112雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

考點(diǎn)11圓錐曲線(xiàn)11.2雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)1．（2022·全國(guó)高三）設(shè)雙曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出的值，由雙曲線(xiàn)的定義可得，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線(xiàn)：可得，，所以，所以，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，所以，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，即的最小值為，故選：C.2．（2021·吉林長(zhǎng)春市·高三（理））若雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】由，可得可解的，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：A.3．（2021·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（理））已知橢圓和雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓和雙曲線(xiàn)的定義把，用長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和實(shí)半軸長(zhǎng)表示，再用余弦定理求得與的關(guān)系，從而得的等式，結(jié)合已知可求得．【詳解】設(shè)，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，不妨設(shè)在第一象限，則，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故選：B．4．（2021·全國(guó)）設(shè)雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．若的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由雙曲線(xiàn)性質(zhì)知，，，由得，，代入求得a，b，c的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】由雙曲線(xiàn)性質(zhì)知，，，由得，，解得，，所以雙曲線(xiàn)的離心率，故選：D．5．（2021·全國(guó)高三（理））將雙曲線(xiàn)x2﹣y2＝2繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線(xiàn)y，據(jù)此類(lèi)推可求得雙曲線(xiàn)y的焦距為（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】D【分析】雙曲線(xiàn)的圖象與雙曲線(xiàn)的圖象全等，它們的焦距相同，又根據(jù)題意得：將雙曲線(xiàn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后可得到雙曲線(xiàn)，故只須求出雙曲線(xiàn)的焦距即可．【詳解】解：雙曲線(xiàn)y的圖象可由y進(jìn)行形狀不變的變換而得，∴雙曲線(xiàn)y的圖象與雙曲線(xiàn)y的圖象全等，它們的焦距相同，根據(jù)題意：“將雙曲線(xiàn)x2﹣y2＝2繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線(xiàn)y”類(lèi)比可得：將雙曲線(xiàn)x2﹣y2＝6繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線(xiàn)y，而雙曲線(xiàn)x2﹣y2＝6的a＝b，c＝2，∴焦距為2c＝4．故選：D．6．（2020·北京高三）設(shè)，為雙曲線(xiàn)：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線(xiàn)段三等分，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線(xiàn)段三等分得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線(xiàn)段三等分點(diǎn)，所以，則，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為，故選：A．7．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）已知?分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)滿(mǎn)足，直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的左支交于點(diǎn)，且恰好為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件導(dǎo)出，再利用雙曲線(xiàn)定義結(jié)合勾股定理計(jì)算作答.【詳解】依題意，令，則有，令，由雙曲線(xiàn)定義得，而點(diǎn)P是QF1中點(diǎn)且在雙曲線(xiàn)左支上，則，在中，，即，解得，則，，在中，，即，，于是得，，所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為.故選：C8．（2022·浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為θ的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且．若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得出，，在中，利用余弦定理可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得該雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，則，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故選：D.9．（2021·安徽（文））已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為、，、分別為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)，在直線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線(xiàn)的離心率的最大值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用得的范圍，在此范圍內(nèi)取最大值時(shí)，求方程的解，滿(mǎn)足題意即可得．【詳解】由已知，，，整理得，令，則（*），由題意此方程有正數(shù)解．首先，，解得，，當(dāng)時(shí)，方程（*）化為，，滿(mǎn)足題意．所以的最大值為．故選：D．10．（2021·云南曲靖·（文））已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)?是雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)，，是垂足.點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，經(jīng)過(guò)分別與?平行的直線(xiàn)與?相交于?兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，四邊形的面積為.則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線(xiàn)方程求出兩條漸近線(xiàn)方程，設(shè)，得出兩條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程求出A、B的坐標(biāo)，可得與的值，即可求出四邊形OAMB的面積，再求出的面積即可.【詳解】由題意知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)，則，設(shè)，所以過(guò)M與平行的直線(xiàn)方程為：，過(guò)M與平行的直線(xiàn)方程為：；所以，解得，同理，解得，所以，，得；又，為等腰三角形，所以，所以，所以.故選：A11．（2021·四川成都·高三（文））已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線(xiàn)的距離為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的，設(shè)焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)為所以，即，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：A.12．（2021·四川眉山市·仁壽一中高三開(kāi)學(xué)考試（理））若雙曲線(xiàn)的離心率為，則（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先將雙曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可表示出，，再根據(jù)及離心率為得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，，所以，因?yàn)殡x心率為，即，解得故選：D13．（2021·湖南益陽(yáng)市箴言中學(xué)高三）已知雙曲線(xiàn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，.若，且在，之間，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積比得是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)，則可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在另一漸近線(xiàn)上求得值，從而可得線(xiàn)段長(zhǎng)．【詳解】解：雙曲線(xiàn)中，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則．又點(diǎn)在直線(xiàn)，則，解得，所以，此時(shí)，．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，漸近線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)等等．解題關(guān)鍵是由面積比得出點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，這樣設(shè)出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由另一點(diǎn)在另一漸近線(xiàn)上，求得（或）坐標(biāo)，從而易得線(xiàn)段長(zhǎng)．14．（2022·全國(guó)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)方程求出的值，從而根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程公式求出答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以代入得，解得，即，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：A.15．（2021·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，則雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知條件求得、的值，可得出的值，求得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離.【詳解】由已知可得，，可得，，，所以，雙曲線(xiàn)的方程為，設(shè)是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則，且或，則，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.16．（2021·福建高三）已知雙曲線(xiàn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，．若，且在，之間，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積比得是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)，則可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在另一漸近線(xiàn)上求得值，從而可得線(xiàn)段長(zhǎng)．【詳解】解：雙曲線(xiàn)中，以，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則．又點(diǎn)在直線(xiàn)，則，解得，所以，此時(shí)，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，漸近線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)等等．解題關(guān)鍵是由面積比得出點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，這樣設(shè)出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由另一點(diǎn)在另一漸近線(xiàn)上，求得（或）坐標(biāo)，從而易得線(xiàn)段長(zhǎng)．17．（2021·陜西西安·高新一中（文））已知雙曲線(xiàn)：(，)的一條漸近線(xiàn)被圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)不小于8，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得，的關(guān)系，即可得到所求的離心率．【詳解】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程設(shè)為，由題得圓的圓心為，半徑，可得圓心到漸近線(xiàn)的距離為，則由題意可知，解得：所以雙曲線(xiàn)的離心率，即故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，求解離心率在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求解．18．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，則的平分線(xiàn)的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先依題意判斷，設(shè)的平分線(xiàn)交x軸于M，設(shè)，計(jì)算，求得，即得角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)直線(xiàn)方程即可.【詳解】如圖，依題意知，，而點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故，，.設(shè)的平分線(xiàn)交x軸于M，設(shè)，則，有，即，，化簡(jiǎn)解得，故的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率，所以的平分線(xiàn)的方程為，即.故選：A.19．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知橢圓和雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，，和在第一象限的交點(diǎn)為，且雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由雙曲線(xiàn)定義和橢圓定義可求得關(guān)系，從而得離心率．【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，設(shè)，則，，又，所以，，由余弦定理得，即，，，所以，，所以橢圓離心率為．故選：B．20．（2021·全國(guó)高三（理））已知直線(xiàn)被中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為6，被該雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先判斷焦點(diǎn)位置，再利用當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即解方程組求解【詳解】由直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為6，被該雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為6，所以當(dāng)時(shí)，，①由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，直線(xiàn)被該雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，所以對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，②由①②解得，故雙曲線(xiàn)方程為，故選：．21．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的左支交于A，B兩點(diǎn)，AF2，BF2分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF2的周長(zhǎng)為4，則的取值范圍為_(kāi)_．【答案】.

【分析】依題意結(jié)合雙曲線(xiàn)定義得，進(jìn)而可得，換元之后由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），令x＝﹣c，可得y＝＝±，則|AB|＝，因?yàn)镻Q為△ABF2的中位線(xiàn)，且△PQF2的周長(zhǎng)為4，所以△ABF2的周長(zhǎng)為8，即|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，由雙曲線(xiàn)的定義可得|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，兩式相減可得，所以＝8﹣4a，即，所以＝＝，由可知，設(shè)2﹣a＝t（0＜t＜2），設(shè)，則在（0，2）遞減，所以.故的取值范圍為．故答案為：．22．（2020·陜西高三（理））已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以（O為原點(diǎn)）為直徑的圓與雙曲線(xiàn)E的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)M，N（M，N異于點(diǎn)O）．若，則雙曲線(xiàn)E的離心率為_(kāi)__________．【答案】【分析】利用圓的對(duì)稱(chēng)性，求出，即可求出漸近線(xiàn)的斜率，轉(zhuǎn)化為離心率即可.【詳解】因?yàn)闉橹睆剑c(diǎn)在圓上，所以，且，即,那么，漸近線(xiàn)的斜率為，所以離心率為.故答案為：23．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)E：＝1（m，n＞0）的焦距為4，則m+n＝___.【答案】4【分析】根據(jù)焦距為4，可求得半焦距c，根據(jù)雙曲線(xiàn)中a，b，c的關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意得，解得，且，因此所以，即，故答案為：424．（2021·重慶市第七中學(xué)校高三）已知、分別是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)作的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)____________．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用角平分線(xiàn)結(jié)合中位線(xiàn)和雙曲線(xiàn)定義求得的關(guān)系，然后利用求得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的平分線(xiàn)，，，又是中點(diǎn)，所以，且，又，，，．故答案為：.25．（2021·江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率大于0的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的右支交于，兩點(diǎn)，若與的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線(xiàn)的斜率為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，，，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得．設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，在中，，在中，，由題得得，再由二倍角公式可得答案．【詳解】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，連接，，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，，，如圖，則，所以，即，同理，所以，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，在中，，在中，，由題得，所以，解得，所以．故答案為：﹒26．（2021·江蘇）已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)的右支于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，且滿(mǎn)足，則直線(xiàn)的斜率___________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用雙曲線(xiàn)的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線(xiàn)的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求出，即可得到直線(xiàn)的斜率【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點(diǎn)分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線(xiàn)的定義可得，得，由引可知，在中，軸于點(diǎn)，同理可得軸于點(diǎn)，所以軸，過(guò)圓心作的垂線(xiàn)，垂足為，因?yàn)椋耘c直線(xiàn)的傾斜角相等，因?yàn)椋环猎O(shè),則,在中，，所以所以直線(xiàn)的斜率為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將直線(xiàn)的傾斜角轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

27．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若直線(xiàn)與的左支有交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)位于第四象限，可知，設(shè)，由和在雙曲線(xiàn)上可構(gòu)造方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此表示出，由化簡(jiǎn)可得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程知其漸近線(xiàn)方程為：；不妨設(shè)位于第四象限，則若直線(xiàn)與的左支有交點(diǎn)，則；設(shè)，由得：，又，，，，，即，，整理可得：，即，，，即的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線(xiàn)離心率或離心率取值范圍問(wèn)題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.28．（2021·正陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)高三（理））已知，是雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于，兩點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________.【答案】2【分析】由雙曲線(xiàn)的定義知，，再根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)相似關(guān)系得，，，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得，故，進(jìn)而得答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，可知，.因?yàn)?，所以?又，且，所以，所以，所以，.因?yàn)椋?又，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線(xiàn)?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.29．（2021·南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】寫(xiě)出雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程，求出D，E坐標(biāo)，由三角形面積建立a，b的關(guān)系，借助均值不等式即可作答.【詳解】雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，不妨令點(diǎn)D為在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，，所以的面積，于是，雙曲線(xiàn)的焦距，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的焦距的最小值為故答案為：830．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)：的左?右焦點(diǎn)分別為,，點(diǎn)，分別為漸近線(xiàn)和雙曲線(xiàn)左支上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；然后再判斷出當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)且垂直于漸近線(xiàn)時(shí)，取得最小值.【詳解】由題意知，，，不妨取其中一條浙近線(xiàn)，由雙曲線(xiàn)定義知，所以，所以，所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)且垂直于漸近線(xiàn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，直線(xiàn)方程為，由，得，故點(diǎn)，.故答案為：.31．（2021·全國(guó)高三（理））已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是圓上且在軸上方的任一點(diǎn)，若的面積為則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意利用點(diǎn)縱坐標(biāo)表示出的面積，根據(jù)條件可得滿(mǎn)足的不等式關(guān)系結(jié)合的取值范圍求解出離心率的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以且，所以，故答案為?32．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F引一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)A?在第二象限交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)B，且，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是___________．【答案】【分析】由垂線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)交于第二象限，所以1，所以；由已知可求得、，從而根據(jù)即可建立關(guān)于的方程，又，即可建立離心率的不等關(guān)系，從而可解.【詳解】解：因?yàn)榇咕€(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)交于第二象限，所以，所以1，所以．在直角中，，所以，即，聯(lián)立，得，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，解得綜上，可得

故答案為：33．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C與雙曲線(xiàn)有共同的漸進(jìn)線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率是________.【答案】或.【分析】根據(jù)題意得到雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)方程，從而得到雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程，討論雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)位置，從而應(yīng)用離心率公式可求得答案.【詳解】易知雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)方程為，所以若雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，則，所以離心率為；若雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，則，所以離心率為.故答案為或.34．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)右支上異于右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，若的平分線(xiàn)垂直于x軸，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)的平分線(xiàn)垂直于x軸得到，由此求得也即雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.【詳解】由題意可知，為等腰三角形，.設(shè)的平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镻為雙曲線(xiàn)C右支上異于右頂點(diǎn)的點(diǎn)，所以，即，故雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍是.故答案為：.35．（2021·重慶高三）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，焦距為4，雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)將以F為圓心，OF為半徑的圓的圓周分成兩段長(zhǎng)度之比為的弧，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率是___________.【答案】【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合題意計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離，即可計(jì)算出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與圓交、兩點(diǎn)，因?yàn)闈u近線(xiàn)將圓周分為兩份，所以，設(shè)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)向漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)的垂足，則漸近線(xiàn)為，且點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，，則焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，，為等腰三角形，也是的角平分線(xiàn)，，則，故，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)焦距為，即，，故，，則離心率.故答案為：36．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））過(guò)作與雙曲線(xiàn)（，的兩條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，分別交兩漸近線(xiàn)于、兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．【答案】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)、與直線(xiàn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)、與直線(xiàn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)可知，四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點(diǎn)處，再結(jié)合的數(shù)量積為0，即可求解．【詳解】解：由題意可得，∵直線(xiàn)、都平行于漸近線(xiàn)，∴可設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，∴過(guò)點(diǎn)平行與的直線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)平行與的直線(xiàn)的方程為，分別聯(lián)立方程，，解得，，即線(xiàn)段與互相垂直平分，則四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點(diǎn)處，∴，則即，∵，，∴雙曲線(xiàn)的離心率，故答案為：．37．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文））設(shè)，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，使，且，則__