12.3 角的平分線的性質(zhì)課件2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)

12.3角的平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)八年級上冊在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識點1角平分線的畫法問題1：問題2：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.探究新知問題3：【思考】如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？探究新知做一做ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于MN或等于MN，可以嗎？探究新知已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC探究新知1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB

，點D,E為垂足，測量PD,PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點.猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)知識點2探究新知已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究新知驗證猜想一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.探究新知歸納總結(jié)性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC探究新知判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

(

)在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BD

CD×BADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線”這一條件探究新知如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，則OD與OE的大小關(guān)系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B鞏固練習(xí)例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.探究新知角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點1如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)鞏固練習(xí)例2

如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線段——直接應(yīng)用.探究新知利用角平分線的性質(zhì)求線段的長度素養(yǎng)考點2ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，

AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4提示：存在一條垂線段——構(gòu)造應(yīng)用.鞏固練習(xí)1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解探究新知歸納總結(jié)如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°B

N鏈接中考2.△ABC中，

∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，

DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）SSSASAAAS

角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂檢測4.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.PC＝PD

B.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPO

D.OC＝PCD5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF課堂檢測EDCBA68101.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴

AE＝AB–BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升題CD課堂檢測2.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂檢測如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD，

PM⊥AD，

PE⊥AB，∴

PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴

MN=6.即AD與BC之間的距離為6.拓廣探索題課堂檢測S這個點應(yīng)該在角的平分線O探究新知角平分線的判定的應(yīng)用素養(yǎng)考點例

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？回顧舊知ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB.∴PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

敘述角平分線的性質(zhì)定理.不必再證全等E知識點1

角平分線的判定探究新知PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴PD=PE.幾何語言：猜想:探究新知想一想這個結(jié)論正確嗎？已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，∴點P在∠AOB的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE

∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP探究新知猜想證明判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.探究新知例

如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm，D即為所求.O方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.探究新知角平分線的判定的應(yīng)用素養(yǎng)考點如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC＝3cm，當(dāng)PD＝____cm時，點P在∠AOB的平分線上．33如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則點P是

的平分線與

的平分線的交點．∠ABC∠BCD鞏固練習(xí)

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點.三角形的內(nèi)角平分線知識點2探究新知

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個結(jié)論嗎？探究新知已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

探究新知證明結(jié)論點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

探究新知想一想如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.

MENABCPOD過點O作ON⊥BC,

OE⊥AB,垂足分別為點N，點E

.由題意得，ON+OE+OM=12.BCA鞏固練習(xí)P解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.鞏固練習(xí)如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長條件探究新知歸納總結(jié)例

如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°

C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.探究新知利用三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)求值素養(yǎng)考點探究新知方法點撥

由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定探究新知

歸納總結(jié)到三角形三邊距離相等的點是(

)A．三邊垂直平分線的交點B．三條高所在直線的交點C．三條角平分線的交點D．三條中線的交點如圖，河南岸有一個工廠在公路西側(cè)，工廠到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與B的距離為300m，則工廠的位置在哪里？解：作小河與公路夾角的角平分線BM，在BM上截取BP＝1.5cm，則點P即為所求的工廠的位置C鞏固練習(xí)證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.如圖，已知，BE＝CF，B