專項(xiàng)24-弧長(zhǎng)與扇形的面積-重難點(diǎn)題型

弧長(zhǎng)與扇形的面積-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1弧長(zhǎng)與扇形的面積】圓的周長(zhǎng)圓的弧長(zhǎng)圓的面積扇形面積為圓的半徑；為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；為扇形的弧長(zhǎng)【題型1弧長(zhǎng)的計(jì)算】【例1】（廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（）A．π9 B．7π18 C．7π9【變式1-1】（畢節(jié)市）某小區(qū)內(nèi)的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，AB，CD所在圓的圓心為O，點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣AB的長(zhǎng)為（）A．8πm B．4πm C．323πm D．163【變式1-2】（余姚市一模）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，則BC的弧長(zhǎng)為（）A．53π B．52π C．32π 【變式1-3】（西湖區(qū)期末）如圖，將正方形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在正方形ABCD的對(duì)角線上，若AD＝33，則CF的長(zhǎng)為（）A．36π8 B．36π4【題型2弧長(zhǎng)計(jì)算中的最值問(wèn)題】【例2】（安陽(yáng)二模）如圖，半圓O的直徑AB＝2cm，AC=2BC，點(diǎn)E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于點(diǎn)F，OH＝EF，則圖中陰影部分周長(zhǎng)的最大值為cm【變式2-1】（遼寧模擬）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)．若OB＝2，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為．【變式2-2】（鄧州市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∠CAD＝30°，點(diǎn)P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PC，PD，CD所圍成的圖形周長(zhǎng)最小值為．【變式2-3】（諸城市二模）如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點(diǎn)，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點(diǎn)P為BC垂直平分線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)最小值為．【題型3扇形面積的計(jì)算】【例3】（東營(yíng)）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為．【變式3-1】（宜昌）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形．如圖，以邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”，該“萊洛三角形”的面積為平方厘米．（圓周率用π表示）【變式3-2】（邵陽(yáng)縣模擬）如圖，半圓的直徑AB長(zhǎng)為6cm，O是圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是AC上的點(diǎn)，若∠ADC＝108°，則扇形OAC的面積為．（結(jié)果保留π．）【變式3-3】（霍邱縣一模）如圖，從一塊半徑是13cm的圓形鐵皮（⊙O面）上剪出一個(gè)圓心角（∠BAC）為60°的扇形BAC，點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O的圓周上，若OA＝2cm，則所剪出扇形的面積等于cm2．【題型4求不規(guī)則圖形陰影部分的面積】【例4】（南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）扇子在我國(guó)已經(jīng)有三、四千年的歷史，中國(guó)扇文化有豐富的文化底蘊(yùn)．如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB、AC夾角為150°．AB的長(zhǎng)為30cm，扇面BD的長(zhǎng)為20cm，則扇面的面積為cm2．【變式4-1】（洛陽(yáng)一模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以O(shè)B為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OA的平行線分別交兩弧于點(diǎn)D、E，則陰影部分的面積為．【變式4-2】（河南模擬）如圖1，是一枚殘缺的古代錢幣，如圖2，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，錢幣完好部分的弧長(zhǎng)為3π，其內(nèi)部正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．已知正方形ABCD的中心與⊙O的圓心重合，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-3】（衛(wèi)輝市二模）已知，如圖，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝4，若以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧交弧AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為．

弧長(zhǎng)與扇形的面積-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1弧長(zhǎng)與扇形的面積】圓的周長(zhǎng)圓的弧長(zhǎng)圓的面積扇形面積為圓的半徑；為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；為扇形的弧長(zhǎng)【題型1弧長(zhǎng)的計(jì)算】【例1】（廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（）A．π9 B．7π18 C．7π9【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠B的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，可以得到∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=nπr180，即可計(jì)算出【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠B＝70°，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝70°，∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，∵AB＝2，AB為⊙O的直徑，∴OA＝OB＝OE＝1，∴AE的長(zhǎng)為：140π×1180故選：C．【變式1-1】（畢節(jié)市）某小區(qū)內(nèi)的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，AB，CD所在圓的圓心為O，點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣AB的長(zhǎng)為（）A．8πm B．4πm C．323πm D．163【分析】根據(jù)線段的和差得到OA＝OC+AC，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴彎道外邊緣AB的長(zhǎng)為：120?π×16180=32π故選：C．【變式1-2】（余姚市一模）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，則BC的弧長(zhǎng)為（）A．53π B．52π C．32π 【分析】求出∠BAC，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝140°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，∴BC的長(zhǎng)=100?π?3180故選：A．【變式1-3】（西湖區(qū)期末）如圖，將正方形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在正方形ABCD的對(duì)角線上，若AD＝33，則CF的長(zhǎng)為（）A．36π8 B．36π4【分析】連接AC，AF，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠DAC＝45°，AD＝DC＝33，∠ADC＝90°，求出A、D、F三點(diǎn)共線，A、E、C三點(diǎn)共線，求出∠FAC＝45°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出答案即可．【解答】解：連接AC，AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，AD＝DC＝33，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AC=AD2∵將正方形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在正方形ABCD的對(duì)角線上，∴A、D、F三點(diǎn)共線，A、E、C三點(diǎn)共線，∴∠FAC＝45°，∴CF的長(zhǎng)是45π×36故選：B．【題型2弧長(zhǎng)計(jì)算中的最值問(wèn)題）】【例2】（安陽(yáng)二模）如圖，半圓O的直徑AB＝2cm，AC=2BC，點(diǎn)E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于點(diǎn)F，OH＝EF，則圖中陰影部分周長(zhǎng)的最大值為（π3+【分析】連接OE，可證四邊形HOEF是平行四邊形，則DF+AH+HF＝2cm，所以當(dāng)E與C點(diǎn)重合時(shí)，AD弧的長(zhǎng)最大，可求∠BOC＝60°，即可求AD弧的長(zhǎng)=π3【解答】解：連接OE，∵DE∥AB，OH＝EF，∴四邊形HOEF是平行四邊形，∴HF＝OE，∵HO＝EF，∴DF+AH＝AO，∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，∵AB＝2cm，∴DF+AH+HF＝2cm，∵點(diǎn)E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)E與C點(diǎn)重合時(shí)，AD弧的長(zhǎng)最大，此時(shí)陰影部分周長(zhǎng)最大，∵AC=2BC∴∠BOC＝60°，∴AD弧的長(zhǎng)=60π×1180∴陰影部分周長(zhǎng)的最大值為（π3+2）故答案為：π3【變式2-1】（遼寧模擬）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)．若OB＝2，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為22+π【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)最小，此時(shí)的最小值為弧CD的長(zhǎng)與CD′的長(zhǎng)度和，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交OB于點(diǎn)E′，連接E′D、OD′，此時(shí)E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由題意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′=OC2∴CD的長(zhǎng)l=30π×2∴陰影部分周長(zhǎng)的最小值為22+故答案為：22+【變式2-2】（鄧州市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∠CAD＝30°，點(diǎn)P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PC，PD，CD所圍成的圖形周長(zhǎng)最小值為53+5π【分析】PC，PD，CD所圍成的圖形周長(zhǎng)是PC+PD+CD．由于∠CAD＝30°，連接OD，根據(jù)圓周角定理可得∠COD＝60°，那么弧CD的長(zhǎng)為定值，所以PC+PD取最小值時(shí)PC，PD，CD所圍成的圖形周長(zhǎng)最?。鼽c(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，連接DC′交AB于P，此時(shí)PC+PD的值最小，最小值為DC′的長(zhǎng)，解直角△DCC【解答】解：如圖，連接OD．∵∠CAD＝30°，連接OD，根據(jù)圓周角定理可∴∠COD＝60°，又AB是⊙O的直徑，且AB＝10，∴CD=作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，連接DC′交AB于P，此時(shí)PC+PD的值最小，最小值為DC′的長(zhǎng)．連接CD，則∠CDC′＝90°，∵∠C′＝∠CAD＝30°，∴CD=12CC′＝5，DC′=3CD∴PC，PD，CD所圍成的圖形周長(zhǎng)最小值為53+故答案為：53+【變式2-3】（諸城市二模）如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點(diǎn)，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點(diǎn)P為BC垂直平分線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)最小值為3+1【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知陰影部分的周長(zhǎng)的最小值為AC+CD，求出AC的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接AC，根據(jù)對(duì)稱的意義可知，PD+PC的最小值為AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∴AB=∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC=3?AB=所以陰影部分周長(zhǎng)的最小值為AC+CD=3故答案為：3+【題型3扇形面積的計(jì)算】【例3】（東營(yíng)）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為4π9【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠BEF，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝20°，又∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC=12∵BE＝EF，∴EF＝EC＝2，∴∠EFC＝∠ACB＝20°，∴∠BEF＝40°，∴扇形BEF的面積=40π×故答案為：4π9【變式3-1】（宜昌）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形．如圖，以邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”，該“萊洛三角形”的面積為（2π﹣23）平方厘米．（圓周率用π表示）【分析】圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積等于三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等邊三角形的面積，分別求出即可．【解答】解：過(guò)A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD=3BD=∴△ABC的面積為12BC?AD=3（厘米S扇形BAC=60π×22360∴萊洛三角形的面積S＝3×23π﹣2×3=（2π﹣2故答案為：（2π﹣23）．【變式3-2】（邵陽(yáng)縣模擬）如圖，半圓的直徑AB長(zhǎng)為6cm，O是圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是AC上的點(diǎn)，若∠ADC＝108°，則扇形OAC的面積為185π．（結(jié)果保留π【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC＝72°，由OB＝OC得出∠OCB＝∠OBC＝72°，從而求得∠AOC＝144°，然后根據(jù)扇形面積公式即可求得．【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC＝108°，∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝72°，∴∠AOC＝144°，∴扇形OAC的面積為：144π×32故答案為185π【變式3-3】（霍邱縣一模）如圖，從一塊半徑是13cm的圓形鐵皮（⊙O面）上剪出一個(gè)圓心角（∠BAC）為60°的扇形BAC，點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O的圓周上，若OA＝2cm，則所剪出扇形的面積等于92πcm2【分析】】連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，解直角三角形求得AB的長(zhǎng)，然后利用扇形的公式計(jì)算即可．【解答】解：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H．由對(duì)稱性可知，∠OAH＝30°，∵∠AHO＝90°，AO＝2cm，∴OH=12OA＝1（cm），AH=3OH=∴BH=OB2?OH∴AB＝33（cm），∴所剪出扇形的面積為：60π?(33)2360=故答案為92π【題型4求不規(guī)則圖形陰影部分的面積】【例4】（南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）扇子在我國(guó)已經(jīng)有三、四千年的歷史，中國(guó)扇文化有豐富的文化底蘊(yùn)．如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB、AC夾角為150°．AB的長(zhǎng)為30cm，扇面BD的長(zhǎng)為20cm，則扇面的面積為10003πcm2【分析】根據(jù)扇形的面積公式，利用扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝10cm，∵∠BAC＝150°，∴扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=150×π×3=10003π（cm故答案為10003π【變式4-1】（洛陽(yáng)一模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以O(shè)B為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OA的平行線分別交兩弧于點(diǎn)D、E，則陰影部分的面積為512π?3【分析】根據(jù)題意和圖形，作出合適的輔助線，即可求得陰影部分的面積．【解答】解：連接OE，∵∠B