高考數學二輪復習講義：平面向量（學生版+解析）

專題二第1講平面向量

【要點提煉】

考點一平面向量的線性運算

1.平面向量加減法求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”.對平面

向量減法應抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉

化，即可快速得到結果.

2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于

代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.

【熱點突破】

【典例】1(1)如圖所示，AD是4ABC的中線，。是AD的中點，若而=入藍+口語，其中X,

UGR,則入十口的值為()

BDC

(2)已知e*ez是不共線向量,a=mei+2e”b=nei—ez,且mnWO.若2〃1),則;=.

(3)A,B,C是圓。上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D,若無=入苗+口而(AGR,

PGR),則A+p的取值范圍是.

【拓展訓練】1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F分別為邊AB,BC的中點，連接CE,

DF,交于點G.若氏=入而+□而(入，口GR),則$.

J[-?->―>

⑵如圖，在扇形OAB中，ZAOB=—,C為弧AB上的一個動點，若OC=xOA+yOB,則x+3y

U

的取值范圍是

【要點提煉】

考點二平面向量的數量積

1.若a=(x,y),則|a|=y/a?-二:乂之+丫2.

2.若A(xi,yi),B(X2,y2),則|AB|=、/—x2—Xi―M-―y2—yi

3.若a=(xi,yi),b=(x2,y2),。為a與b的夾角，

a?bxiX2+yj2

則cos

IaIIb|y^d+yly[xl+yl'

【熱點突破】

【典例】2(1)(2020?全國ni)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,a*b=—6,則cos(a,

a+b)等于()

31191719

A.B.—C—D—

35353535

(2)已知扇形OAB的半徑為2,圓心角為等，點C是弧AB的中點，OD=-1oB,則麗?誦的

o/

值為()

A.3B.4C.-3D.-4

(3)已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2,NADC=90°,若點M在線段AC上，則|誦十

而I的取值范圍為.

【拓展訓練】2⑴（2019?全國I）已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且（a—b），b,則a

與b的夾角為（）

兀JI2兀5兀

A.-B.-C."z-D.-

6336

（2）（2020?新高考全國I）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則邪?誦的取值

范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

（3）設A,B,C是半徑為1的圓。上的三點，且誦，施，則（前一充）?（前一施）的最大值是（）

A.1+72B.1一巾C.y[2~lD.1

專題訓練

一、單項選擇題

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E為邊CD的中點，則施等于（）

1—?—?1—?

A.--AB+ADB.-AB-AD

—?1—?—?1—?

C.AB+-ADD.AB--AD

2.（2020?廣州模擬）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分，某學生做引體向

JI

上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為了,每只胳膊的拉力大小均為400N,

則該學生的體重（單位:kg）約為（參考數據：取重力加速度大小為g=10m/s2,y/3^1.732）（）

A.63B.69C.75D.81

3.已知向量a=（1,2）,b=（2,—2）,c=（入，—1）,若c〃（2a+b）,則人等于（）

11

-2-XI---

A.B.C.2D.2

4.(2020?濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，點1),將向量0P繞點0按逆時針方

ji—?

向旋轉了后得到向量0Q，則點Q的坐標是()

A.1)B.(―1,A/2)C.(—^3,1)D.(―1,^3)

5.(2020?泰安模擬)如圖，在AABC中，點0是BC的中點，過點0的直線分別交直線AB,

AC于不同的兩點M,N,若嬴=m嬴，AC=nAN,則m+n等于()

A.0B.1C.2D.3

6.在同一平面中，AD=DC,施=2而.若蕊=m誦+n病(m,nER),則m+n等于()

235

A.~B.TC.TD.1

346

7.若P為AABC所在平面內一點，且|說一而|=|誠+而一2講則AABC的形狀為()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.已知P是邊長為3的等邊三角形ABC外接圓上的動點，貝「PA+PB+2PC|的最大值為

()

A.2^/3B.373C.4-73D.573

9.如圖，圓0是邊長為2的的等邊三角形ABC的內切圓，其與BC邊相切于點D,點M為圓

上任意一點，BM=xBA+yBD(x,yGR),則2x+y的最大值為()

A.72B.#C.2D.2y12

二、多項選擇題

10.（2020?長沙模擬）已知a,b是單位向量，且a+b=（l,-1）,貝M）

A.|a+b|=2

B.a與b垂直

ji

C.a與a—b的夾角為才

D.|a—b|=1

11.設向量a=（k,2）,b=（l,-1）,則下列敘述錯誤的是（）

A.若k<—2,則a與b的夾角為鈍角

B.|a|的最小值為2

C.與b共線的單位向量只有一個為隹，一書

D.若|a|=2|b|,則k=2/或一2位

12.已知4ABC是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC,AB上的兩點，且靠=施，AD=2DC,

BD與CE交于點0,則下列說法正確的是（）

A.AB?CE=-1

B.0E+0C=0

C.OA+OB+OCl

7

D.而在前方向上的投影為工

三、填空題

13.（2020?全國H）已知單位向量a,b的夾角為45°,ka—b與a垂直，則k=

14.在4ABC中，AB=1,NABC=60°，藍?誦=—1,若0是AABC的重心，則前?AC=.

15.（2020?石家莊模擬）在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點0

為AABC的外接圓的圓心，A=2，且而=入短+口說，則人口的最大值為.

16.（2020?浙江）已知平面單位向量ei,e2滿足|2ei—e21W/,設a=ei+e2,b=3ei+e2,

向量a,b的夾角為。，則cos29的最小值是.

專題二第1講平面向量

【要點提煉】

考點一平面向量的線性運算

1.平面向量加減法求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”.對平面

向量減法應抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉

化，即可快速得到結果.

2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于

代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.

【熱點突破】

【典例】1⑴如圖所示，AD是AABC的中線，。是AD的中點，若而=入誦+口藍，其中人，

uGR,則入+口的值為()

1

2-

11

--

C.4D.4

【答案】A

【解析】由題意知，CO=1(CD+CA)=1-X|cB+CA

1m*

-2

4-1-

131

則

故

入

--U---入+U---

*2

4?4J

(2)已知ei,e2是不共線向量，a=mei+2e2,b=nei—e2,且mnWO.若@〃1),則工=.

n

【答案】-2

【解析】Va/7b,AmX(—1)=2Xn,/.-=—2.

n

(3)A,B,C是圓。上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D,若而=入而+口而(AeR,

NCR),則A+口的取值范圍是.

【答案】(1,+8)

【解析】由題意可得，OD=kOC=kXOA+kuOB(O<k<l),又A,D,B三點共線，所以kA

+ku=1,則入+口=(>1,即入+口的取值范圍是(1,+°°).

易錯提醒在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理恰當地選取基底，變形要

有方向，不能盲目轉化.

【拓展訓練】1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F分別為邊AB,BC的中點，連接CE,

———X

DF,交于點G.若CG=ACD+uCB(A,ueR),則==________

DC

/"

AEB

【答案】1

【解析】由題意可設比=x^(0〈x〈l),

則說=x(通+11)=x(^CB+|cDj=|cD+xCB.

因為說=人而+口詼，而與海不共線，

xX1

所以入=5，口=x,所以1~=g?

JI

(2)如圖，在扇形OAB中，ZAOB=—.C為弧AB上的一個動點,若而=x6X+y6§,則x+3y

O

的取值范圍是________.

幺：

【答案】[1,3]

【解析】設扇形的半徑為1,以OB所在直線為x軸，0為坐標原點建立平面直角坐標系(圖

略)，

則B(l,0),A，，C(cos

0,sin0)

(其中NBOC=0,0^0

0)={?當+y(i'。)'

則OC=(cos。，sin

x

~+y=cos0,

即《廠

V3.A

-^-x=sin8,

解得X=溝?V^sin°

y—cos8a，

o

故x+3y上曾亡1—

-+3cos0^/3sin。

JI

—3cos日\sin9,0^9^―

u

理?0

令g(9)—3cos0\sine，

u

、歷「71-

易知g(0)=3cos0一邛sin。在0,可上單調遞減,

故當0=0時，g(0)取得最大值為3,

JI

當。=彳時，g(9)取得最小值為1,

O

故x+3y的取值范圍為[1,3].

【要點提煉】

考點二平面向量的數量積

1.若a=(x,y),則|a|="a?a=Nx?+y2.

2.若A(xi,yi),B(X2,y2),則|AB|=、/~x2—xi~~y2—yi

3.若a=(xi,yi),b=(x2,y2),。為a與b的夾角，

a?bxiX2+yj2

則cos

IaIIb|yx：+yNx；+yV

【熱點突破】

【典例】2(1)(2020?全國HI)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,a*b=—6,則cos(a,

a+b)等于()

31191719

A————R———r——n——

35353535

【答案】D

【解析】V|a+b|2=(a+b)2=a2+2a?b+b2

=25—12+36=49,

|a+b|=7,

a,?a+b____a^+a?b

.,.cos(a,a+b〉

|a||a+b||a||a+b|

25-619

5X7=35'

⑵已知扇形OAB的半徑為2,圓心角為受，點C是弧AB的中點，OD=-1()B,則麗?誦的

值為()

A.3B.4C.-3D.-4

【解析】如圖，連接co,

?:點C是弧AB的中點,

ACOXAB,

又：0A—OB—2,0D-?B,ZAOB-3,

ACD?AB=(OD-OC)?AB

=-1()B?AB=-1oB?(OB-OA)

=頡?OB-|oB2

=1x2X2X^-1x4=-3.

(3)已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2,ZADC=90°,若點M在線段AC上，貝/蕊+

而1的取值范圍為________________.

【答案】［羋，2$

【解析】以A為坐標原點，AB,AD所在直線分別為x軸，y軸，

建立如圖所示的平面直角坐標系，

X

則A(0,0),B(2,0),C(l,2),D(0,2),

設AM=AAC(OW入Wl),則M(A,2A),

故MD=(一入，2—2A)，MB=(2—A.,—2A,),

則施+疝=(2—2A,2-4X),

|施+浦|=72-2\~2+2-4X~5

當入=0時，|而+而|取得最大值為人也,

當A=|時，|誦+浦|取得最小值為羋，

|MB+MD|

易錯提醒兩個向量的夾角的范圍是［0,在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向

量的夾角可能是0或口的情況,如已知兩個向量的夾角為鈍角時,不僅要求其數量積小于零，

還要求不能反向共線.

【拓展訓練】2⑴（2019?全國I）已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且（a—b）J_b,則a

與b的夾角為（）

JIJI2兀5兀

A.-B.-C.~~z~D.

6336

【答案】B

【解析】方法一設a與b的夾角為。，

因為(a—b)_Lb,所以(a—b)?b=a?b—|b「=0,

又因為|a|=2|b|,所以21bl2cos0—|b|2=0,

±1

即cos0--

-zo

兀

所以

故選

又oe-o0--B

-JI3

方法二如圖，令OA=a,OB=b,貝ljBA=OA—OB=a—b.

B

,Tl

因為(a—b)_Lb,所以NOBA="y,

JI

又|a|=2|b|,所以NAOB=§,

即a與b的夾角為故選B.

(2)(2020?新高考全國I)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則靠-AB的取值

范圍是()

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，

則A(0,0),B(2,0),C(3,小),F(-l,小).

設P(x,y),則邪=(x,y),AB=(2,0),且一l(x<3.

所以靠?誦=(x,y)?(2,0)=2xd(—2,6).

⑶設A,B,C是半徑為1的圓。上的三點，且誦，麗，則(而一6X)?(無一施)的最大值是()

A.1~b~\[2B.1—\^2

C.y/2-1D.1

【答案】A

【解析】如圖，作出而，使得本+5&=而.則(前一5X)?(OC-OB)=6C2-OA?0C-0B?OC+

6A-6B=I-（6A+OB）-OC=I-6D-OC,由圖可知，當點c在OD的反向延長線與圓o的交點

處時，而?而取得最小值，最小值為一鏡,此時（前一5X）?（而一施）取得最大值，最大值為

1+^2.故選A.

專題訓練

一、單項選擇題

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E為邊CD的中點，則施等于（）

1一一1一一

A.--AB+ADB-AB-AD

—?1——?1—?

C.AB+-ADD.AB--AD

【答案】A

【解析】由題意可知，BE=BC+CE=—1AB+AD.

2.（2020?廣州模擬）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分，某學生做引體向

JI

上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為彳,每只胳膊的拉力大小均為400N,

則該學生的體重（單位:kg）約為（參考數據：取重力加速度大小為g=10m/s2,小732）（）

A.63B.69C.75D.81

【答案】B

【解析】設該學生的體重為m,重力為G,兩臂的合力為F',貝U|G|=|F'|,由余弦定理

23T

得F|2=4002+4002-2X400X400Xcos-=3X4002,A\F'\=400^3,A|G|=mg=

o

400^3,69kg.

3.已知向量a=（l,2）,b=（2,-2）,c=（入，—1）,若c〃（2a+b）,則人等于（）

11

-2-1---

A.B.Xc.2D.2

【答案】A

【解析】'.'a—(1,2),b=(2,—2),；.2a+b=(4,2),又c=(A,—1),c/7(2a+b),

.\2X+4=0,解得入=-2,故選A.

4.（2020?濰坊模擬）在平面直角坐標系xOy中，點P（/,1）,將向量而繞點。按逆時針方

JIf

向旋轉了后得到向量0Q，則點Q的坐標是（）

A.(一y[^,1)B.(―1,C.(—^3,1)D.(―1,

【答案】D

【解析】由P(/,1),得P(2cos瓦，2sin-I

->ji—>

.將向量0P繞點0按逆時針方向旋轉萬后得到向量0Q,

1

21

；.Q(T,^3).

5.（2020?泰安模擬）如圖，在AABC中，點0是BC的中點，過點0的直線分別交直線AB,

AC于不同的兩點M,N,若誦=嬴，AC=nAN,則m+n等于（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】如圖，連接AO,由。為BC的中點可得，AO=1(AB+AC)

m->.ri-

=-AM+-AN,

VM,0,N三點共線,

.mn

?,1+]=L

?*.m+n=2.

6.在同一平面中，AD=DC,前=2前.若靠=m屆+n靠(m,nER),則m+n等于()

235

A.-B.-C.-D.1

346

【答案】A

【解析】由題意得，AD=；AC,DE=：DB,r^AE==AD+DE=^AC+~DB=-AC(AB—AD)=~AC

乙j乙j乙j乙

1昨1112

誦

2-4AB3+3-Ac3-n-3-3-

7.若P為AABC所在平面內一點，且|PA-PB|=|PA+PB—2PC|,則AABC的形狀為()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】V|PA-PB|=|PA+PB-2PC|,A|BA|=|(PA-PC)+(PB-PC)|=|d+CB|,BPlCA-

CBl=|CA+CB|,兩邊平方整理得，CA-CB=O,ACAXCB,ZiABC為直角三角形.故選C.

8.已知P是邊長為3的等邊三角形ABC外接圓上的動點，則|PA+PB+2PC|的最大值為

()

A.2y[3B.3事C.4/D.5小

【答案】D

【解析】設△ABC的外接圓的圓心為0,

則圓的半徑為近0A+0B+0C=0,

2

故前+而+2證=4歷+前.

又|4P0+0C|2=51+8的?06^51+24=75,

故|PA+PB+2PC|W5m,

當的，而同向共線時取最大值.

9.如圖，圓。是邊長為2娟的等邊三角形ABC的內切圓，其與BC邊相切于點D,點M為圓

上任意一點，BM=xBA+yBD(x,y^R),則2x+y的最大值為()

A.y[2B.小C.2D.2^2

【答案】C

【解析】方法一如圖，連接DA,以D點為原點，BC所在直線為x軸，DA所在直線為y

軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.設內切圓的半徑為r,則圓心為坐標(0,r),

根據三角形面積公式，得gxiAMXr=gxABXACXsin600(匕愀為4ABC的周長)，解得r

=1.

易得B(一0),C他,0),A(0,3),D(0,0),

設M(c,os9,1+sin9),9G[0,2Ji),

則前=(cos0+y[3,1+sin6),前=(小，3),BD=(73,0),

故BM=(cos9+y[3,1+sin9)=(-\[3x+\[3y,3x),

故F.ose=y[3x+\[3y~y[3,

[sin0=3x—1,

〃1+sin0

X=3

則〈r

?3cosJsin92

J=3-

所以2x+y=%i

sin-9-4=-2J<0吟U4-.

-rsi+y<2

JI

當。一時等號成立.故2x+y的最大值為2.

方法二因為而=x§X+y而，

所以|BM|2=3(4x2+2xy+y2)=3[(2x+y)2—2xy].

由題意知，x20,y20,

BM|的最大值為N2/=/2=3,

、/2x+y2—2x+y2

又---------22xy,即-----------<-2xy,

3

所以3X](2x+y)2W9,得2x+yW2,

當且僅當2x=y=l時取等號.

二、多項選擇題

10.(2020?長沙模擬)已知a,b是單位向量，且a+b=(l,-1),貝lj()

A.|a+b|=2

B.a與b垂直

C.a與a—b的夾角為彳

D.|a—b|=1

【答案】BC

【解析】|a+b|=，l?+—12=小,故A錯誤；因為a,b是單位向量，所以|a「十|b「

+2a,b=l+l+2a,b=2,得a,b=0,a與b垂直，故B正確；|a—b-=a2+b'—2a,b

a?a,1b

=2,|a—b|=/,故D錯誤；cos〈a,a—b)所以a與a

|a||a—b|

JI

一b的夾角為w，故C正確.

11.設向量a=(k,2),b=(l,-1),則下列敘述錯誤的是()

A.若k〈一2,則a與b的夾角為鈍角

B.|a|的最小值為2

c.與b共線的單位向量只有一個為伴,

D.若|a|=2|b|,則k=2鏡或一2小

【答案】CD

【解析】對于A選項，若a與b的夾角為鈍角，則a?b〈0且a與b不共線，則k—2<0且

k￥—2,解得k<2且kW—2,A選項正確；對于B選項，|a|=.』+42/=2,當且僅當k

=0時等號成立，B選項正確；對于C選項，出|=鏡，與b共線的單位向量為,即與

b共線的單位向量為fg,

啊一事，c選項錯誤;對于D選項，|a|=2|b|=

2

2/,：.yjk+4=2y/2f解得k=±2,D選項錯誤.

12.已知4ABC是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC,AB上的兩點，且靠=而，AD=2DC,

BD與CE交于點0,則下列說法正確的是（）

A.AB?CE=-1

B.0E+0C=0

c.|6A+6B+6C|

7

D.ED在前方向上的投影為R

b

【答案】BCD

【解析】因為靠=魂，ZXABC是等邊三角形，

所以CELAB,所以靠?無=0,選項A錯誤；

以E為坐標原點，EA,證的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，

所以E(0,0),A(l,0),B(-l,0),C(0,小),D|

設0(0,y),ye(0,?

則而=(i,y),56=^—I，y—耳目，

又冊〃而，所以y—半=—1y,解得y=坐，

即0是CE的中點，OE+OC=O,所以選項B正確;

|OA+OB+OC|=12OE+OC|=|OE|=乎,

所以選項c正確;

ED=^j,斗目，BC=(L6),15在前方向上的投影為——BC=1^_=(,所以選項D正確.