2024-2025學年新教材高中數(shù)學第10章概率10.1.2事件的關系和運算素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第十章10.110.1.2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．擲一枚骰子，設事務A＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，則事務A與事務B的關系是(B)A．A?BB．A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}C．事務A與B互斥D．事務A與B是對立事務[解析]由題意事務A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2或3；事務B表示出現(xiàn)的點數(shù)是2或4或6．故A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}.2．某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事務“至少有一次中靶”的互斥事務是(C)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶[解析]由于事務“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事務是不行能事務，所以它們互為互斥事務.3．從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事務“取出1個紅球和2個白球”的對立事務是(D)A．取出2個紅球和1個白球B．取出的3個球全是紅球C．取出的3個球中既有白球也有紅球D．取出的3個球不止一個紅球[解析]從裝有3個紅球和1個白球的口袋中隨機取出3個球可能的狀況有：“3個紅球”“1個紅球2個白球”“2個紅球1個白球”，所以事務“取出1個紅球和2個白球”的對立事務是“3個紅球或2個紅球1個白球”即“3個球不止一個紅球”，故選D．4．對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設事務A＝{兩彈都擊中飛機}，事務B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事務C＝{恰有一彈擊中飛機}，事務D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關系不正確的是(D)A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中其次枚沒中或第一枚沒中其次枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種狀況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.5．(多選)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事務是(BD)A．至少有1個紅球與都是紅球B．至少有2個紅球與都是白球C．至少有1個紅球與至少有1個白球D．恰有1個紅球與恰有2個紅球[解析]A項中，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事務同時發(fā)生，故它們不是互斥事務，所以A項不符合題意；B項中，這兩個事務不能同時發(fā)生，則它們是互斥事務，若取出的3個球為1紅2白，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事務，所以B項符合題意；C項中，若取出的3個球是1個紅球2個白球時，它們同時發(fā)生，則它們不是互斥事務，所以C項不符合題意；D項中，這兩個事務不能同時發(fā)生，是互斥事務，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事務，所以D項符合題意.二、填空題6．給出以下三個命題：(1)將一枚硬幣拋擲兩次，記事務A：“二次都出現(xiàn)正面”，事務B：“二次都出現(xiàn)反面”，則事務A與事務B是對立事務；(2)在命題(1)中，事務A與事務B是互斥事務；(3)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，記事務A：“所取3件中最多有2件是次品”，事務B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事務A與事務B是互斥事務，其中真命題的個數(shù)是__1__.[解析]命題(1)是假命題，命題(2)是真命題，命題(3)是假命題.對于(1)(2)，因為拋擲兩次硬幣，除事務A，B外，還有“第一次出現(xiàn)正面，其次次發(fā)覺反面”和“第一次出現(xiàn)反面，其次次出現(xiàn)正面”兩個事務，所以事務A和事務B不是對立事務，但它們不會同時發(fā)生，所以是互斥事務；對于(3)，若所取的3件產(chǎn)品中恰有2件次品，則事務A和事務B同時發(fā)生，所以事務A和事務B不是互斥事務.7．若擲紅、藍兩顆骰子，事務A＝“紅骰子點數(shù)大于3”，事務B＝“藍骰子點數(shù)大于3”，則A∩B＝__{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}__.(記在點的坐標(x，y)中，x表示紅骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y8．現(xiàn)有語文、數(shù)學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，記取到語文、數(shù)學、英語、物理、化學書分別為事務A，B，C，D，E，則事務取出的是理科書可記為__B∪D∪E__.[解析]由題意可知事務“取到理科書”可記為B∪D∪E.三、解答題9．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，推斷下列給出的每對事務是否為互斥事務，是否為對立事務，并說明理由.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”[解析](1)是互斥事務，不是對立事務.理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發(fā)生的，所以是互斥事務.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事務.(2)既是互斥事務，又是對立事務.理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事務不行能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，因此它們既是互斥事務，又是對立事務.(3)不是互斥事務，當然不行能是對立事務.理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”這兩個事務可能同時發(fā)生，如抽出牌的點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事務，當然不行能是對立事務10．一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅球(標號為1和2)，2個綠球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事務R1＝“第一次摸到紅球”，R2＝“其次次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個球顏色相同”，N＝“兩個球顏色不同”.(1)事務R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？(2)事務R與事務G的并事務與事務M有什么關系？事務R1與事務R2的交事務與事務R有什么關系？[解析](1)因為R?R1，所以事務R1包含事務R；因為R∩G＝?，所以事務R與事務G互斥；因為M∪N＝Ω，M∩N＝?，所以事務M與事務N互為對立事務.(2)因為R∪G＝M，所以事務M是事務R與事務G的并事務；因為R1∩R2＝R，所以事務R是事務R1與事務R2的交事務.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．某人射擊一次，設事務A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事務B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事務C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事務D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，A．A與B為對立事務 B．B與C為互斥事務C．C與D為對立事務 D．B與D為互斥事務[解析]“擊中環(huán)數(shù)大于4”與“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”2．假如事務A，B互斥，記eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分別為事務A，B的對立事務，那么(B)A．A∪B是必定事務 B．eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事務C．eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))肯定互斥 D．eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))肯定不互斥[解析]利用集合Venn圖可知B正確.3．設H，E，F(xiàn)為三個事務，eq\o(H,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分別表示它們的對立事務，表示“三個事務恰有一個發(fā)生”的表達式為(B)A．H＋E＋F B．Heq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))FC．HEeq\o(F,\s\up6(－))＋Heq\o(E,\s\up6(－))F＋eq\o(H,\s\up6(－))EF D．eq\o(H,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＋eq\o(F,\s\up6(－))[解析]“恰有一個發(fā)生”是指三個事務中只有一個發(fā)生，同時另外兩個不發(fā)生，故選B．4．(2024·福建省寧德市期末)2024年某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語，必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式.已知某同學已選了物理，記事務A：“他選擇政治和地理”，事務B：“他選擇化學和地理”，則事務A與事務B(AA．是互斥事務，不是對立事務B．是對立事務，不是互斥事務C．既是互斥事務，也是對立事務D．既不是互斥事務也不是對立事務[解析]事務A：“他選擇政治和地理”，事務B：“他選擇化學和地理”，則事務A與事務B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事務A和B是互斥事務，但不是對立事務，故A正確.二、填空題5．擲一枚質地勻稱的骰子，記A為事務“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事務“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事務“落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)”.其中是互斥事務的是__A，B__，是對立事務的是__A，B__.[解析]A，B既是互斥事務，也是對立事務.6．在擲骰子的試驗中，可以得到以下事務：A＝{出現(xiàn)1點}；B＝{出現(xiàn)2點}；C＝{出現(xiàn)3點}；D＝{出現(xiàn)4點}；E＝{出現(xiàn)5點}；F＝{出現(xiàn)6點}；G＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點}.請依據(jù)這些事務，推斷下列事務的關系：(1)B__?__H；(2)D__?__J；(3)E__?__I；(4)A__＝__G.[解析]當事務B發(fā)生時，H必定發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I，而事務A與G相等，即A＝G.三、解答題7．設A，B，C代表隨機事務，記它們的對立事務分別為eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(C,\s\up6(－))，試用這些事務表示下列事務.(1)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；(2)A，B，C恰好有兩個發(fā)生；(3)A，B，C至少有兩個發(fā)生.[解析](1)事務A與B同時發(fā)生，C不發(fā)生，則A，B，eq\o(C,\s\up6(－))同時發(fā)生，故所求事務為ABeq\o(C,\s\up6(－)).(2)A，B，C恰好有兩個發(fā)生，分為三種狀況：A，B發(fā)生，C不發(fā)生；A，C發(fā)生，B不發(fā)生；B，C發(fā)生，A不發(fā)生.分別求解每種狀況，然后求和.故所求事務可以表示為ABeq\o(C,\s\up6(－))＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋eq\o(A,\s\up6(－))BC.(3)A，B，C至少有兩個發(fā)生，較第(2)問多一種狀況，即A，B，C同時發(fā)生，因此所求事務可以表示為ABeq\o(C,\s\up6(－))＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋ABC.8．在擲骰子試驗中，依據(jù)向上的點數(shù)可以定義很多事務，如：A＝{出現(xiàn)點數(shù)1}；B＝{出現(xiàn)點數(shù)3或4}；C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}；D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}.(1)說明以上4個事務的關系；(2)求兩兩運算的結果.[解析]在擲骰子的試驗中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結果，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6).則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．(1)事務A與事務B互斥，但不對立，事務A包含于事