逆命題與逆定理教案

19.4.1主備人：王啟彤教學目標1.理解原命題、逆命題、逆定理的概念，通過比較，提高學生的辨析與表達能力；2.通過獨立思考、小組合用，培養(yǎng)學生說理有據(jù)，有條理地表達自己想法的良好意識；3.積極投入，全力以赴，初步感受公理化方法對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值。教學重點難點重點：寫出一個命題的逆命題。難點：判斷逆命題的真假。教學方法教學過程一、預習案1.什么叫逆命題？2.如果一個命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？3.什么叫逆定理？二、基礎知識探究探究點一逆命題與互逆命題問題1：命題由哪兩部分組成？答案：命題由題設和結(jié)論組成。問題2：如果把一個命題的題設與結(jié)論互換位置，組成一個新的命題，那么新命題與原命題之間有什么關系？答案：一般來說，在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題；逆命題是一個命題，而互逆命題指的是兩個命題之間的關系。問題3：如果一個命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？答案：原命題是真命題，它的逆命題未必是真命題，例如原命題“對頂角相等”是真命題，而它的逆命題“相等的角是對頂角”為假命題。問題4：如何判斷一個命題的逆命題是假命題？答案：舉反例。探究點二逆定理與互逆定理問題1：定理與命題有什么關系？答案：定理是命題，而命題不一定是定理。問題2：定理一定存在逆定理嗎？答案：定理與逆定理一定是真命題；定理是一個命題，然而它的逆命題不一定正確，所以定理不一定存在逆定理。問題3：什么是互逆定理？答案：如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理逆定理。歸納總結(jié)：特別注意定理、逆定理、互逆定理的聯(lián)系：如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。三、知識綜合應用例1.寫出下列命題的逆命題，指出這些逆命題的題設和結(jié)論，并判斷其是真命題還是假命題：（1）兩個負數(shù)之積為正數(shù)；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）有兩個角互余的三角形是直角三角形；（4）如果那么.思考1：如何判斷命題的題設與結(jié)論？思考2：如何根據(jù)原命題的題設與結(jié)論寫出逆命題？思考3：如何說明一個逆命題是假命題？例2.寫出下列定理的逆命題，并判斷其能否成為原定理的逆定理：（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；（2）全等三角形的對應角相等。思考1：定理與逆定理一定是真命題嗎？思考2：如何判斷定理的逆命題能否成為原定理的逆定理？四、課堂練習1.說出下列命題的題設和結(jié)論，并說出它們的逆命題：（1）如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；（2）等邊三角形的每個角都等于60°；（3）全等三角形的對應角相等；（4）到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；（5）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.2.舉例說明下列命題的逆命題是假命題：（1）如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是5，那么這個整數(shù)能被5整除；（2）如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等。五、課后作業(yè)：1.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.平行四邊形的對角線互相平分B.兩直線平行，內(nèi)錯角相等C.矩形的對角線相等D.菱形的對角線互相垂直平分2.下列命題的逆命題是真命題的是（）A.若＜－2，則＞4B.全等三角形的對應角相等C.同位角相等，兩直線平行D.平行四邊形有一組對邊互相平行3.命題“平行四邊形的對角線互相平分”的逆命題是4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若；（2）若.5.下面的原命題與逆命題是互逆定理嗎？如果不是，請說明理由.（1）“如果一個三角形的三邊滿足，那么這個三角形是直角三角形”與“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊c的平方，即”；（2）“對頂角相等”與“相等的角是對頂角”.19.4.2等腰三角形的判定主備人：王啟彤教學目標1.理解等腰三角形的判定方法和證明過程，掌握運用“等角對等邊”證明等腰三角形的方法，提高邏輯推理能力；2.通過定理的證明和應用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，掌握分析問題和解決問題的方法；3.極度熱情、全力以赴，體會數(shù)學源于實踐，又服務于實踐的辯證唯物主義觀點。教學重點難點重點：等腰三角形的判定方法及其應用。難點：等腰三角形判定方法的證明中添加輔助線的思想方法以及等腰三角形性質(zhì)與判定的區(qū)別。教學方法教學過程一、預習案1.等腰三角形性質(zhì)定理的逆命題是什么？勾股定理的逆命題是什么？2.等腰三角形性質(zhì)定理的逆命題可以用來證明它是一個等腰三角形嗎？3.等腰三角形有幾種證明方法？分別是什么？怎樣證明一個三角形是直角三角形？二、基礎知識探究探究點一等腰三角形的判定定理（重點）問題1：如圖1，在△ABC中，AB=AC，圖中必有哪些相等？為什么？答案：∠B=∠C，根據(jù)的是等腰三角形的性質(zhì)定理。問題2：反過來，若∠B=∠C，一定有AB=AC嗎？并證明你的結(jié)論.答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.思路分析：聯(lián)想證明有關線段相等的知識知道，需先構造以AB、AC為對應邊的全等三角形。因為已知∠B=∠C，沒有對應邊相等，所以需添加輔助線為兩個三角形的公共邊，因此輔助線應從A點引出.再讓學生回想等腰三角形中常添加的輔助線，學生可以作∠BAC的平分線AD交BC于D或作BC邊上的高AD等，證明三角形全等，從而推出AB=AC.證明：如圖2，作∠BAC的平分線AD交BC于D.在△BAD和△CAD中，因為∠B=∠C,∠1=∠2,AD=AD,所以△BAD≌△CAD(A.A.S.).所以AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.問題3：等腰三角形的判定定理是什么？答案：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.（簡寫成“等角對等邊”）問題4：還可以用其他方法判定等腰三角形嗎？答案：直接利用等腰三角形的定義也可以判定等腰三角形.歸納總結(jié)：等腰三角形的判定方法有兩種：（1）根據(jù)定義，即在一個三角形中，如果有兩條邊相等，那么這個三角形為等腰三角形；（2）等腰三角形的判定定理。探究點二勾股定理的定理問題1：什么是勾股定理？答案：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和一定等于斜邊長的平方.問題2：勾股定理的逆命題是什么？答案：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.問題3：如何證明該命題的正確性？答案：已知：如圖3，在△ABC中，AB=c，BC=，CA=b,且.求證：△ABC是直角三角形.圖1圖2思路分析：首先構造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b，然后可以證明△ABC≌△A1B1C1，從而可知△ABC是直角三角形.證明：如圖2所示，構造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b；在直角三角形A1B1C1中，由勾股定理可得B1B1=c;則在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.歸納總結(jié)：（1）勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形的依據(jù)；（2）股定理通過計算判斷一個三角形是否為直角三角形.三、知識綜合應用例1.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形嗎？為什么？思考1：想判定△ABD為等腰三角形，只需要得出哪兩個角相等即可？思考2：如何利用已知條件得出這兩個角相等？思考3：判定三角形為等腰三角形的一般方法是什么？例2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠B=90°，求∠DAB的度數(shù).思考1：分割法求角是我們常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？思考2：連結(jié)AC，如何說明△ACD是直角三角形？思考3：勾股定理的逆定理在證明直角三角形時應該怎么用？四、課堂練習1.如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.2.三角形三邊長、b、c分別是下列各組數(shù)，試判斷各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個角是直角？（1）=8，b=15，c=17；（2）=6，b=10，c=8；（3）=1，b=，c=2.3.給定一個三角形的兩邊長分別為5、12，當?shù)谌龡l邊為多長時，這個三角形是直角三角形？五、課后作業(yè)1.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長，能構成直角三角形的有（）①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，若∠BDC=72°，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，則△ABC=三角形.4.如圖所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，求證：△DBC是等腰三角形.5.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能確定△ABC為直角三角形的條件的個數(shù)是（）①∠A=∠1；②∠B=∠2=90°；③BC：AC：AB=3：4：5；④∠1=∠2A.1B.2C.3D.419.4.3角平分線主備人：王啟彤教學目標1.掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，并能運用這兩個定理證明線段相等和角相等，提高邏輯推理能力；2.通過獨立思考、小組合作、展示質(zhì)疑，體會數(shù)學的嚴密性；3.極度熱情，做最佳的自己，激發(fā)學習數(shù)學的興趣.教學重點難點重點：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的應用。難點：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的推導過程。教學方法教學過程一、預習案1.你如何理解角平分線的性質(zhì)定理？2.你能通過邏輯推理的方法證明角平分線的性質(zhì)定理嗎？3.角平分線性質(zhì)定理的逆命題正確嗎？4.你能通過邏輯推理的方法證明角平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？5.如何判定點在角的平分線上？二、基礎知識探究探究點一角平分線的性質(zhì)定理（重點）問題1：如何求直線外一點到直線的距離？答案：過點向直線作垂線段，垂線段的長度即為所求.問題2：如圖所示，射線OP是∠AOB的平分線，點C為OP上任意一點，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E.那么點C到OA的距離是，點C到OB的距離是.問題3：若將圖中的∠AOB沿著OC所在的直線折疊，你會發(fā)現(xiàn)CD與CE在數(shù)量上有什么關系？答案：相等.問題4：你能用邏輯推理的方法證明問題3的結(jié)論嗎？答案:已知：如圖，OP是∠AOB的平分線，C是OP上任意一點，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，求證：CD=CE.證明：因為射線OP是∠AOB的平分線，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO=90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE.問題5：你能得到什么結(jié)論？答案：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.歸納總結(jié)：（1）角平分線性質(zhì)定理中的“距離”是指點到直線的距離.是垂線段的長度，要與點到點的距離區(qū)別開；（2）角平分線的性質(zhì)定理可用于說明兩條線段相等.探究點二角平分線的性質(zhì)定理的逆定理（重點）問題1：角平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么？答案：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.問題2：如圖所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，點C在∠AOB的平分線上嗎？為什么？答案：在.在Rt△DCO和Rt△ECO中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.即點C在∠AOB的平分線上。問題3：你能得到什么結(jié)論？答案：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。歸納總結(jié)：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的實質(zhì)是由“線段相等”證明“角相等”。三、知識綜合應用例1.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm思考1：使用角平分線的性質(zhì)定理的條件是什么？思考2：BC與AC的位置關系是怎樣的？思考3：CE與DE有什么關系？為什么？思考4：AE+DE=AE+EC=AC嗎？例2.如圖所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF與CE相交于點D，BD=CD.求證：點D在∠BAC的平分線上。思考1：利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，我們可以把“點D在∠BAC的平分線上”轉(zhuǎn)化成什么結(jié)論？思考2：想要證明DE=DF，只需要證明哪兩個三角形全等即可？四、課堂練習1.如圖，在直線上找出一點P，使得點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等。2.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上。五、課后作業(yè)1.∠AOB的平分線上有一點M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_______.2.如圖所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_____.2題3題3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，則點D到AB的距離是______.4.如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，則DE=______cm.4題5題5.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP6.如圖所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于點D，若AB=AC，求證：點D在∠BAC的平分線上。19.4.4主備人：王啟彤教學目標1.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，并能熟練地應用線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理進行證明，提高邏輯推理能力。2.通過獨立思考、小組合作、展示質(zhì)疑，體會數(shù)學的嚴密性；3.極度熱情、自動自發(fā)、享受成功，提高數(shù)學應用意識。教學重點難點重點：掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。難點：理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的關系。教學方法教學過程一、預習案1.你如何理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理？2.你能通過邏輯推理的方法證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理嗎？3.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題正確嗎？4.你能通過邏輯推理的方法證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？5.如何判斷一個點是否在線段的垂直平分線上？二、基礎知識探究探究點一：線段垂直平分線的性質(zhì)定理（重點）問題1：線段的垂直平分線是直線，還是線段？有幾條？答案：直線；有1條。問題2：如圖所示，直線MN是線段AB的垂直平分線，O為垂足，點P是直線MN上任意一點，連結(jié)PA，PB，則圖中相等的線段有哪些？答案：線段OA與OB相等，線段PA與PB相等。問題3：你能邏輯推理的方法證明問題2中的結(jié)論PA=PB嗎？答案：已知：如圖，直線MN經(jīng)過線段AB的中點O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點，求證：PA=PB.證明：因為MN⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的對應邊相等）.問題4：通過問題3，你能得到什么結(jié)論？答案：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。歸納總結(jié)：（1）線段垂直平分線上的任意一點到這條線段的兩個端點的距離都相等；（2）線段垂直平分線的的性質(zhì)定理可以用來證明線段相等。探究點二：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理（重點）問題1：你能寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？答案：到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。問題2：這個逆命題是真命題還是假命題？若是真命題，能用邏輯推理的方法加以證明嗎？圖1圖2答案：真命題；已知：如圖1，AC=BC，求證：點C在線段AB的垂直平分線上，證明：如圖2，作CD⊥AB交AB于點D，所以∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△CDA和Rt△CDB中，AC=BC，CD=CD，所以Rt△CDA≌△Rt△CDB（H.L.），所以AD=BD。又因為∠CDA=∠CDB=90°，所以點C在線段AB的垂直平分線上。問題3：你能得到什么結(jié)論？答案：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可以證明一個點在線段的垂直平分線上。三、知識綜合應用例1.如圖所示，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線交AB于E，BE=7，則△BCE的周長為______.思考：由“邊BC的垂直平分線交AB于點E”可以得到BE與CE有什么關系？拓展提升：如圖所示，A、B、C三點表示三個居民區(qū)，為了方便居民就近購物，計劃新建一個綜合商場，要使商場到三個居民區(qū)的距離相等，請你在圖中用尺規(guī)作圖確定商場的位置。（不寫作法，只保留作圖痕跡）思考1