151152隨機事件和樣本空間隨機事件的概率（原卷版）

15.1&15.2隨機事件和樣本空間隨機事件的概率【考點梳理】考點一隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.考點二樣本空間我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點，如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.考點三隨機事件、必然事件與不可能事件1.一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.2.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.3.空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為?為不可能事件.考點四隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.考點五古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.考點六古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).考點七概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).【題型歸納】題型一：總體和樣本1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某次考試有50000名學(xué)生參加，為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行分析．在這個問題中，以下說法正確的個數(shù)是（

）（1）抽取的1000名考生的總體是一個樣本；（2）抽取的1000名考生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)等于總體平均數(shù)；（3）樣本容量是1000；（4）這50000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了了解某路口每天在學(xué)校放學(xué)時段的車流量，有下面幾個樣本，統(tǒng)計該路口在學(xué)校放學(xué)時段的車流量，你認(rèn)為合適的是（

）A．抽取兩天作為一個樣本B．春?夏?秋?冬每個季節(jié)各選兩周作為樣本C．選取每周星期日作為樣本D．以全年每一天作為樣本3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）楊柳青一中期末考試后，為了分析高一年級520名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績單，就這個問題來說，下面說法中正確的是（

）A．520名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個體C．每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本 D．樣本的容量是100題型二：隨機事件的概念4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列事件中是隨機事件的是（

）A．所有四邊形的內(nèi)角和為180°B．通常加熱到100℃，水沸騰C．袋中有2個黃球，3個綠球，共5個球，隨機摸出一個球是紅球D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）以下事件是隨機事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個白色球”是必然事件D．事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件題型三：確定事件和隨機事件的概率7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）12個同類產(chǎn)品中，有10個正品，任意抽取3個產(chǎn)品概率是1的事件是（

）A．3個都是正品 B．至少有一個是次品C．3個都是次品 D．至少有一個是正品8．（2022·高一課時練習(xí)）100件產(chǎn)品中，有95件正品、5件次品．從中抽取6件，“至少有1件正品”“至少有3件次品”“6件都是次品”“有2件次品、4件正品”這四個事件中隨機事件的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．2 D．19．（2019春·全國·高一專題練習(xí)）下列說法中正確的是A．一個籃球運動員投三分球的命中率是10%，則當(dāng)他投10個三分球時必然要投進一個B．一個籃球運動員投三分球的命中率是10%，則當(dāng)他投了9個球均未投進時，第10個一定投進C．?dāng)S一枚均勻的硬幣，連續(xù)出現(xiàn)了5次正面向上，則下一次出現(xiàn)反面向上的概率一定大于0.5D．?dāng)S一枚均勻的硬幣，連續(xù)出現(xiàn)了5次正面向上，則下一次出現(xiàn)反面向上的概率仍然等于0.5題型四：頻率和概率10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.3311．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.5 D．0.5，0.5612．（2021春·西藏山南·高一山南二中?？计谀┰谝淮螔佊矌诺脑囼炛?，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A． B． C． D．題型五：古典概型經(jīng)典類型問題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平，說明你的理由.14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進行問卷調(diào)查,該調(diào)查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實際感受,對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現(xiàn)隨機抽取了100名居民的問卷進行評分統(tǒng)計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:(1)求的值以及這100名居民問卷評分的中位數(shù)；(2)若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進行專項調(diào)查,求這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率.15．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）某地要舉辦一年一度為期一個月（30天）的大型商業(yè)峰會，一商店每天要訂購相同數(shù)量的一種食品，每個該食品的進價為元，售價為1元，當(dāng)天賣不完的食品按進價的半價退回，食品按每箱100個包裝．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，每天對該食品的需求量和當(dāng)天到會的人數(shù)有關(guān)，為了確定訂購計劃，統(tǒng)計了往年的到會人數(shù)與需求量和到會人數(shù)與天數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：到會人數(shù)/人需求量/箱400450500550600到會人數(shù)/人天數(shù)56874以到會人數(shù)位于各區(qū)間的頻率估計到會人數(shù)位于各區(qū)間的概率．(1)估計商業(yè)峰會期間，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率；(2)設(shè)商業(yè)峰會期間一天這種食品的銷售利潤為Y（單位：元），當(dāng)商業(yè)峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，寫出Y的所有可能值，并估計Y不超過15000元的概率．【雙基達標(biāo)】一、單選題16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個事件：①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個17．（2023·高一課時練習(xí)）為估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了1000條魚做了記號，然后放回池塘，經(jīng)過一段時間，等有記號的魚完全混入魚群，再捕撈200條，發(fā)覺其中有10條標(biāo)有記號，則估計池塘里共有魚______條.A．2000 B．10000 C．20000 D．4000018．（2023·全國·高一專題練習(xí)）兩名學(xué)生均打算只去甲?乙兩個城市中的一個上大學(xué)，且兩人去哪個城市是等可能的，則不去同一城市上大學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）新疆棉花是世界上最優(yōu)質(zhì)的棉花之一，普通的優(yōu)質(zhì)棉紗纖維長度左右，而新疆超長棉紗纖維長度可以達到以上.用超長棉紗制成的純毛巾，質(zhì)地柔軟，手感舒適，色彩鮮艷，吸水性極好.某商場中有5款優(yōu)質(zhì)毛巾，其中有3款是用新疆超長棉紗制成的，在這5款毛巾中任選2款，只有一款是用新疆超長棉紗制成的概率是（

）A． B． C． D．20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）某校分別統(tǒng)計了甲、乙兩人星期一至星期五每天在“學(xué)習(xí)強國”上的學(xué)習(xí)積分情況，得到如下條形圖：則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．甲的積分的眾數(shù)大于乙的積分的眾數(shù)B．甲積分的方差小于乙積分的方差C．在這5天中，隨機抽取1天，乙積分大于30分的概率為0.6D．在這5天中，隨機抽取1天，甲積分大于30分的概率為0.421．（2023·全國·高一專題練習(xí)）對某電視機廠生產(chǎn)的電視機進行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如下：抽取臺數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計算6次試驗中抽到優(yōu)等品的頻率；(2)該廠生產(chǎn)的電視機為優(yōu)等品的概率約是多少？22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊”和“足球隊”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達標(biāo)測試時，從這兩支隊伍中各隨機抽取100人進行專項體能測試，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計兩組測試的平均成績，(2)若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀，從兩組測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊，再從這人中選出2人做正，副隊長，求正、副隊長都來自“田徑隊”的概率．【高分突破】一、單選題23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）四川樂山沙灣區(qū)是一個人杰地靈的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.樂山沫若中學(xué)高二（7）班文學(xué)小組的同學(xué)們計劃在郭老先生的5部歷史劇《屈原》《鳳凰涅槃》《孔雀膽》《蔡文姬》《高漸離》中，隨機選兩部排練節(jié)目參加藝術(shù)節(jié)活動，則《風(fēng)凰涅槃》恰好被選中的概率為（

）A． B． C． D．24．（2023春·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）目前，全國所有省份已經(jīng)開始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成.已知某班甲、乙同學(xué)都選了物理和地理科目，且甲同學(xué)的另一科目會從化學(xué)、生物、政治這3科中選1科，乙同學(xué)的另一科目會從化學(xué)、生物這2科中選1科，則甲、乙所選科目相同的概率是（

）A． B． C． D．25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）袋中裝有四個大小完全相同的小球，分別寫有“中?華?道?都”四個字，每次有放回地從中任取一個小球，直到寫有“道”?“都”兩個字的小球都被取到，則停止取球．現(xiàn)用隨機模擬的方法估計取球停止時的概率，具體方法是：利用計算機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用0，1，2，3分別代表“中?華?道?都”四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果．現(xiàn)經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：232

321

230

023

231

021

122

203

012231

130

133

231

031

123

122

103

233由此可以估計，恰好取球三次就停止的概率為（

）A． B． C． D．26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）12月4日20時09分，神舟十四號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十四號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功.經(jīng)歷了120天全生命周期的水稻和擬南芥種子，也一起搭乘飛船返回艙從太空歸來.我國在國際上首次完成水稻“從種子到種子”全生命周期空間培養(yǎng)實驗，在此之前國際上在空間只完成了擬南芥、油菜、豌豆和小麥“從種子到種子”的培養(yǎng).若從水稻、擬南芥、油菜、豌豆和小麥這5種種子中隨機選取2種，則水稻種子被選中的概率為（

）A． B． C． D．27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（

）①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④28．（2021秋·高一課時練習(xí)）某商場對某一商品搞活動，已知該商品每個的進價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為（

）A． B．C． D．二、多選題29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）從某年級的500名學(xué)生中抽取60名學(xué)生進行體重的統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（

）A．500名學(xué)生是總體B．每名學(xué)生是個體C．學(xué)生的體重是變量D．抽取的60名學(xué)生的體重是樣本容量30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知某高中共有學(xué)生2040人，其中高一段學(xué)生800人，高二段學(xué)生600人，為了了解學(xué)生的體質(zhì)健康水平，現(xiàn)從三個段中采取分層抽樣的方法，抽取一個容量為51的樣本，檢測得到高一、高二、高三段的優(yōu)秀率分別為45%，60%，50%，下列說法正確的是（

）A．體質(zhì)健康水平不優(yōu)秀的人數(shù)最多的年級段是高一段B．體質(zhì)健康水平優(yōu)秀的人數(shù)最少的年級段是高三段C．高二段抽取了15人D．估計該校學(xué)生體質(zhì)健康水平的優(yōu)秀率為49.3%（百分比保留一位小數(shù)）31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是國家統(tǒng)計局公布的2021年5月至2021年12月的規(guī)模以上工業(yè)日均發(fā)電量的月度走勢情況，則（

）．A．2021年7月至2021年10月，規(guī)模以上工業(yè)月度日均發(fā)電量呈現(xiàn)下降趨勢B．2021年5月至2021年12月，規(guī)模以上工業(yè)月度日均發(fā)電量的中位數(shù)為228C．2021年11月，規(guī)模以上工業(yè)發(fā)電總量約為6758億千瓦時D．從2021年5月至2021年12月中隨機抽取2個月份，規(guī)模以上工業(yè)月度日均發(fā)電量都超過230億千瓦時的概率為32．（2022·高一課時練習(xí)）某博覽會安排了分別標(biāo)有序號“1號”“2號”“3號”的三輛車，按等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的序號大于第一輛車的序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記該嘉賓按方案一與方案二乘坐到“3號”車的概率分別為，，則（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（

）A．設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率D．利用隨機事件發(fā)生的頻率估計隨機事件的概率，如果隨機試驗的次數(shù)超過10000，那么所估計出的概率一定很準(zhǔn)確34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說法中正確的是（

）A．男生樣本容量為30B．每個女生被抽入到樣本的概率均為C．所有樣本的均值為166D．所有樣本的方差為46.2三、填空題35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為______．36．（2022秋·高一單元測試）（1）隨機現(xiàn)象的發(fā)生能夠人為控制其發(fā)生或不發(fā)生；（2）隨機現(xiàn)象的結(jié)果是可以預(yù)知的；（3）不可能事件反映的是確定性現(xiàn)象；（4）已經(jīng)發(fā)生的事件一定是必然事件.以上說法正確的有__________.37．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列事件中，屬于隨機現(xiàn)象的序號是______.①明天是陰天；

②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③明天吳淞口的最高水位是4.5米；

④三角形中，大角對大邊．38．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）某中學(xué)從甲、乙兩個班中各選出15名學(xué)生參加知識競賽，將他們的成績（滿分100分）進行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設(shè)成績在88分以上（含88分）的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，現(xiàn)從甲、乙兩班的優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，記甲班選取的學(xué)生成績不低于乙班選取得學(xué)生成績記為事件，則事件發(fā)生的概率___________.39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，a，b，c，d，e是處于斷開狀態(tài)的開關(guān)，任意閉合其中的兩個，則電路接通的概率是____.四、解答題40．（2023春·遼寧本溪·高一校考階段練習(xí)）某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽取了某市200名網(wǎng)友在2022年5月1日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：網(wǎng)購金額合計（單位：千元）人數(shù)頻率160.08xp200.10yq180.09160.08合計2001.00已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)之比恰為.(1)求x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）；(2)利用組中值估計網(wǎng)購金額的平均數(shù)；(3)在一次網(wǎng)購中，金金和鐘鐘每人隨機從“微信，支付寶，銀行卡，貨到付款”4種支付方式中任選1種方式進行支付，求兩人均未選擇貨到