24.3 銳角三角函數(shù) 同步練習(xí)

第24章解直角三角形24.3銳角三角函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的概念1.(2023吉林長春二道期末)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，則cosB的值為()A.24 B.3 C.13 2.在商周時(shí)期就有了用來攀登城墻的設(shè)備——云梯，后來被魯國人魯班改進(jìn).如圖，梯子(長度不變)與地面所成的銳角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，敘述正確的是()A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡 D.傾斜程度與∠A的函數(shù)值無關(guān)3.(2023福建漳州外國語學(xué)校期末)如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列選項(xiàng)中不等于sinA的是()A.CDAC B.CBAB C.BDCB4.(2023四川眉山仁壽月考)如圖，P是∠α的邊OA上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，sinα=45，則tanαA.35 B.34 C.435.(2023河南南陽十三中期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果sinA∶sinB=2∶3，那么a∶b等于.

6.(2023四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校西區(qū)月考)如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是.

7.(2023河南南陽西峽月考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求sinA，cosA，tanA的值.知識點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值8.(2023海南海口中學(xué)期末)β為銳角，且2cosβ-1=0，則β=()A.30° B.60° C.45° D.37.5°9.(2023湖南衡陽船山實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)下列運(yùn)算中，值為14A.sin45°×cos45° B.tan45°-cos230° C.tan30°cos60° D.(tan60°)10.(2023河南鶴壁?？h期末)在△ABC中，若sinA-32+12?cosB2=0，∠A，∠B都是銳角，則△ABC是11.計(jì)算下列各式的值：(1)(2023山西晉城陵川月考)12sin30°+22cos45°-2tan30°·tan60(2)(2023陜西延安新區(qū)三中期末)2sin260°·tan30°+cos230°-tan45°.12.(2023吉林長春綠園月考)若sin(α+15°)=32(α是銳角)(1)求出α的值；(2)計(jì)算：8-4cosα-(π-3.14)0+tanα+13知識點(diǎn)3計(jì)算器在銳角三角函數(shù)中的應(yīng)用13.(2021山東威海中考)若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin36°18'，按鍵順序正確的是()A.sin36·18= B.sin36DMS18= C.2ndFsin36DMS18= D.sin36DMS18DMS=14.(2023福建泉州南安月考)已知tanA=0.85，用計(jì)算器求∠A的大小，下列按鍵順序正確的是()A.2ndFtan0·85= B.2ndF0·85tan= C.tan2ndF0·85= D.tan0·852ndF=15.如圖，臺風(fēng)來臨后，一根長為5.5米的豎直木桿在離地面2.1米處折斷，木桿頂端A落在地面上，則AB與地面所成的銳角約為°.(結(jié)果保留整數(shù))

能力提升全練16.(2022天津中考)tan45°的值等于()A.2 B.1 C.22 D.17.(2022湖北荊州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC∶BC=1∶2，連結(jié)AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P.若P(1，1)，則tan∠OAP的值是()A.33 B.22 C.118.(2023吉林長春農(nóng)安期末)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論為.(填序號)

19.(2022河南南陽模擬)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，其中直角三角形中較大的銳角度數(shù)為α.若小正方形與大正方形的面積比是1∶9，則|sinα-cosα|=.

20.計(jì)算下列各式的值：(1)(2023陜西西安碑林鐵一中期末)sin45°+cos30°3?2cos60°-sin30°×(cos45°-sin60°)(2)(2022山西臨汾侯馬模擬)1?2tan60°+tan260°21.(2023吉林長春東北師大附中凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末)在△ABC中，∠B、∠C均為銳角，其對邊分別為b、c，求證：bsinB=22.(2023四川樂山夾江期末)如圖，直線y=12x+32與x軸交于點(diǎn)A，與直線y=2x(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求sin∠BAO的值.素養(yǎng)探究全練23.如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-1x，y=3x的圖象交于B，A兩點(diǎn)，求證：∠OAB

第24章解直角三角形24.3銳角三角函數(shù)答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3BC，∴cosB=BCAB=BC3BC2.A根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律可知，sinA的值越大，梯子越陡.3.D∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC=90°，sinA=CDAC=CB∴∠BAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴sinA=sin∠DCB=DBCB.故選D4.C本題在直角坐標(biāo)系中求銳角的三角函數(shù)值.如圖，由sinα=PQOP=45可設(shè)PQ=4a，OP=5a(a>0)，∵OQ=3，∴由OQ2+PQ2=OP2可得32+(4a)2=(5a)2，解得a=1(負(fù)值舍去)，∴PQ=4，OP=5，∴tanα=PQOQ5.2∶3解析在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∴sinA=ac，sinB=b∵sinA∶sinB=2∶3，∴ac∶bc=2∶3，∴a∶b=2∶6.10解析解法1：(構(gòu)造直角三角形求解)如圖，過A作BO的垂線，交OB的延長線于點(diǎn)C，則∠ACO=90°，AC=12+12=2，AO=22+42sin∠AOB=ACAO=225解法2：(等面積法求解)如圖，過B作BC⊥OA于C，過O作OE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，則AO=22+42=25，OB=22+22=22，∵S△ABO=12·AB∴2×2=25·BC，∴BC=255，∴sin∠AOB=BCOB=27.解析∵∠C=90°，AC=4，BC=2，∴AB=BC2+AC2=22+42=25∴sinA=BCAB=225=55，cosA=ACAB8.B∵2cosβ-1=0，∴cosβ=12，∵β為銳角，∴β=609.Bsin45°×cos45°=22×22=12，故選項(xiàng)A不符合題意；tan45°-cos230°=1-322=1-34=14，故選項(xiàng)B符合題意；tan30°cos60°=3312=233，故選項(xiàng)C不符合題意；10.等邊解析∵sinA-32+12?cosB2=0，∴sinA=32，cosB=12，∵∠A∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形.11.解析(1)原式=12×12+22×22-2×33×3=1(2)原式=2×322×33+322-1=32+12.解析本題易由sin(α+15°)=32，誤認(rèn)為α=60°，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤(1)∵sin(α+15°)=32(α是銳角)，∴α+15°=60°，∴α=45(2)8-4cosα-(π-3.14)0+tanα+13?1=8-4cos45°-(π-3.14)tan45°+13?1=22-4×213.D先按鍵“sin”，再輸入角的度數(shù)，按鍵“=”即可得到結(jié)果.14.A15.38解析由題意知BC=2.1米，AB=5.5-2.1=3.4米.在Rt△ABC中，sinA=BCAB=2.13.4≈0.62，利用計(jì)算器求得∠A能力提升全練16.Btan45°的值等于1.17.C如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP∶AC=OC∶BC=1∶2，∵∠AOC=∠AQP=90°，∴CO∥PQ，∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2，∵P(1，1)，∴PQ=OQ=1，∴AO=2，∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=18.①②③④解析∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，sinβ=sinC，故①②正確；∵在Rt△ABC中，sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正確；∵sinα=sinB，cosβ=sinB，∴sinα=cosβ，故④正確.19.1解析如圖，∵小正方形與大正方形的面積比是1∶9，∴小正方形與大正方形的邊長比是1∶3，設(shè)小正方形的邊長為a，則大正方形的邊長為3a，∴AB=3a，CD=a，在Rt△ABC中，sinα=ACAB，cosα=BC∴|sinα-cosα|=ACAB?BCAB=AC?BCAB=AC20.解析(1)原式=22+323?2×12-12×22(2)原式=tan60°-1-4×123?1=321.證明如圖，過A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB=ADAB，∴AD=AB·sinB在Rt△ADC中，sinC=ADAC，∴AD=AC·sinC，∴AB·sinB=AC·sinC，∵AB=c，AC=b∴csinB=bsinC，∴bsinB=22.解析本題綜合考查銳角三角函數(shù)值與一次函數(shù)，容易忽略直角三角形的條件，從而出現(xiàn)sin∠BAO=BOAB的錯(cuò)誤(1)解方程組y=12x+32,(2)如圖，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于C，在y=12x+32中，當(dāng)y=0時(shí)，12x+32=0，解得x=-3，則A∴OA=3，∵OC=1，BC=2，∴AB=AC2+∴sin∠BAC=BCAB=225即sin∠BAO=55素養(yǎng)探究全練23.證明如圖，分別過