2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的概念及其線性運(yùn)算（學(xué)生版+解析）

第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................4

高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示................................4

高頻考點(diǎn)二：模..................................................4

高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量....................................5

高頻考點(diǎn)四：相等向量............................................17

高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法...............................19

高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘......................................6

高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用..................................7

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................8

備注：“?！钡姆较蚴侨我獾?.......................................8

第五部分：新定義題.................................................8

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)

向量表示方法：向量AB或a；模或|a|.

(2)零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用e表示.

特別的：非零向量a的單位向量是二.

1?1

（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，a與。共線可記為a=

特別的：0與任一向量平行或共線.

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作°=小

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作°=一白.

2、向量的線性運(yùn)算

2.1向量的加法

①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量a,

我們規(guī)定a+0=0+a=a-

②向量加法的三角形法則（首尾相接，首尾連）

己知非零向量a,6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作A3=a,3C=B,則向量AC叫做a與6的和，記作a+b,即

a+b=AB+BC^AC-這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.

③向量加法的平行四邊形法則（作平移，共起點(diǎn)，四邊形，對(duì)角線）

已知兩個(gè)不共線向量a,6,作。4=a,OB=/,以O(shè)A,08為鄰邊作.OACfi,則以。為起點(diǎn)的向量0c

（0C是.OACB的對(duì)角線）就是向量q與6的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法

則.

2.2向量的減法

①定義：向量a加上6的相反向量，叫做a與〃的差，即a—6="+（—》）.

②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）

己知向量a,6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作。4=q,OB=b,則向量a—〃=.如圖所示B

如果把兩個(gè)向量a,6的起點(diǎn)放在一起,則a-6可以表示為從向量6的終點(diǎn)指向向量a的

b/\a-b

終點(diǎn)的向量.

2.3向量的數(shù)乘0乙------

a

向量數(shù)乘的定義：

一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)X與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作；la,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)

定如下：

①14a1=14||a|

②當(dāng)2>0時(shí)，2a的方向與a的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，Xa的方向與a的方向相反；當(dāng);1=0時(shí)，2a=0-

3、共線向量定理

①定義：向量B與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2，b=2a-

②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意aw0；特別地，若a=]=0,實(shí)數(shù)2仍存在，

但不唯一.

4、常用結(jié)論

4.1向量三角不等式

①己知非零向量a，b，貝?|。|-|川區(qū)|。+6區(qū)|。|+|加（當(dāng)a與6反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)a與同

向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；

②已知非零向量a，b，貝3”|-|6四。-6區(qū)|“|+|切（當(dāng)a與6同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)a與b反

向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；

記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如||a|-g||<|a+b\<\a\+\b\^,

||aI-2||<|a+回中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：

||。|-|切區(qū)|。+￡>區(qū)|。|+|6|中||a+b|W|a|+|6|中間鏈接號(hào)都是正號(hào)"符同"，故同向共線時(shí)等號(hào)成立;

4.2中點(diǎn)公式的向量形式：

若尸為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則20戶=OA+OB.

4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：

OA=WB+juOB（2,〃為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線=幾+〃=1

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國(guó)?甲卷理）已知向量滿足同=忖=1,同=加,且a+b+c=0，貝!Jcos〈〃一G。一。〉=（）

42

A.B.

55

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示

典型例題

例題1.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若卜卜“，則°=8B.若忖>",則°>6

C.若a=b，則a//6D.若a//b,6//c,則al!c

例題2.（23-24高一下?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；

（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積淇中不是向量的有（）

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一?全國(guó)?專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.

正確的是（）

A.①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量

C.①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量

2.（2023高一?全國(guó)?單元測(cè)試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風(fēng)速.其中是向量的

有個(gè).

高頻考點(diǎn)二：模

典型例題

例題1.（23-24四川南充?一模）已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,則同+23-削=（）

A.0B.0C.2&D.4

例題2.（23-24高一下?甘肅,期末）若正方形A3CD的邊長(zhǎng)為2,則-AB+助卜（）

A.40B.2后C.&D.學(xué)

例題3.（多選）（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知非零向量“、萬，下列命題正確的是（）

A.若卜卜忖，則.//6B.若a=b，則忖

C.若allb,貝UQ=〃D.若a=b，則allb

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24?福建南平?模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)M滿足AB+BC=2AAf，則|加4=（）

A.1B.1C.—D.J2

22

2.（23-24高一下?江西上饒?階段練習(xí)）己知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，求：

（I）|AB+BC|；

（2）\AB+CA-BC\■

高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量

典型例題

ab

例題（?北京大興三模）設(shè)是非零向量，是"。=〃’的（）

1.2023a,6"nH=U\b\T

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

例題2.（多選）（23-24高一下?甘肅白銀?期中）下列說法中正確的是（）

A.若卜|=0,貝|a=0B.若0與6共線，貝。與方方向相同或相反

a

C.若02為單位向量，則q=e?D.R是與非零向量a共線的單位向量

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?湖南益陽?階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說法：①若同=0,則4=0;②若同=忖，則a=6

或a=-b；③若a//b，則④若a//，b//c，則其中正確的說法有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24高三上?福建廈門?開學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

ab

C.若a,b都為非零向量，則使n+^=°成立的條件是a與6反向共線

D.若a=b,b=c，貝Ua=c

例題3.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式:

WOA-OD+AD;

(2)AB+DA+BD-BC-CA.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?河南濮陽?階段練習(xí)）在正六邊形ABCDEF中，AB-CD+CE=（）

A.0B.FCC.2BFD.BE

2.（23-24高一下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）下列四式不能化簡(jiǎn)為A。的是（）

A.MB+AD-BMB.（AD++CM）

C.^AB+CD^+BCD.OC-OA+CD

3.（23-24高一下?廣東江門?階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：08-（AC+O4）=.

高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘

典型例題

12

例題1.（23-24高一下?湖北?階段練習(xí)）在△A8C中，記AC=b，&BE=-BCf”=耳4石，則放=

（）

21,211212

A.——a+—bB.—a——7bC.—a——b7D.——a+—b7

33333333

例題2.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：

⑴3（2〃—力―2（4a-3力；

113

（2）—（4a+3b）-—（3a-b）——b-

（3）2（3a—4b+c）—3（2〃+b-3c）.

練透核心考點(diǎn)

numiuur

1.（23-24高一下?江蘇常州?階段練習(xí)）若4C=-設(shè)A8=%CA，則幾的值為.

Q11-

2.（23-24高一下.廣東惠州?開學(xué)考試）化簡(jiǎn)：j^a-3b）+-b--（6a-lb）=.

高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用

典型例題

例題1.（23-24高一下?四川綿陽?階段練習(xí)）設(shè)不共線，AB=2a+^b,BC=a+b,CD=a-3b,若A,B,

。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)4的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

例題2.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州,階段練習(xí)）設(shè)e；是兩個(gè)不共線的向量，若向量+左e2僅eR）與

向量〃=左弓一44（左?R）共線，貝!j（）

A.k=0B.左=±2

C.k=2D.k=—2

例題3.（23-24高一下?福建莆田?期中）如圖，在ABC中，。是AB的中點(diǎn)，EB=；CB.

⑴若AC=23C=2,ZACB=60,求他

（2）若CO=XCD，求X的值.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?福建莆田?期中）已知向量a與6且AB=a+26,3C=-5a+6b,CD=7&-26則一定共線的

三點(diǎn)是（）

A.A,C,D三點(diǎn)、B.A,B,C三點(diǎn)

C.A,B,D三點(diǎn)D.B,C,D三點(diǎn)、

2.（23-24高一下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）已知為非零不共線向量，向量8a-妙與-Za+b共線，貝必=

（）

A.2及B.-272C.±2A/2D.8

3.（23-24高一下?河北滄州?階段練習(xí)）已知q,02是兩個(gè)不共線的單位向量，a=^-4e2,b=kex+le2,

若a與。共線，貝1」4=.

第四部分：典型易錯(cuò)題型

備注：“0”的方向是任意的

1.（22-23高三上?四川成都?期中）關(guān)于向量a,b，c,下列命題中正確的是（）

A.若|a|=W，貝Ua=6B.若°〃6,6〃c,則a〃c

C.若a=—6，則d〃方D.若同>忖，貝!Ja>6

第五部分：新定義題

1.（23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（。,0）,點(diǎn)3（0,。）（其中為常數(shù),

且仍N0）,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)尸為線段A3近A的三等分點(diǎn)，OP=2OA+（l-2）OB（2eR）,求4的值;

（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)用多月,…,Ei是線段AB的”等分點(diǎn)，其中〃eN*,〃52,

①當(dāng)”=2024時(shí)，求|04+?！?0鳥+…+O《T+O目的值（用含。力的式子表示）；

②當(dāng)a=6=1,〃=10時(shí).求OP,(OR+OP^(l<i,j<n-1,z,jeN*)的最小值.

〃(〃+1)

（說明：可能用到的計(jì)算公式：1+2+3++〃=GN*)

2

第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................4

高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示................................4

高頻考點(diǎn)二：模..................................................4

高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量....................................5

高頻考點(diǎn)四：相等向量............................................17

高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法...............................19

高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘......................................6

高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用..................................7

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................8

備注：的方向是任意的........................................8

第五部分：新定義題.................................................8

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)

向量表示方法：向量AB或a；?；騶a|.

(2)零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用e表示.

特別的：非零向量a的單位向量是二.

1?1

（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，a與。共線可記為a=

特別的：0與任一向量平行或共線.

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作°=小

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作°=一白.

2、向量的線性運(yùn)算

2.1向量的加法

①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量a,

我們規(guī)定a+0=0+a=a-

②向量加法的三角形法則（首尾相接，首尾連）

己知非零向量a,6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作A3=a,3C=B,則向量AC叫做a與6的和，記作a+b,即

a+b=AB+BC^AC-這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.

③向量加法的平行四邊形法則（作平移，共起點(diǎn)，四邊形，對(duì)角線）

已知兩個(gè)不共線向量a,6,作。4=a,OB=/,以O(shè)A,08為鄰邊作.OACfi,則以。為起點(diǎn)的向量0c

（0C是.OACB的對(duì)角線）就是向量q與6的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法

則.

2.2向量的減法

①定義：向量a加上6的相反向量，叫做a與〃的差，即a—6="+（—》）.

②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）

己知向量a,6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作。4=q,OB=b,則向量a—〃=.如圖所示B

如果把兩個(gè)向量a,6的起點(diǎn)放在一起,則a-6可以表示為從向量6的終點(diǎn)指向向量a的

b/\a-b

終點(diǎn)的向量.

2.3向量的數(shù)乘0乙------

a

向量數(shù)乘的定義：

一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)X與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作；la,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)

定如下：

①14a1=14||a|

②當(dāng)2>0時(shí)，2a的方向與a的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，Xa的方向與a的方向相反；當(dāng);1=0時(shí)，2a=0-

3、共線向量定理

①定義：向量B與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2，b=2a-

②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意aw0；特別地，若a=]=0,實(shí)數(shù)2仍存在，

但不唯一.

4、常用結(jié)論

4.1向量三角不等式

①己知非零向量a，b，貝?|。|-|川區(qū)|。+6區(qū)|。|+|加（當(dāng)a與6反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)a與同

向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；

②已知非零向量a，b，貝3”|-|6四。-6區(qū)|“|+|切（當(dāng)a與6同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)a與b反

向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；

記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如||a|-g||<|a+b\<\a\+\b\^,

||aI-2||<|a+回中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：

||。|-|切區(qū)|。+￡>區(qū)|。|+|6|中||a+b|W|a|+|6|中間鏈接號(hào)都是正號(hào)"符同"，故同向共線時(shí)等號(hào)成立;

4.2中點(diǎn)公式的向量形式：

若尸為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則20戶=OA+OB.

4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：

OA=WB+juOB（2,〃為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線=幾+〃=1

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國(guó)?甲卷理）已知向量滿足同=忖=1,同=&,且a+b+c=Q,貝Ijcos〈〃一G。一?！?（）

4224

A.--B.--C.一D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)椤?Z?=0,所以。+。=」，

即+〃+2〃.》=*,即i+i+2』.匕=2,所以=0.

如圖，設(shè)O4=a,O5=B,oC=e,

c

由題知,OA=O5=1,OC=0,0A5是等腰直角三角形，

AB邊上的高。。=也,4。=也，

22

所以。。=（?0+?！?gt;=&+也=逑，

22

tanZACZ）=—=-,cosZACD=-J=

CD3阿

COS〈Q-c,b-c）=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示

典型例題

例題1.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若忖=忖，則°=6B.若忖＞忖，則°

C.若a=6,則a//6D.若a〃4M/c,貝ljal1c

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若W=W，則a,b只是大小相同，并不能說方向相同，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若a=&,則a,6方向相同，C正確；

對(duì)于D：若a//b,b〃c,如果6為零向量，則不能推出a,c平行，D錯(cuò)誤.

故選：c.

例題2.（23-24高一下?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；

（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積淇中不是向量的有（）

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.

【詳解】看一個(gè)量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.

（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，

（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.

故選：A.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一?全國(guó)?專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.

正確的是（）

A.①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量

C.①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.

【詳解】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒有方向，是數(shù)量；

速度、位移既有大小又有方向，是向量.

故選：D.

2.（2023高一?全國(guó)?單元測(cè)試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風(fēng)速淇中是向量的

有個(gè).

【答案】2

【分析】根據(jù)向量的定義判斷即可.

【詳解】既有大小，又有方向的量叫做向量；

溫度、密度、風(fēng)速只有大小沒有方向，因此不是向量；

而數(shù)軸、拉力既有大小，又有方向，因此它們都是向量.

故答案為2

高頻考點(diǎn)二：模

典型例題

例題1.（23-24四川南充?一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,貝lj|A2+2（j-CA|=（）

A.0B.0C.2cD.4

【答案】C

【分析】利用向量運(yùn)算法則得到|AB+-=2|AC|=20.

【詳解】k2+2。一。4=,（：一。小=2,4，

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1,所以AC=g=&，

故|A8+3C-CA|=2衣

故選：c

例題2.（23-24高一下,甘肅?期末）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則從。-AB+即卜（）

A.4\/2B.2A/2C.D.

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,貝UBD=2&，

所以,￡>-AB+明=回+回==4A/2.

例題3.（多選）（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知非零向量°、b，下列命題正確的是（）

A.若忖=忖,BOallbB.若a=b，則忖=卜|

C.若a”b，貝!Ja=bD.若a=b，則a〃6

【答案】BD

【分析】

利用向量、共線向量、相等向量等概念逐項(xiàng)判斷.

【詳解】

對(duì)于A,向量是具有方向的量，

若同=M，則向量a與6的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a=b，則一定有同=忖，故B正確；

對(duì)于C,若力/力，則只能說明非零向量a、B共線，

當(dāng)4、6大小不同或方向相反時(shí)，都有°力6,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若°=6，則a、。共線且方向相同，所以a〃各，故D正確.

故選：BD.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24?福建南平,模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)M滿足AB+3C=2AM，則WU=（）

1f-

A.-B.1C.—D.5/2

22

【答案】C

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系求解.

如圖，AB+BC=AC=2AM，所以M是4c的中點(diǎn)，卜?；

故選：C.

2.（23-24高一下?江西上饒?階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，求:

（I）|AB+BC|；

（2）\AB+CA-BC\'

【答案】①雙

（2）2

【分析】利用向量的加減法法則化簡(jiǎn)向量即可解決問題.

【詳解】（1）四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

.-.|AB+BC|=|AC|=V2

（2）|AB+CA-BC|=|CB-BC|=2|CB|=2

高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量

典型例題

ab

例題1.（2023?北京大興三模）設(shè)a,6是非零向量，"叼=山"是".=〃’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

ab

【詳解】由閂=南表示單位向量相等，則石同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a=6,

由表示。/同向且模相等，則口=同，

所以"是的必要而不充分條件.

故選：B

例題2.（多選）（23-24高一下?甘肅白銀?期中）下列說法中正確的是（）

A.若卜|=0,貝?。荨?0B.若a與。共線，貝I”與b方向相同或相反

C.若G，e2為單位向量，則D.「是與非零向量￡共線的單位向量

【答案】AD

【分析】

根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)零向量的定義，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)°=0時(shí)，顯然a與6共線，當(dāng)零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)之=（1,0）,、=（0,1）,顯然相；為單位向量，但行心，故C錯(cuò)誤；

I

aa|r|ara

對(duì)于D,由百a=一=1,則日為單位向量，由忖曲=。，則向量E與￡共線，故D正確.

故選：AD.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?湖南益陽?階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說法：①若問=0,則.=0；②若|《=W，則a=b

或a=_5；③若。/妨，則|《=網(wǎng)；④若&/妨，b/ic，則?！╟淇中正確的說法有（）個(gè).

【答案】A

【分析】根據(jù)零向量定義、向量模長(zhǎng)、平行的定義等知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于①，模長(zhǎng)為零的向量為零向量，①正確；

對(duì)于②，a,b的模長(zhǎng)相同，但方向不確定，未必同向或反向，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若aHb，則同向或反向，但模長(zhǎng)未必相同，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)6=0時(shí)，dllb，b//C成立，但此時(shí)未必平行，④錯(cuò)誤.

故選：A.

2.（23-24高三上?福建廈門?開學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

ab八

C.若a,6都為非零向量，則使口+愀=°成立的條件是a與方反向共線

D.若a=b，b=c<貝！Ja=c

【答案】A

【分析】

AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選

項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.

【詳解】

A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

abababn

c選項(xiàng)，因?yàn)閚與國(guó)都是單位向量，所以只有當(dāng)n與面是相反向量，即°與。是反向共線時(shí)n+rn=°才

H\b\H\b\H忖

成立，故C正確；

D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

高頻考點(diǎn)四：相等向量

典型例題

例題1.（22-23高一下?北京?期中）給出下列命題正確的是（）

A.若=忖，則°=88.若°=人6=c，貝！Ja=c

C.若卜卜忖且a〃6，貝！I“=8D.若aUb，bile，貝Ua〃c

【答案】B

【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)a與6方向不同時(shí)，a=6不成立，二A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若a=b=c，則a=c，，B正確，

對(duì)于C,當(dāng)a與。方向相反時(shí)，a=6不成立，二C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,當(dāng)3時(shí)，滿足a〃b，6〃c,但a〃c不一■定成立.所以D錯(cuò)誤.

故選：B.

例題2.（多選）（22-23高一下?湖南益陽?階段練習(xí)）下列說法不正確的有（）

A.若6=e，貝h/ucB.若aHb，則a與6的方向相同或相反

C.若a=a,則〃=eD.若a//b,bile1則?！╠

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)向量的有關(guān)概念逐一判斷即可.

【詳解】若a=b，b=d，貝ijane,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)有一個(gè)為零向量時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)“與6,e垂直時(shí)，可得a.6=q.c=0，但推不出b=c，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)6=0時(shí)不成立，故D錯(cuò)誤，

故選：BCD.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，下列結(jié)論正確的是（）

B.AB+BD=DA

D.AB-BC=DB

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量相等的定義判斷A,根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算法則判斷BCD.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)橄蛄糠较虿煌?，所以ABwAO，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,AB+BD=AD>故B錯(cuò)；

對(duì)于C,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，AB+AD=AC，故C錯(cuò);

對(duì)于D,根據(jù)向量減法運(yùn)算可知，AB-BC=AB-AD=DB,故D對(duì).

故選：D

2.（23-24高一下?廣東東莞?開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)。是正方形A8CD的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AO=OCB.AO=BOC.BOUDBD.AB與CO共線

【答案】B

【分析】

畫出圖形，結(jié)合相等向量與共線向量的定義判斷即可.

【詳解】

如圖，

因?yàn)锳O，0c方向相同，長(zhǎng)度相等，故AO=OC，故A正確;

因?yàn)锳。，8。方向不同，故49/20，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?,0,。三點(diǎn)共線，所以B0〃D8,故C正確；

因?yàn)锳B〃CD,所以.與C。共線，故D正確.

故選：B

高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法

典型例題

例題L（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）下列各式中不熊化簡(jiǎn)為P0的是（）

A.AB+[PA+BQ）B.PA+AB-BQ

C.QC-QP+CQD.（AB+PC）+（BA-gC）

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】對(duì)于A：AB+（PA+BQ）=PA+AB+BQ=PQ,故A不合題意；

對(duì)于B：PA+AB-BQ=PB-BQ,故B滿足題意；

對(duì)于C：QC-QP+CQ=QC+CQ+PQ=PQ,故C不合題意；

對(duì)于D：（AB+PC]+（BA-QC）=BA+AB+PC+CQ=PQ,故D不合題意.

故選：B

例題2.（23-24高一下?江西九江?階段練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.AB+AC^BCB.AM+MB+BO+BM=AM

C.AB+BC-AC=OD.AD-AB+DC=BC

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則求解.

【詳解】對(duì)于A,若AB+AC=BC，則AB+AC=AC-AB，則A8=0，矛盾，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)?+=所以AM+M8+80+=AM+80#AM，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,AB+BC-AC=AC-AC=O，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,AD-AB+DC=BD+DC^BC，D正確；

故選：D.

例題3.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：

WOA-OD+AD;

（2）AB+DA+BD-BC-CA.

【答案】⑴6

⑵48

【分析】（1）由向量的加減法運(yùn)算即可得答案；

（2）由向量的加減法運(yùn)算即可得答案.

UULuumUUIUUL1UUUIH1

【詳解】⑴OA-OD+AD=DA+AD=0-

（2）AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC=AB+DC+CD=AB.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?河南濮陽?階段練習(xí)）在正六邊形ABCDE尸中，AB-CD+CE=（）

A.0B.FCC.2BFD.BE

【答案】A

【分析】

利用平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)可化簡(jiǎn)所求向量.

【詳解】由正六邊形的性質(zhì)可知，AB，DE互為相反向量，

所以，AB-CD+CE=AB+^CE-CD^=AB+DE=O.

故選：A.

2.（23-24高一下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）下列四式不能化簡(jiǎn)為的是（）

A.MB+AD-BMB.^AD+BMy^BC+CM

c.^AB+CD^+BCD.OC-OA+CD

【答案】A

【分析】

由向量的加法或減法原則求解即可.

【詳解】MB+AD-BM=MB+AD+MB=2MB+AD>

^AD+BM^-(BC+CM^=AD+BM-BM=AD,^AB+CD^+BC=AB+BC+CD=AD,

OC-OA+CD=AC+CD=AD-

故選：A.

3.(23-24高一下?廣東江門?階段練習(xí))化簡(jiǎn)：O3-(AC+OA)=.

【答案】C/-BC

【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解.

【詳解】OB-^AC+OA^=OB-^AC-AO)=OB-OC=CB.

故答案為：CB

高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘

典型例題

12

例題1.(23-24高一下?湖北?階段練習(xí))在△ABC中，記他二。，AC=b^&BE=-BC,=石，則族=

()

21,2112]12,

A.—aH—bB.-a—7bC.-a—bD.—QH—b

33333333

【答案】A

2

【分析】先用表示AE，然后利用AF=耳AE得到Ab的表達(dá)式，最后利用3尸=4/_岫得到8尸的表

達(dá)式.

【詳解】由2E=gBC,得AE=8E+AB=gBC+AB=；bAB+AC)+A8=g(A8+AC)=g(a+6),

又因?yàn)锳b=§AE=§(a+6),

^.BF=AF-AB^^a+b)-a^-^a+^b,A正確.

故選：A.

例題2.(2024高一?江蘇?專題練習(xí))化簡(jiǎn)下列各式：

⑴3(2Q—b)—2(4a-3b)；

113

(2)—(4a+3Z?)-—(3a-b)-^b；

(3)2(3a—4》+c)—3(2〃+b-3c).

【答案】⑴-2。+3〃

⑵-

o

⑶-1g+llc

【分析】利用向量的數(shù)乘運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】(1)3(2tz-Z?)-2(4^-3Z?)=6a-3b-Sa+6b=-2a+3b；

1/.\1/_\343131

(z2)x—4Q+36——\3a7-b\——Tb=—a+7b——a+—7b——7b=——a；

3、,2、