,9,16,21,18,8,12,23,14,15(單位：分).

(1)請計算該籃球運動員執(zhí)行訓練后統(tǒng)計的10場比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差.

(2)如果僅從執(zhí)行訓練前后統(tǒng)計的各10場比賽得分數(shù)據(jù)分析，你認為訓練計劃對該運動

員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？

解：(1)訓練后得分的中位數(shù)為14.5,平均得分為淼14+9+16+21+18+8+12

+23+14+15)=15(分)，方差為擊［(14-15)2+(9—15產(chǎn)+(16—15)2+(21-15)2+(18—15戶+

(8—15戶+(12-15尸+(23—15產(chǎn)+(14—15)2+(15-15)2］=20.6(分2).

⑵盡管訓練后中位數(shù)比訓練前稍小，但平均得分一樣，訓練后方差20.6小于訓練前方

差42.5,說明訓練后得分穩(wěn)定性提高了，這是投籃水平提高的表現(xiàn)，故此訓練計劃對該運動

員的投籃水平的提高有幫助.

［課時跟蹤檢測］

一、基礎練——練手感熟練度

1.(2022?云南一檢)某學校為了了解高一年級、高二年級、高三年級這三個年級的學生

對學校有關課外活動內(nèi)容與時間安排的意見，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進

行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()

A.抽簽法B.隨機數(shù)法

C.分層抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法

解析：選C由于研究對象是三個年級學生的意見，故應按分層抽樣法來抽取，故選

C.

2.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛.為檢驗該

公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進行檢驗，則下列說法不正確的是（）

A.應采用分層抽樣抽取

B.應采用抽簽法抽取

C.三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

解析：選B因為是三種型號的轎車，個體差異明顯，所以選擇分層抽樣，故A正確；

因為個體數(shù)目多，用抽簽法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有很好的代表性，故B不

573

正確；抽樣比為1500+6000+2000=500＞三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛，

故C正確；分層抽樣中，每一個個體被抽到的可能性相同，故D正確.

3.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）

A.3,5B.5,5C.3,7甲組乙組

659

解析：選A由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65=60+y,解得=

25617Iyy

5,又它們的平均值相等，所以±X［56+62+65+74+（70+x）］=/%478

X(59+61+67+65+78),解得x=3.

4.（2022?南京模擬）將6個數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,a去掉最大的一個，剩下的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)

為1.8,則』

1+2+3+4+5

解析：若a是最大的數(shù)，則=3,不符合題意.故5是最大的數(shù)，則

5

l+2+3+4+a

=解得

51.8,a=-1.

答案：-1

二、綜合練——練思維敏銳度

1.（2020?天津高考）從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：mm）,將所得數(shù)據(jù)分為

9組：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并整理得至!）如下頻率分布直方圖，

則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47］內(nèi)的個數(shù)為（）

頻率/組距

10.00--------------------------——

8.75-------------------------------------

7.50--------------------——

6.25-------------------------------------------

5.00-------------------------------------------------——

3.75---------——

2.50--------------------

1.25----1

°5.315.335.355.375.395.415.435.455.475.49直徑/mm

A.10B.18C.20D.36

解析：選B由題知［5.43,5.45）與［5.45,5.47］所對應的小矩形的高分別為6.25,5.00,所以

［5.43,5.47］的頻率為（6.25+5.00）X0.02=0.225,所以直徑落在區(qū)間［5.43,5.47］內(nèi)的個數(shù)為

80X0.225=18,故選B.

2.（2022?寶雞一模）為落實《國家學生體質(zhì)健康標準》達標測試工作，全面提升學生的

體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機抽取部分男生，測試了立定跳遠項

目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.已知立定跳遠200cm以上成績?yōu)榧?/p>

格，255cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率

和優(yōu)秀率分別是（）

A.87%,3%

C.87%,6%D.80%,6%

解析：選C由頻率分布直方圖可得，優(yōu)秀率為0.003X20X100%=6%.VI-

,200

0.003+0.014X一X20=0.87,...及格率為87%.故選C.

3.（2022?成都一修）甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次

品數(shù)如表所示：

甲0102203124

乙2211121101

X1,X2分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，Si,S2分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差,

則下列選項正確的是（）

A.X1=X29S1>S2B.X!>X29S1>S2

C.X1<X2,Sl>§2D..X!>X2，S1<S2

—1—1

解析：選B由表格數(shù)據(jù)知，xi=j^(0+l+0+2+2+0+3+l+2+4)=1.5,x

一一Xio___1io

(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2,/.xi>x2.51xi)2=1.65,§2=而2(如

i=ii=i

—X2)2=0.36,S1>S2?

4.等差數(shù)列處，X2,X3，…，X9的公差為1，若以上述數(shù)據(jù)處，“2，"3，…，刈為樣本，

則此樣本的方差為()

A?號B.芋C.60D.30

解析：選A由等差數(shù)列的性質(zhì)得樣本的平均數(shù)為/+也+…+期)=/2后+2后+2左

+24+*5)=*5,所以該組數(shù)據(jù)的方差為"[(XLX5)2+(*2-*5/+…+(*9—*5)2]=加X(4?+32

+22+12)]=^.

5.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班

級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不

相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為()

A.9B.10C.11D.12

解析：選B不妨設樣本數(shù)據(jù)為Xl,X2,X3,X4,Xs,-0.X1<X2<X3<X4<X5,則由樣本方差

為4,知(XI—7尸+(*2—7尸+(*3—7尸+(*4—7)2+(曲一7)2=20.若5個整數(shù)的平方和為20,則

這5個整數(shù)的平方只能在0,1,4,9,16中選取(每個數(shù)最多出現(xiàn)2次)，當這5個整數(shù)的平方中最

大的數(shù)為16時，分析可知，總不滿足和為20;當這5個整數(shù)的平方中最大的數(shù)為9時,0,1,1,9,9

這組數(shù)滿足要求，此時對應的樣本數(shù)據(jù)為xi=4,X2=6,刈=7,X4=8,X5=10;當這5個

整數(shù)的平方中最大的數(shù)不超過4時，總不滿足和為20,因此不存在滿足條件的另一組數(shù)據(jù).故

選B.

6.某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠的產(chǎn)量分布如圖所

示.現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進行使用

壽命的測