灰色預測模型及其應用

灰色預測模型及其應用灰色預測模型（GrayForecastModel）是通過少量的、不完全的信息，建立數學模型并做出預測的一種預測方法.當我們應用運籌學的思想方法解決實際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進行重大問題的決策時，都必須對未來進行科學的預測.預測是根據客觀事物的過去和現在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學的方法對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進行描述和分析，并形成科學的假設和判斷.灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測是對灰色系統(tǒng)所做的預測.目前常用的一些預測方法（如回歸分析等），需要較大的樣本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預測目標失效.灰色預測模型所需建模信息少，運算方便，建模精度高，在各種預測領域都有著廣泛的應用，是處理小樣本預測問題的有效工具.7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點7.2灰色系統(tǒng)的模型7.3銷售額預測7.4城市道路交通事故次數的灰色預測7.5城市火災發(fā)生次數的灰色預測7.6災變與異常值預測7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點

灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國內外學者的關注，得到了長足的發(fā)展。目前，在我國已經成為社會、經濟、科學技術在等諸多領域進行預測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數據少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛的應用.在這里我們將簡要地介紹灰色建模與預測的方法，更進一步的內容可參考文獻[23],[24],[25]。

1.灰色系統(tǒng)的定義

灰色系統(tǒng)是黑箱概念的一種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).作為兩個極端，我們將稱信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)；稱信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng).區(qū)別白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)的重要標志是系統(tǒng)各因素之間是否具有確定的關系。2.灰色系統(tǒng)的特點（1）用灰色數學處理不確定量，使之量化.（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律.（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng).常用的灰色預測有五種：（1）數列預測，即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。（2）災變與異常值預測，即通過灰色模型預測異常值出現的時刻，預測異常值什么時候出現在特定時區(qū)內。（3）季節(jié)災變與異常值預測，即通過灰色模型預測災變值發(fā)生在一年內某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災變預測。（4）拓撲預測，將原始數據作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構成時點數列，然后建立模型預測該定值所發(fā)生的時點。（5）系統(tǒng)預測.通過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互關聯的灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調關系的變化。7.2灰色系統(tǒng)的模型7.2灰色系統(tǒng)的模型通過下面的數據分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數據序列后，如何建立一個基于模型的灰色預測。

1.數據的預處理首先我們從一個簡單例子來考察問題.【例7.1】設原始數據序列7.2灰色系統(tǒng)的模型對數據累加于是得到一個新數據序列7.2灰色系統(tǒng)的模型

歸納上面的式子可寫為

將上述例子中的分別做成圖7.1、圖7.2.設想用一條指數曲線乃至一條直線來逼近累加生成數列

7.2灰色系統(tǒng)的模型圖7.2為了把累加數據列還原為原始數列，需進行后減運算或稱相減生成，它是指后前兩個數據之差，如上例中7.2灰色系統(tǒng)的模型歸納上面的式子得到如下結果：一次后減其中7.2灰色系統(tǒng)的模型2.建模原理給定觀測數據列經一次累加得設滿足一階常微分方程（7.1）（7.2）（7.3）7.2灰色系統(tǒng)的模型

的解為(7.3)’對等間隔取樣的離散值(注意到）則為(7.4)灰色建模的途徑是一次累加序列（7.2）通過最小二乘法來估計常數a與u.7.2灰色系統(tǒng)的模型因留作初值用，故將用差分代替微分，又因等間隔取樣，

分別代入方程(7.3),故得類似地有于是，由式（7.3）有

7.2灰色系統(tǒng)的模型由于涉及到累加列的兩個時刻的值，因此，取前后兩個時刻的平均代替更為合理，即將替換為把項移到右邊，并寫成向量的數量積形式(7.5)7.2灰色系統(tǒng)的模型將（7.5）寫為矩陣表達式令(7.6)7.2灰色系統(tǒng)的模型則(7.6)式的矩陣形式為方程組(7.6)’的最小二乘估計為

(7.6)’(7.7)7.2灰色系統(tǒng)的模型把估計值代入（7.4）式得時間響應方程由(7.8)式算得的

是擬合值；

的擬合值，用后減運算還原，就可得原始序列的擬合值可得原始序列預報值.(7.8)7.2灰色系統(tǒng)的模型(1)殘差檢驗：分別計算7.2灰色系統(tǒng)的模型（3）預測精度等級對照表，見表7.1.

7.2灰色系統(tǒng)的模型由于模型是基于一階常微分方程（7.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時先要作一次累加，因此要求原始數據均為非負數.否則，累加時會正負抵消，達不到使數據序列隨時間遞增的目的.如果實際問題的原始數據列出現負數，可對原始數據列進行“數據整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應用GM(1,1)模型于實際問題預測時，不必求解一階常微分方程（7.3）.7.2灰色系統(tǒng)的模型4.GM(1,1)的建模步驟綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：7.3銷售額預測7.3銷售額預測

隨著生產的發(fā)展、消費的擴大，市場需求通?？偸窃黾拥?，一個商店、一個地區(qū)的銷售額常常呈增長趨勢.因此，這些數據符合建立灰色預測模型的要求。

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。7.3銷售額預測

表7.2逐年銷售額（百萬元）

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。7.3銷售額預測

解（1）由原始數據列計算一次累加序列，結果見表7.3.

表7.3一次累加數據7.3銷售額預測（2）建立矩陣：7.3銷售額預測7.3銷售額預測7.3銷售額預測7.3銷售額預測7.3銷售額預測附錄B（1）調用GM預測軟件.見圖7.3.7.3銷售額預測（2）在“文件”菜單中打開“新建問題”，見到數據輸入界面.見圖7.4.

7.3銷售額預測（3）輸入題目名稱及元素個數后，點擊“下一步”鍵，得到原始數據序列的輸入表格.見圖7.5.

7.3銷售額預測（4）點擊“運行”鍵，輸出分析數據如下：題目:123預測結果如下：[2]時間響應方程：[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)0.04596109(3)-0.01754976(4)-0.09170440(5)0.06532115[4]第一次累加值:(1)2.874000(2)6.152000(3)9.489000(4)12.879000(5)16.558000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)0.01402108

7.3銷售額預測[6]原數據均值avg(x)：3.31160000(3)3.35454976(4)3.48170440(5)3.61367885(6)4.51747233預測精度等級：好！

7.4城市道路交通事故次數的灰色預測7.4城市道路交通事故次數的灰色預測灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價值的信息,構造生成序列的手段來尋求現實現象中存在的規(guī)律。交通事故作為一個隨機事件,其本身具有相當大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確定因素(灰色系統(tǒng)稱為白色信息),如道路狀況、信號標志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。因此可以認為一個地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進行研究。7.4城市道路交通事故次數的灰色預測【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數統(tǒng)計見表7.5.試建立灰色預測模型.表7.5交通事故次數統(tǒng)計解利用GM預測軟件計算，輸出分析數據如下：原始數列(元素共6個):83，95，130，141，156，185預測結果如下：7.4城市道路交通事故次數的灰色預測[2]時間響應方程：[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.71441263(3)10.22065739(4)2.66733676(5)-3.75981586(6)0.49405494[4]第一次累加值:(1)83.000000(2)178.000000(3)308.000000(4)449.00000(5)605.000000(6)790.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.002670577.4城市道路交通事故次數的灰色預測[12]模型計算值X^(k)：(1)83.00000000(2)103.71441263(3)119.77934261(4)138.33266324(5)159.75981586(6)184.50594506[13]預測的結果X*(k)：(1)213.08514646(2)246.09114698(3)284.20963932(4)328.23252716(5)379.07437672(6)437.79141674(7)505.60348139預測精度等級：好！這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數將上升至213次.7.5城市火災發(fā)生次數的灰色預測7.5城市火災發(fā)生次數的灰色預測

【例7.4】某市2001—2005年火災的統(tǒng)計數據見表7.7.試建立模型，并對該市2006年的火災發(fā)生狀況做出預測。

表7.7某市2001－2005年火災數據7.5城市火災發(fā)生次數的灰色預測解利用GM預測軟件計算，輸出分析數據如下：原始數列(元素共5個):87，97，120，166，161預測結果如下：[2]時間響應方程：[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921

7.5城市火災發(fā)生次數的灰色預測[4]第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.06560050[12]模型計算值X^(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.56168104[13]預測的結果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669預測精度等級：合格！結果表明：如果該市不采取更有效的防火措施，2006年的火災事故次數約為203次.7.6災變與異常值預測7.6災變與異常值預測灰色災變與異常值預測指運用灰色動態(tài)模型，對系統(tǒng)變化過程中某個異常數值在未來什么時間還會出現進行的預測.由于這個異常值的出現經