2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課時規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE其次章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點練1．甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點動身，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先動身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲比乙先到達終點解析：由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時動身，但甲用時間少，即甲的速度比乙快．答案：D2．20世紀30年頭，為了防范地震帶來的災(zāi)難，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅，若“標準地震”的振幅為0.001，測震儀測得某地地震的震級為4級，則該地震的最大振幅為()A．6 B．8C．10 D．12解析：由題意知，lgA－lg0.001＝4，所以lgA＝1，即A＝10.故選C.答案：C3．某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時，每天可獲利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當(dāng)k＝9時，獲得利潤最大．故選C.答案：C4．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x為銷售輛數(shù))，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為()A．11000元 B．22000元C．33000元 D．40000元解析：設(shè)甲連鎖店銷售x輛，則乙連鎖店銷售(110－x)輛，故利潤L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴當(dāng)x＝60時，有最大利潤33000元，故選C.答案：C5．今有一組數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四個模擬函數(shù)中，最適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do9(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2答案：C6．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)驗了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)驗了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為()A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法推斷盈虧狀況解析：設(shè)該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)驗n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經(jīng)驗n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損．答案：B7．(2024·開封質(zhì)檢)用長度為24(單位：米)的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A．3米 B．4米C．6米 D．12米解析：設(shè)隔墻的長為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當(dāng)x＝3時，y取得最大值．答案：A8.某廠有很多形態(tài)為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以當(dāng)y＝12時，S有最大值，此時x＝15.答案：A9．(2024·南昌模擬)某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費S(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時，這兩種方式的電話費相差__________．解析：依題意可設(shè)SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即兩種方式的電話費相差10元．答案：10元10．(2024·唐山模擬)某人安排購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車一年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年削減它的價值的10%)，試求，大約運用多少年后，花費在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元？解析：設(shè)運用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元．依題意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化簡得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因為f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上應(yīng)有一個零點．故大約運用4年后，花費在該車上的費用達到14.4萬元．B組——素養(yǎng)提升練11．(2024·沈陽模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底部一個微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有起先時的八分之一．解析：依題意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，所以b＝eq\f(ln2,8)，所以y＝a·e－eq\f(ln2,8)t.若容器中的沙子只有起先時的八分之一，則有a·e－eq\f(ln2,8)t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24，所以再經(jīng)過的時間為24－8＝16min.答案：1612．(2024·東城區(qū)模擬)某種物質(zhì)在時刻t(min)的濃度M(mg/L)與t的函數(shù)關(guān)系為M(t)＝art＋24(a，r為常數(shù))．在t＝0min和t＝1min測得該物質(zhì)的濃度分別為124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min時，該物質(zhì)的濃度為________mg/L；若該物質(zhì)的濃度小于24.001mg/L，則最小的整數(shù)t的值為________．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010)解析：依據(jù)條件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64，∴a＝100，r＝eq\f(2,5).∴M(t)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)＋24，∴M(4)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＋24＝26.56.由100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)＋24<24.001得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)<(0.1)5，∴l(xiāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)<lg(0.1)5，∴tlgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))<－5，∴t[lg2－(1－lg2)]＜－5.∴t(2lg2－1)＜－5，代入lg2≈0.301，得－0.398t＜－5，解得t＞12.6.∴最小的整數(shù)t的值是13.答案：26.561313．某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為激勵銷售商訂購，確定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不低于51元．(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p＝f(x)的表達式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購多少個時，該廠獲得的利潤為6000元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)解析：(1)設(shè)每個零件的實際出廠價格恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)＝550(個)，因此，當(dāng)一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元．(2)當(dāng)0≤x≤100時，p＝60；當(dāng)100＜x＜550時，p＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；當(dāng)x≥550時，p＝51.所以p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60（0≤x≤100），,62－\f(x,50)（100＜x＜550），（x∈N＋），,51（x≥550）.))(3)設(shè)銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則L＝(p－40)x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x≤100），,22x－\f(x2,50)（100＜x＜550），（x∈N＋），,11x（x≥550），))當(dāng)0≤x≤100時，L≤2000；當(dāng)x≥550時，L≥6050；當(dāng)100＜x＜550時，L＝22x－eq\f(x2,50).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22x－\f(x2,50)＝6000，,100＜x＜550，))解得x＝500.14．為了維持市場持續(xù)發(fā)展，壯大集團力氣，某集團在充分調(diào)查市場后確定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進行投資生產(chǎn)，打入國際市場．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表(單位：萬美元)：年固定成本每件產(chǎn)品的成本每件產(chǎn)品的銷售價每年可最多生產(chǎn)的件數(shù)甲產(chǎn)品20a10200乙產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，a為常數(shù)，且6≤a≤8.另外，當(dāng)年銷售x件乙產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特殊關(guān)稅，假設(shè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品均可售出．(1)寫出該集團分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x(x∈N＋)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種