逆命題與逆定理教案

19.4.1主備人：王啟彤教學(xué)目標(biāo)1.理解原命題、逆命題、逆定理的概念，通過(guò)比較，提高學(xué)生的辨析與表達(dá)能力；2.通過(guò)獨(dú)立思考、小組合用，培養(yǎng)學(xué)生說(shuō)理有據(jù)，有條理地表達(dá)自己想法的良好意識(shí)；3.積極投入，全力以赴，初步感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：寫出一個(gè)命題的逆命題。難點(diǎn)：判斷逆命題的真假。教學(xué)方法教學(xué)過(guò)程一、預(yù)習(xí)案1.什么叫逆命題？2.如果一個(gè)命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？3.什么叫逆定理？二、基礎(chǔ)知識(shí)探究探究點(diǎn)一逆命題與互逆命題問(wèn)題1：命題由哪兩部分組成？答案：命題由題設(shè)和結(jié)論組成。問(wèn)題2：如果把一個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論互換位置，組成一個(gè)新的命題，那么新命題與原命題之間有什么關(guān)系？答案：一般來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題；逆命題是一個(gè)命題，而互逆命題指的是兩個(gè)命題之間的關(guān)系。問(wèn)題3：如果一個(gè)命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？答案：原命題是真命題，它的逆命題未必是真命題，例如原命題“對(duì)頂角相等”是真命題，而它的逆命題“相等的角是對(duì)頂角”為假命題。問(wèn)題4：如何判斷一個(gè)命題的逆命題是假命題？答案：舉反例。探究點(diǎn)二逆定理與互逆定理問(wèn)題1：定理與命題有什么關(guān)系？答案：定理是命題，而命題不一定是定理。問(wèn)題2：定理一定存在逆定理嗎？答案：定理與逆定理一定是真命題；定理是一個(gè)命題，然而它的逆命題不一定正確，所以定理不一定存在逆定理。問(wèn)題3：什么是互逆定理？答案：如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理逆定理。歸納總結(jié)：特別注意定理、逆定理、互逆定理的聯(lián)系：如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。三、知識(shí)綜合應(yīng)用例1.寫出下列命題的逆命題，指出這些逆命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷其是真命題還是假命題：（1）兩個(gè)負(fù)數(shù)之積為正數(shù)；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；（4）如果那么.思考1：如何判斷命題的題設(shè)與結(jié)論？思考2：如何根據(jù)原命題的題設(shè)與結(jié)論寫出逆命題？思考3：如何說(shuō)明一個(gè)逆命題是假命題？例2.寫出下列定理的逆命題，并判斷其能否成為原定理的逆定理：（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等；（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。思考1：定理與逆定理一定是真命題嗎？思考2：如何判斷定理的逆命題能否成為原定理的逆定理？四、課堂練習(xí)1.說(shuō)出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并說(shuō)出它們的逆命題：（1）如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余；（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°；（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（4）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；（5）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2.舉例說(shuō)明下列命題的逆命題是假命題：（1）如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5，那么這個(gè)整數(shù)能被5整除；（2）如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等。五、課后作業(yè)：1.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C.矩形的對(duì)角線相等D.菱形的對(duì)角線互相垂直平分2.下列命題的逆命題是真命題的是（）A.若＜－2，則＞4B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C.同位角相等，兩直線平行D.平行四邊形有一組對(duì)邊互相平行3.命題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的逆命題是4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若；（2）若.5.下面的原命題與逆命題是互逆定理嗎？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）“如果一個(gè)三角形的三邊滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形”與“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊c的平方，即”；（2）“對(duì)頂角相等”與“相等的角是對(duì)頂角”.19.4.2等腰三角形的判定主備人：王啟彤教學(xué)目標(biāo)1.理解等腰三角形的判定方法和證明過(guò)程，掌握運(yùn)用“等角對(duì)等邊”證明等腰三角形的方法，提高邏輯推理能力；2.通過(guò)定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法；3.極度熱情、全力以赴，體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等腰三角形的判定方法及其應(yīng)用。難點(diǎn)：等腰三角形判定方法的證明中添加輔助線的思想方法以及等腰三角形性質(zhì)與判定的區(qū)別。教學(xué)方法教學(xué)過(guò)程一、預(yù)習(xí)案1.等腰三角形性質(zhì)定理的逆命題是什么？勾股定理的逆命題是什么？2.等腰三角形性質(zhì)定理的逆命題可以用來(lái)證明它是一個(gè)等腰三角形嗎？3.等腰三角形有幾種證明方法？分別是什么？怎樣證明一個(gè)三角形是直角三角形？二、基礎(chǔ)知識(shí)探究探究點(diǎn)一等腰三角形的判定定理（重點(diǎn)）問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，AB=AC，圖中必有哪些相等？為什么？答案：∠B=∠C，根據(jù)的是等腰三角形的性質(zhì)定理。問(wèn)題2：反過(guò)來(lái)，若∠B=∠C，一定有AB=AC嗎？并證明你的結(jié)論.答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.思路分析：聯(lián)想證明有關(guān)線段相等的知識(shí)知道，需先構(gòu)造以AB、AC為對(duì)應(yīng)邊的全等三角形。因?yàn)橐阎螧=∠C，沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等，所以需添加輔助線為兩個(gè)三角形的公共邊，因此輔助線應(yīng)從A點(diǎn)引出.再讓學(xué)生回想等腰三角形中常添加的輔助線，學(xué)生可以作∠BAC的平分線AD交BC于D或作BC邊上的高AD等，證明三角形全等，從而推出AB=AC.證明：如圖2，作∠BAC的平分線AD交BC于D.在△BAD和△CAD中，因?yàn)椤螧=∠C,∠1=∠2,AD=AD,所以△BAD≌△CAD(A.A.S.).所以AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.問(wèn)題3：等腰三角形的判定定理是什么？答案：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）問(wèn)題4：還可以用其他方法判定等腰三角形嗎？答案：直接利用等腰三角形的定義也可以判定等腰三角形.歸納總結(jié)：等腰三角形的判定方法有兩種：（1）根據(jù)定義，即在一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等，那么這個(gè)三角形為等腰三角形；（2）等腰三角形的判定定理。探究點(diǎn)二勾股定理的定理問(wèn)題1：什么是勾股定理？答案：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.問(wèn)題2：勾股定理的逆命題是什么？答案：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.問(wèn)題3：如何證明該命題的正確性？答案：已知：如圖3，在△ABC中，AB=c，BC=，CA=b,且.求證：△ABC是直角三角形.圖1圖2思路分析：首先構(gòu)造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b，然后可以證明△ABC≌△A1B1C1，從而可知△ABC是直角三角形.證明：如圖2所示，構(gòu)造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b；在直角三角形A1B1C1中，由勾股定理可得B1B1=c;則在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.歸納總結(jié)：（1）勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形的依據(jù)；（2）股定理通過(guò)計(jì)算判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形.三、知識(shí)綜合應(yīng)用例1.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形嗎？為什么？思考1：想判定△ABD為等腰三角形，只需要得出哪兩個(gè)角相等即可？思考2：如何利用已知條件得出這兩個(gè)角相等？思考3：判定三角形為等腰三角形的一般方法是什么？例2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠B=90°，求∠DAB的度數(shù).思考1：分割法求角是我們常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？思考2：連結(jié)AC，如何說(shuō)明△ACD是直角三角形？思考3：勾股定理的逆定理在證明直角三角形時(shí)應(yīng)該怎么用？四、課堂練習(xí)1.如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.2.三角形三邊長(zhǎng)、b、c分別是下列各組數(shù)，試判斷各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個(gè)角是直角？（1）=8，b=15，c=17；（2）=6，b=10，c=8；（3）=1，b=，c=2.3.給定一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5、12，當(dāng)?shù)谌龡l邊為多長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形？五、課后作業(yè)1.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的有（）①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點(diǎn)，若∠BDC=72°，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，則△ABC=三角形.4.如圖所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，求證：△DBC是等腰三角形.5.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能確定△ABC為直角三角形的條件的個(gè)數(shù)是（）①∠A=∠1；②∠B=∠2=90°；③BC：AC：AB=3：4：5；④∠1=∠2A.1B.2C.3D.419.4.3角平分線主備人：王啟彤教學(xué)目標(biāo)1.掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，并能運(yùn)用這兩個(gè)定理證明線段相等和角相等，提高邏輯推理能力；2.通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作、展示質(zhì)疑，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性；3.極度熱情，做最佳的自己，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的應(yīng)用。難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)方法教學(xué)過(guò)程一、預(yù)習(xí)案1.你如何理解角平分線的性質(zhì)定理？2.你能通過(guò)邏輯推理的方法證明角平分線的性質(zhì)定理嗎？3.角平分線性質(zhì)定理的逆命題正確嗎？4.你能通過(guò)邏輯推理的方法證明角平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？5.如何判定點(diǎn)在角的平分線上？二、基礎(chǔ)知識(shí)探究探究點(diǎn)一角平分線的性質(zhì)定理（重點(diǎn)）問(wèn)題1：如何求直線外一點(diǎn)到直線的距離？答案：過(guò)點(diǎn)向直線作垂線段，垂線段的長(zhǎng)度即為所求.問(wèn)題2：如圖所示，射線OP是∠AOB的平分線，點(diǎn)C為OP上任意一點(diǎn)，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E.那么點(diǎn)C到OA的距離是，點(diǎn)C到OB的距離是.問(wèn)題3：若將圖中的∠AOB沿著OC所在的直線折疊，你會(huì)發(fā)現(xiàn)CD與CE在數(shù)量上有什么關(guān)系？答案：相等.問(wèn)題4：你能用邏輯推理的方法證明問(wèn)題3的結(jié)論嗎？答案:已知：如圖，OP是∠AOB的平分線，C是OP上任意一點(diǎn)，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，求證：CD=CE.證明：因?yàn)樯渚€OP是∠AOB的平分線，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO=90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE.問(wèn)題5：你能得到什么結(jié)論？答案：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.歸納總結(jié)：（1）角平分線性質(zhì)定理中的“距離”是指點(diǎn)到直線的距離.是垂線段的長(zhǎng)度，要與點(diǎn)到點(diǎn)的距離區(qū)別開(kāi)；（2）角平分線的性質(zhì)定理可用于說(shuō)明兩條線段相等.探究點(diǎn)二角平分線的性質(zhì)定理的逆定理（重點(diǎn)）問(wèn)題1：角平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么？答案：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.問(wèn)題2：如圖所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，點(diǎn)C在∠AOB的平分線上嗎？為什么？答案：在.在Rt△DCO和Rt△ECO中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.即點(diǎn)C在∠AOB的平分線上。問(wèn)題3：你能得到什么結(jié)論？答案：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。歸納總結(jié)：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的實(shí)質(zhì)是由“線段相等”證明“角相等”。三、知識(shí)綜合應(yīng)用例1.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm思考1：使用角平分線的性質(zhì)定理的條件是什么？思考2：BC與AC的位置關(guān)系是怎樣的？思考3：CE與DE有什么關(guān)系？為什么？思考4：AE+DE=AE+EC=AC嗎？例2.如圖所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF與CE相交于點(diǎn)D，BD=CD.求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上。思考1：利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，我們可以把“點(diǎn)D在∠BAC的平分線上”轉(zhuǎn)化成什么結(jié)論？思考2：想要證明DE=DF，只需要證明哪兩個(gè)三角形全等即可？四、課堂練習(xí)1.如圖，在直線上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等。2.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上。五、課后作業(yè)1.∠AOB的平分線上有一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_(kāi)______.2.如圖所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_____.2題3題3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，則點(diǎn)D到AB的距離是______.4.如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，則DE=______cm.4題5題5.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP6.如圖所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于點(diǎn)D，若AB=AC，求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上。19.4.4主備人：王啟彤教學(xué)目標(biāo)1.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，并能熟練地應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理進(jìn)行證明，提高邏輯推理能力。2.通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作、展示質(zhì)疑，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性；3.極度熱情、自動(dòng)自發(fā)、享受成功，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。難點(diǎn)：理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的關(guān)系。教學(xué)方法教學(xué)過(guò)程一、預(yù)習(xí)案1.你如何理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理？2.你能通過(guò)邏輯推理的方法證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理嗎？3.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題正確嗎？4.你能通過(guò)邏輯推理的方法證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？5.如何判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上？二、基礎(chǔ)知識(shí)探究探究點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)定理（重點(diǎn)）問(wèn)題1：線段的垂直平分線是直線，還是線段？有幾條？答案：直線；有1條。問(wèn)題2：如圖所示，直線MN是線段AB的垂直平分線，O為垂足，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，則圖中相等的線段有哪些？答案：線段OA與OB相等，線段PA與PB相等。問(wèn)題3：你能邏輯推理的方法證明問(wèn)題2中的結(jié)論P(yáng)A=PB嗎？答案：已知：如圖，直線MN經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn)，求證：PA=PB.證明：因?yàn)镸N⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.問(wèn)題4：通過(guò)問(wèn)題3，你能得到什么結(jié)論？答案：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。歸納總結(jié)：（1）線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離都相等；（2）線段垂直平分線的的性質(zhì)定理可以用來(lái)證明線段相等。探究點(diǎn)二：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理（重點(diǎn)）問(wèn)題1：你能寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？答案：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。問(wèn)題2：這個(gè)逆命題是真命題還是假命題？若是真命題，能用邏輯推理的方法加以證明嗎？圖1圖2答案：真命題；已知：如圖1，AC=BC，求證：點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，證明：如圖2，作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，所以∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△CDA和Rt△CDB中，AC=BC，CD=CD，所以Rt△CDA≌△Rt△CDB（H.L.），所以AD=BD。又因?yàn)椤螩DA=∠CDB=90°，所以點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上。問(wèn)題3：你能得到什么結(jié)論？答案：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可以證明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上。三、知識(shí)綜合應(yīng)用例1.如圖所示，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線交AB于E，BE=7，則△BCE的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.思考：由“邊BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E”可以得到BE與CE有什么關(guān)系？拓展提升：如圖所示，A、B、C三點(diǎn)表示三個(gè)居民區(qū)，為了方便居民就近購(gòu)物，計(jì)劃新建一個(gè)綜合商場(chǎng)，要使商場(chǎng)到三個(gè)居民區(qū)的距離相等，請(qǐng)你在圖中用尺規(guī)作圖確定商場(chǎng)的位置。（不寫作法，只保留作圖痕跡）思考1