112雙曲線及其性質(zhì)

考點11圓錐曲線11.2雙曲線及其性質(zhì)1．（2022·全國高三）設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.2．（2021·吉林長春市·高三（理））若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】由，可得可解的，故雙曲線的漸近線方程為，故選：A.3．（2021·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（理））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，它們的離心率分別為，是它們的一個公共點，且.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓和雙曲線的定義把，用長半軸長和實半軸長表示，再用余弦定理求得與的關(guān)系，從而得的等式，結(jié)合已知可求得．【詳解】設(shè)，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦點為，不妨設(shè)在第一象限，則，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故選：B．4．（2021·全國）設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別是，，過作漸近線的垂線，垂足為．若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由雙曲線性質(zhì)知，，，由得，，代入求得a，b，c的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】由雙曲線性質(zhì)知，，，由得，，解得，，所以雙曲線的離心率，故選：D．5．（2021·全國高三（理））將雙曲線x2﹣y2＝2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線y，據(jù)此類推可求得雙曲線y的焦距為（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】D【分析】雙曲線的圖象與雙曲線的圖象全等，它們的焦距相同，又根據(jù)題意得：將雙曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后可得到雙曲線，故只須求出雙曲線的焦距即可．【詳解】解：雙曲線y的圖象可由y進行形狀不變的變換而得，∴雙曲線y的圖象與雙曲線y的圖象全等，它們的焦距相同，根據(jù)題意：“將雙曲線x2﹣y2＝2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線y”類比可得：將雙曲線x2﹣y2＝6繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線y，而雙曲線x2﹣y2＝6的a＝b，c＝2，∴焦距為2c＝4．故選：D．6．（2020·北京高三）設(shè)，為雙曲線：的兩個焦點，若雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分得到求解.【詳解】因為雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分點，所以，則，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的方程為，故選：A．7．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）已知?分別是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，直線與該雙曲線的左支交于點，且恰好為線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件導(dǎo)出，再利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理計算作答.【詳解】依題意，令，則有，令，由雙曲線定義得，而點P是QF1中點且在雙曲線左支上，則，在中，，即，解得，則，，在中，，即，，于是得，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C8．（2022·浙江高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點作傾斜角為θ的直線交雙曲線的右支于、兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得出，，在中，利用余弦定理可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得該雙曲線的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，則，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故選：D.9．（2021·安徽（文））已知雙曲線：的左、右焦點分別為、，、分別為雙曲線的左、右頂點，過作直線，在直線上存在點，使得，則雙曲線的離心率的最大值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由關(guān)于的方程有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用得的范圍，在此范圍內(nèi)取最大值時，求方程的解，滿足題意即可得．【詳解】由已知，，，整理得，令，則（*），由題意此方程有正數(shù)解．首先，，解得，，當(dāng)時，方程（*）化為，，滿足題意．所以的最大值為．故選：D．10．（2021·云南曲靖·（文））已知雙曲線的右焦點為，直線?是雙曲線的兩漸近線，，是垂足.點在雙曲線上，經(jīng)過分別與?平行的直線與?相交于?兩點，是坐標原點，的面積為，四邊形的面積為.則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線方程求出兩條漸近線方程，設(shè)，得出兩條與漸近線平行的直線方程，聯(lián)立直線方程求出A、B的坐標，可得與的值，即可求出四邊形OAMB的面積，再求出的面積即可.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)，則，設(shè)，所以過M與平行的直線方程為：，過M與平行的直線方程為：；所以，解得，同理，解得，所以，，得；又，為等腰三角形，所以，所以，所以.故選：A11．（2021·四川成都·高三（文））已知雙曲線的一個焦點到其中一條漸近線的距離為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，可得，進而可得結(jié)果.【詳解】因為一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，設(shè)焦點為，漸近線為所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12．（2021·四川眉山市·仁壽一中高三開學(xué)考試（理））若雙曲線的離心率為，則（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先將雙曲線化為標準式，即可表示出，，再根據(jù)及離心率為得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，所以，即，，所以，因為離心率為，即，解得故選：D13．（2021·湖南益陽市箴言中學(xué)高三）已知雙曲線，為坐標原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，.若，且在，之間，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點坐標，利用面積比得是線段的中點，設(shè)，則可得點坐標，由在另一漸近線上求得值，從而可得線段長．【詳解】解：雙曲線中，，所以，設(shè)，因為，所以點為線段的中點，則．又點在直線，則，解得，所以，此時，．故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，焦點坐標等等．解題關(guān)鍵是由面積比得出點為線段的中點，這樣設(shè)出一個點的坐標，由另一點在另一漸近線上，求得（或）坐標，從而易得線段長．14．（2022·全國（理））在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點代入雙曲線方程求出的值，從而根據(jù)雙曲線的漸近線方程公式求出答案.【詳解】因為雙曲線經(jīng)過點，所以代入得，解得，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.15．（2021·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中高三開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線上的點到點的最小距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知條件求得、的值，可得出的值，求得雙曲線的標準方程，然后利用兩點間的距離公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得雙曲線上的點到點的最小距離.【詳解】由已知可得，，可得，，，所以，雙曲線的方程為，設(shè)是雙曲線上的點，則，且或，則，所以當(dāng)時，.故選：B.16．（2021·福建高三）已知雙曲線，為坐標原點，為的左焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若，且在，之間，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點坐標，利用面積比得是線段的中點，設(shè)，則可得點坐標，由在另一漸近線上求得值，從而可得線段長．【詳解】解：雙曲線中，以，所以，設(shè)，因為，所以點為線段的中點，則．又點在直線，則，解得，所以，此時，．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，焦點坐標等等．解題關(guān)鍵是由面積比得出點為線段的中點，這樣設(shè)出一個點的坐標，由另一點在另一漸近線上，求得（或）坐標，從而易得線段長．17．（2021·陜西西安·高新一中（文））已知雙曲線：(，)的一條漸近線被圓截得的線段長不小于8，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得，的關(guān)系，即可得到所求的離心率．【詳解】雙曲線的一條漸近線方程設(shè)為，由題得圓的圓心為，半徑，可得圓心到漸近線的距離為，則由題意可知，解得：所以雙曲線的離心率，即故選：D．【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．18．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點，則的平分線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先依題意判斷，設(shè)的平分線交x軸于M，設(shè)，計算，求得，即得角平分線所在直線的斜率，再根據(jù)點斜式寫直線方程即可.【詳解】如圖，依題意知，，而點在雙曲線上，故，，.設(shè)的平分線交x軸于M，設(shè)，則，有，即，，化簡解得，故的平分線所在直線的斜率，所以的平分線的方程為，即.故選：A.19．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））已知橢圓和雙曲線有公共焦點，，和在第一象限的交點為，且雙曲線的虛軸長為實軸長的倍，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，橢圓長半軸長為，由雙曲線定義和橢圓定義可求得關(guān)系，從而得離心率．【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，橢圓長半軸長為，設(shè)，則，，又，所以，，由余弦定理得，即，，，所以，，所以橢圓離心率為．故選：B．20．（2021·全國高三（理））已知直線被中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線所截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，則該雙曲線的標準方程為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先判斷焦點位置，再利用當(dāng)時，，當(dāng)時，，即解方程組求解【詳解】由直線被雙曲線截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，可得雙曲線的焦點在軸上，不妨設(shè)雙曲線方程為，直線被雙曲線截得的線段長為6，所以當(dāng)時，，①由雙曲線的漸近線方程為，直線被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，所以對于，當(dāng)時，，即，②由①②解得，故雙曲線方程為，故選：．21．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，AF2，BF2分別交y軸于P，Q兩點，若△PQF2的周長為4，則的取值范圍為__．【答案】.

【分析】依題意結(jié)合雙曲線定義得，進而可得，換元之后由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），令x＝﹣c，可得y＝＝±，則|AB|＝，因為PQ為△ABF2的中位線，且△PQF2的周長為4，所以△ABF2的周長為8，即|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，由雙曲線的定義可得|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，兩式相減可得，所以＝8﹣4a，即，所以＝＝，由可知，設(shè)2﹣a＝t（0＜t＜2），設(shè)，則在（0，2）遞減，所以.故的取值范圍為．故答案為：．22．（2020·陜西高三（理））已知雙曲線的右焦點為F，以（O為原點）為直徑的圓與雙曲線E的兩條漸近線分別交于點M，N（M，N異于點O）．若，則雙曲線E的離心率為___________．【答案】【分析】利用圓的對稱性，求出，即可求出漸近線的斜率，轉(zhuǎn)化為離心率即可.【詳解】因為為直徑，點在圓上，所以，且，即,那么，漸近線的斜率為，所以離心率為.故答案為：23．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線E：＝1（m，n＞0）的焦距為4，則m+n＝___.【答案】4【分析】根據(jù)焦距為4，可求得半焦距c，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意得，解得，且，因此所以，即，故答案為：424．（2021·重慶市第七中學(xué)校高三）已知、分別是雙曲線的左右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為_____________．【答案】【分析】延長交于點，利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系，然后利用求得結(jié)果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，．故答案為：.25．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，斜率大于0的直線經(jīng)過點與的右支交于，兩點，若與的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線的斜率為______．【答案】【分析】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點，，，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得．設(shè)直線的傾斜角為，在中，，在中，，由題得得，再由二倍角公式可得答案．【詳解】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，連接，，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點，，，如圖，則，所以，即，同理，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，由題得，所以，解得，所以．故答案為：﹒26．（2021·江蘇）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點的直線交該雙曲線的右支于，兩點（點位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，且滿足，則直線的斜率___________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求出，即可得到直線的斜率【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由引可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以與直線的傾斜角相等，因為，不妨設(shè),則,在中，，所以所以直線的斜率為，故答案為：【點睛】此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將直線的傾斜角轉(zhuǎn)化為進行求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于中檔題

27．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，（為坐標原點）．若直線與的左支有交點，則的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】設(shè)位于第四象限，可知，設(shè)，由和在雙曲線上可構(gòu)造方程組求得點坐標，由此表示出，由化簡可得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知其漸近線方程為：；不妨設(shè)位于第四象限，則若直線與的左支有交點，則；設(shè)，由得：，又，，，，，即，，整理可得：，即，，，即的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.28．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三（理））已知，是雙曲線的左?右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則雙曲線的離心率為___________.【答案】2【分析】由雙曲線的定義知，，再根據(jù)得，進而根據(jù)相似關(guān)系得，，，再結(jié)合雙曲線的定義得，故，進而得答案.【詳解】由雙曲線的性質(zhì)，可知，.因為，所以，.又，且，所以，所以，所以，.因為，所以.又，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線常考題型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.29．（2021·南京師范大學(xué)附屬揚子中學(xué)）設(shè)O為坐標原點，直線x=a與雙曲線的兩條漸近線分別交于D，E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為___________.【答案】【分析】寫出雙曲線C的漸近線方程，求出D，E坐標，由三角形面積建立a，b的關(guān)系，借助均值不等式即可作答.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，不妨令點D為在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，，所以的面積，于是，雙曲線的焦距，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的焦距的最小值為故答案為：830．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線：的左?右焦點分別為,，點，分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，當(dāng)取得最小值時，面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；然后再判斷出當(dāng)，，三點共線且垂直于漸近線時，取得最小值.【詳解】由題意知，，，不妨取其中一條浙近線，由雙曲線定義知，所以，所以，所以當(dāng)，，三點共線且垂直于漸近線時，取得最小值，此時，直線方程為，由，得，故點，.故答案為：.31．（2021·全國高三（理））已知雙曲線的左?右焦點為，點是圓上且在軸上方的任一點，若的面積為則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意利用點縱坐標表示出的面積，根據(jù)條件可得滿足的不等式關(guān)系結(jié)合的取值范圍求解出離心率的取值范圍.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以且，所以，故答案為：.32．（2021·全國高二課時練習(xí)）過雙曲線的右焦點F引一條漸近線的垂線，垂足為點A?在第二象限交另一條漸近線于點B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________．【答案】【分析】由垂線與另一條漸近線交于第二象限，所以1，所以；由已知可求得、，從而根據(jù)即可建立關(guān)于的方程，又，即可建立離心率的不等關(guān)系，從而可解.【詳解】解：因為垂線與另一條漸近線交于第二象限，所以，所以1，所以．在直角中，，所以，即，聯(lián)立，得，因為，所以，故，因為，所以，解得綜上，可得

故答案為：33．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線C與雙曲線有共同的漸進線，則雙曲線C的離心率是________.【答案】或.【分析】根據(jù)題意得到雙曲線的漸進線方程，從而得到雙曲線C的漸近線方程，討論雙曲線C的焦點位置，從而應(yīng)用離心率公式可求得答案.【詳解】易知雙曲線的漸進線方程為，所以若雙曲線C的焦點在軸上，則，所以離心率為；若雙曲線C的焦點在軸上，則，所以離心率為.故答案為或.34．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，P為雙曲線右支上異于右頂點的一點，若的平分線垂直于x軸，則雙曲線C的離心率的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)的平分線垂直于x軸得到，由此求得也即雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】由題意可知，為等腰三角形，.設(shè)的平分線與x軸交于點H，則點H為線段的中點，所以.因為P為雙曲線C右支上異于右頂點的點，所以，即，故雙曲線C的離心率e的取值范圍是.故答案為：.35．（2021·重慶高三）已知雙曲線的右焦點為F，焦距為4，雙曲線C的一條漸近線將以F為圓心，OF為半徑的圓的圓周分成兩段長度之比為的弧，其中為坐標原點，則雙曲線C的離心率是___________.【答案】【分析】畫出圖形，結(jié)合題意計算圓心到直線的距離，即可計算出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交、兩點，因為漸近線將圓周分為兩份，所以，設(shè)點為過點向漸近線作垂線的垂足，則漸近線為，且點為雙曲線的焦點，，則焦點到漸近線的距離，，為等腰三角形，也是的角平分線，，則，故，又因為雙曲線焦距為，即，，故，，則離心率.故答案為：36．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））過作與雙曲線（，的兩條漸近線平行的直線，分別交兩漸近線于、兩點，若四點共圓（為坐標原點），則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】聯(lián)立直線、與直線，求出點的坐標，聯(lián)立直線、與直線，求出點的坐標，觀察坐標可知，四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點處，再結(jié)合的數(shù)量積為0，即可求解．【詳解】解：由題意可得，∵直線、都平行于漸近線，∴可設(shè)直線的方程為，直線的方程為，∴過點平行與的直線的方程為，過點平行與的直線的方程為，分別聯(lián)立方程，，解得，，即線段與互相垂直平分，則四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點處，∴，則即，∵，，∴雙曲線的離心率，故答案為：．37．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使，且，則__