2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中模擬試題2含答案

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期11月期中調(diào)研試題（2）高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則等于 （

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用補(bǔ)集的定義求出集合的補(bǔ)集；利用交集的定義求出．【詳解】解：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的交集、補(bǔ)集、并集的定義進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)：，：，則是的．A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)，所以，所以是必要非充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．3．已知不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由題意可得2和3是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，從而轉(zhuǎn)化為，解該一元二次不等式即可.【詳解】解：∵不等式的解集為，∴2和3是方程的兩個(gè)根.∴，可得.可化為，即，即,解得.故選:A.4．已知為實(shí)數(shù)，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)證明不等式【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式性質(zhì)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，大小無(wú)法確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，，對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故C正確；對(duì)于D，若時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：C.5．已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，記，若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．(0,+∞) C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、函數(shù)方程組法求解析式【分析】根據(jù)解析式及奇偶性，應(yīng)用函數(shù)方程組求它們的解析式，進(jìn)而可得，由題設(shè)易知在（1,2）上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求a的取值范圍即可.【詳解】由題設(shè)有：，即，解得，∴，對(duì)于任意的，都有，即函數(shù)在（1,2）上單調(diào)遞減，∴或，解得．故選：C6．已知，則的最小值為 （

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.【詳解】由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.7．已知，函數(shù)，若對(duì)，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】先根據(jù)函數(shù)圖像求出恒成立，再根據(jù)函數(shù)的最值求得即可.【詳解】令，因?yàn)椋瑒t，由的圖像可知或（舍），則等價(jià)于在恒成立，由題意在時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以；因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，的最小值為，所以可得，?故選：D.

8．函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以而也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，恒過(guò)點(diǎn)，方程根，即為函數(shù)y=fx與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且其中一個(gè)交點(diǎn)是，如圖畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，若，根據(jù)對(duì)稱性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，所以滿足條件的的取值范圍是，選項(xiàng)中滿足條件的只有.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)的圖象，尤其是，并且會(huì)利用數(shù)形結(jié)合，分析臨界直線，即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，是正實(shí)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則有最小值2B．若，則有最大值5C．若，則有最大值D．有最小值【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將已知轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式可判斷ABCD選項(xiàng)。【詳解】對(duì)于A，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則有最小值2，故A正確；對(duì)于B，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則有最大值4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則則有最大值2，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)的一個(gè)周期為4C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B，令，可判斷其為偶函數(shù)，再結(jié)合為奇函數(shù)，可求出其周期判斷，對(duì)于C，利用的周期分析判斷，對(duì)于D，由，利用并項(xiàng)求和判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，因?yàn)?，所以，所以，所以為偶函?shù)，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)，即函數(shù)的一個(gè)周期為4，所以B正確，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，，，，，，，，，，所以，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用賦值法求抽象函數(shù)的值，考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的關(guān)系式合理賦值求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.11．已知函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．方程有三個(gè)實(shí)根B．方程有四個(gè)實(shí)根C．，方程有四個(gè)實(shí)根D．，方程有兩個(gè)實(shí)根【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】用判別式法，把看成關(guān)于的方程，求出根的情況，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)得到需要滿足的條件，并進(jìn)行判斷.【詳解】由且，有①，或都不滿足方程①，時(shí)，方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，，或時(shí)，方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，或時(shí)，方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，對(duì)于選項(xiàng)，令，解得或，時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，即，解得或，而時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，時(shí)，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)值，，與、、比大小，求得或，此時(shí)每一個(gè)的值都對(duì)應(yīng)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，方程有四個(gè)實(shí)根，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)值，此時(shí)不妨讓對(duì)應(yīng)的值一個(gè)在，一個(gè)在1,+∞，對(duì)應(yīng)的值其中一個(gè)取時(shí)，則或，此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)以及分式方程根的情況，關(guān)鍵是把二次分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為以及的符號(hào)，來(lái)判斷方程根的情況.12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】求得集合，根據(jù)，分和兩種情況討論，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，若，如圖所示：則滿足，解得．綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的關(guān)系及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)集合間的包含關(guān)系，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，同時(shí)忽視是解答本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．已知函數(shù)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知求解析式【分析】利用換元法求得，即可求得答案.【詳解】令，故由，可得，所以.故答案為：14．已知，均為正數(shù)，且，則的最小值為．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、柯西不等式求最值【詳解】∵a，b均為正數(shù)，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．則=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．∴（+b2）（1+1）≥≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故選B.點(diǎn)睛：本題考查“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)、柯西不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值以及集合.【答案】（1）；（2），【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算【分析】（1）首先求得集合，當(dāng)時(shí)，解一元二次方程求得集合，由此求得，.（2）根據(jù)得到是的子集，將中元素代入集合，由此求得的值.【詳解】（1）由題意得.當(dāng)時(shí)，，.（2），.，，，解得.16．某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）【答案】（1）8小時(shí)； （2）1.6【分析】（1）由可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度關(guān)于的函數(shù)解析式，再根據(jù)基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的消毒劑，所以其濃度為當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)．（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．17．已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析； （2）； （3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）由參變量分離法可得，求出函數(shù)在0,4上的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由已知可得出，令，可得出，再令，根據(jù)，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，任取、，且，則，，，，所以，，所以，函數(shù)在單調(diào)遞增.（2）解：由題，因?yàn)椋瑒t，所以，，即，由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即，所以，，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：對(duì)任意的，任意的，恒成立，即，令，因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，對(duì)任意的恒成立，令，則，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，并通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號(hào)的方向變形；（3）定號(hào)：確定差的符號(hào)；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號(hào)下結(jié)論.18．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；（3）對(duì)（2）中的，當(dāng)，時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）； （2）； （3）【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）分、、三種情況討論，分別求出，即可得解；（3）結(jié)合（2）求出的值域，則當(dāng)，恒有成立，令，，則，再分、兩種情況討論，分別求出，即可得解.【詳解】（1）函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，若在上單調(diào)遞減，則，即的取值范圍為；（2）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，；所以；（3）當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，恒有成立，所以當(dāng)，恒有成立，令，，則，當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以；綜上可得.19．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，若對(duì)任意R，m＞n，S，均有，則稱是S關(guān)聯(lián).（1）判斷和證明函數(shù)是否是關(guān)聯(lián)？是否是關(guān)聯(lián)？（2）若是{3}關(guān)聯(lián)，當(dāng)時(shí)，，解不等式：；（3）證明：“是{1}關(guān)聯(lián)，且是{3}關(guān)聯(lián)”的充要條件為“是關(guān)聯(lián)”.【答案】（1）函數(shù)是關(guān)聯(lián)，不是關(guān)聯(lián)，證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、解分段函數(shù)不等式、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)給定的定義，分別為、時(shí)，求的取值區(qū)間即可判斷作答.（2）根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合已知函數(shù)分段解不等式并求并集作答.（3）利用給定的定義，利用推理證明命題的充分性和必要性作答.【詳解】（1）函數(shù)是關(guān)聯(lián)，證明如下：任取R，若，則，所以函數(shù)是關(guān)聯(lián)；函數(shù)不是關(guān)聯(lián)，證明如下：若，則，所以函數(shù)不是關(guān)聯(lián).（2）因是{3}關(guān)聯(lián)，則，有，即，當(dāng)時(shí)，，而，即，解得，于是得，當(dāng)時(shí)，，，不等式無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，，而，即，解得，則有