2025屆西安市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷附答案解析

屆西安市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷本卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.11一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)，則（）A.1 B. C. D.3.若的展開式中各項系數(shù)和為16，則其展開式中的常數(shù)項為（）A.54 B. C.108 D.4.已知，，，則（）A B. C. D.5.已知都是銳角，，則（）A. B. C. D.6.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列是正項數(shù)列，且，則（）A.216 B.260 C.290 D.3168.已知函數(shù)的圖像與直線有3個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.外接圓的半徑為B.若的平分線與交于，則的長為C.若為的中點，則的長為D.若為的外心，則10.在直三棱柱中，，，E、F分別是、中點，D在線段上，則下面說法中正確的有（）A平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點，若M是的中點，則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時，線段BD長為11.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，拋物線的焦點為F，過點的直線l交拋物線C于P，Q兩點（點P在點B，Q的之間），則（）A.直線與拋物線C相切 B.C.若P是線段的中點，則 D.存在直線l，使得三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12已知中，，，，則___________.13.甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10和4張3，乙手中有4張5和6張2，現(xiàn)從兩人手中各隨機(jī)抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點數(shù)之和的概率為____14.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某同學(xué)參加射擊比賽，每人配發(fā)顆子彈.射擊靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得分，擊中外環(huán)得分，脫靶得分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率為，擊中內(nèi)環(huán)的概率為，擊中外環(huán)的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨立.只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則結(jié)束比賽.（1）若已知該同學(xué)得分為分的情況下，求該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈的概率；（2）設(shè)該同學(xué)最終得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，是的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值．17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明不等式恒成立.18.如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形（為坐標(biāo)原點）的邊長為．（1）求的值；（2）求出an（3）設(shè)曲線在點處的切線斜率為，求證：．19.已知雙曲線離心率為，右頂點為.為雙曲線右支上兩點，且點在第一象限，以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）證明：直線恒過定點；（3）若直線與軸分別交于點，且為中點，求的值.2025屆西安市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷1.若集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用，知，求出的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的值，可得答案．【詳解】因為，所以，即或者，解之可得或或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。所以實數(shù)a的個數(shù)為2個.故選：B2.設(shè)，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計算可得.【詳解】因為，所以.

故選：C3.若的展開式中各項系數(shù)和為16，則其展開式中的常數(shù)項為（）A.54 B. C.108 D.【答案】A【解析】【分析】令，結(jié)合已知求出，再求出展開式的通項，令的指數(shù)等于零，即可得解.【詳解】令，可得，所以，則展開式通項為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】,，所以，，而，所以，故.故選：D5.已知都是銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合同角三角關(guān)系以及兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因為都是銳角，則，則，所以.故選：B6.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.7.已知數(shù)列是正項數(shù)列，且，則（）A.216 B.260 C.290 D.316【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時，，與已知式相減，得，檢驗首項即可得到數(shù)列通項公式，根據(jù)通項求和.【詳解】令，得，∴．當(dāng)時，．與已知式相減，得．∴，又時，滿足上式，∴．∴，∴．故選：A8.已知函數(shù)的圖像與直線有3個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作函數(shù)的大致圖像（實線），平移直線，數(shù)形結(jié)合得出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】如圖，作函數(shù)的大致圖像（實線），平移直線，由可得，，，故當(dāng)時，直線與曲線相切；當(dāng)時，直線經(jīng)過點，且與曲線有2個不同的交點；當(dāng)時，直線經(jīng)過點，且與的圖像有3個不同的交點．由圖分析可知，當(dāng)時，的圖像與直線有3個不同的交點．故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.外接圓的半徑為B.若的平分線與交于，則的長為C.若為的中點，則的長為D.若為的外心，則【答案】BD【解析】【分析】依題意由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得，再由正弦定理可得A錯誤；根據(jù)等面積法可得角平分線的長為，即B正確；由可求得，即C錯誤；利用外接圓以及投影向量的幾何意義可得D正確.【詳解】根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設(shè)，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對于選項A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯誤；對于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：易知的面積為，可得，即B正確；對于C，若為的中點，易知，如下圖所示：所以可得，可得，即C錯誤；對于D，延長交外接圓于點，連接；如下圖所示：易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．【點睛】方法點睛：在解三角形問題中遇到與角平分線或者中線相關(guān)的問題時，可根據(jù)題目信息采用等面積法求解角平分線長度，利用向量求解中線長度.10.在直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D在線段上，則下面說法中正確的有（）A.平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點，若M是的中點，則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時，線段BD長為【答案】ABD【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；求得直線與平面的法向量，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值可判斷B；利用向量法求得到平面的距離可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法求得的長可判斷D.【詳解】因為直三棱柱中，，所以兩兩互相垂直，于是以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為，分別是的中點，在線段上，所以，對于A：因為在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，又，則，又平面，平面，故A正確；對于B：為平面的一個法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，故B正確；對于C：若是的中點，若M是的中點，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，所以到平面的距離是，故C錯誤；對于D：設(shè)，則，設(shè)直線與直線所成角為，又，則，當(dāng)，即時，取最大值，此時直線與直線所成角最小，，，故D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：求線線角，線面角，面面角的最大值與最小值，關(guān)鍵是用變量把動點的坐標(biāo)或向量表示出來，進(jìn)而用變量去表示這些角的余弦與正弦值，從而求得取最值時的變量值，進(jìn)而解決有關(guān)問題.11.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，拋物線的焦點為F，過點的直線l交拋物線C于P，Q兩點（點P在點B，Q的之間），則（）A.直線與拋物線C相切 B.C.若P是線段的中點，則 D.存在直線l，使得【答案】AC【解析】【分析】先求拋物線的方程，然后用拋物線方程與直線的方程聯(lián)立方程組求出交點，可判斷A；用直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷B選項；結(jié)合中點坐標(biāo)利用焦半徑公式可判斷C；由得，進(jìn)而求的值，從而用來可判斷D選項.【詳解】因點在拋物線上，所以，解得，即拋物線方程為，焦點F0,1.對于A：直線的方程為，即，因為，解得，所以直線與拋物線C相切點，故A正確；對于B：設(shè)過點B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，不合題意；所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，由，得，則，即或，于是，又，所以，故B錯誤；對于C：由焦半徑公式可得，因為P是線段的中點，所以，整理得，即，故C正確；對于D：若，則，得所以，即，解得，此時，則直線l與拋物線相切，故D錯誤.故選：AC.【點睛】易錯點睛：在判斷D選項時，求出誤以為存在滿足題意的直線，事實上這時候直線與拋物線相切，故不存在滿足題意的直線.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知中，，，，則___________.【答案】【解析】【分析】利用相反向量將轉(zhuǎn)化為，然后由數(shù)量積定義可得.【詳解】因為，，，所以.故答案為：13.甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10和4張3，乙手中有4張5和6張2，現(xiàn)從兩人手中各隨機(jī)抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點數(shù)之和的概率為____【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析得甲只能被抽取兩張3，乙抽取的兩張牌要至少有一張5，再根據(jù)古典概型求概率公式求概率即可．詳解】解：一開始兩人手中牌的點數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點數(shù)之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點數(shù)之和應(yīng)更?。艏妆怀槿〉膬煞N牌中有點數(shù)為10的牌，則這兩張牌的點數(shù)之和肯定更大，不合題意．故甲只能被抽取兩張3，故其抽取的兩張牌的點數(shù)之和為6，而乙抽取的兩張牌點數(shù)之和要大于6，則至少有一張5，綜上．故答案為：．14.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】,或【解析】【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，利用奇偶性、單調(diào)性可得答案.【詳解】x∈R，，所以為奇函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以在x∈R上單調(diào)遞減，由得，可得，解得，或，所以不等式的解集為,或.故答案為：,或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某同學(xué)參加射擊比賽，每人配發(fā)顆子彈.射擊靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得分，擊中外環(huán)得分，脫靶得分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率為，擊中內(nèi)環(huán)的概率為，擊中外環(huán)的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨立.只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則結(jié)束比賽.（1）若已知該同學(xué)得分為分的情況下，求該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈的概率；（2）設(shè)該同學(xué)最終得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記事件：該同學(xué)得分為分，事件：該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈，利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得，，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果；（2）由題知可能取值為，利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，分別求出每個取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】記事件：該同學(xué)得分為分，事件：該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈，由題知，,所以.【小問2詳解】由題知可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為.16.如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，是的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，根據(jù)幾何體的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)得出，，利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）以中點為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸建系，利用向量法即可求出答案．【小問1詳解】證明：取的中點，連接，，，是的中點．，，，因為在底面的射影為的中點，所以面，又面面，所以面，又面，所以，因為，所以平面；【小問2詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸建系，則，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得，因為面，所以即為平面的一個法向量，則，所以二面角的平面角的余弦值為，正弦值為，故二面角的平面角的正切值．17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明不等式恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論的范圍結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在(0,+∞)上有唯一實數(shù)根，且，則可得，即得證.【詳解】（1），當(dāng)時，，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得到，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)，則，可知在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又由，知，在(0,+∞)上有唯一實數(shù)根，且，則，即.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，結(jié)合，知，所以，則，即不等式恒成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式恒成立的證明，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明的最小值大于0.18.如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形（為坐標(biāo)原點）的邊長為．（1）求的值；（2）求出an（3）設(shè)曲線在點處的切線斜率為，求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，用表示出點的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計算作答.（2）令為數(shù)列的前n項和，利用與表示出點的坐標(biāo)，代入曲線方程即可得與的關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出通項.（3）由（2）求出點的橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出