【上海54】第一次月考A卷（考試版+解析）

2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考A卷·基礎(chǔ)知識達(dá)標(biāo)測（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：第24章、第25章（滬教版）5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，2．已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C． D．3．如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的長等于（）A．2 B．4 C． D．4．已知非零向量、、，下列條件中不能判定的是（）A． B． C．， D．，5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．6．在矩形ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．已知，那么＝．8．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的長是．9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，如果S△ADE＝4，S△BDF＝9，那么S△ABC＝．10．如圖，已知在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的中線，且相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥AC，那么＝．11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中點(diǎn)，CE⊥DE，AD＝5，BC＝11，則DC＝．12．如圖，斜坡AB的坡度i1＝1：，現(xiàn)需要在不改變坡高AH的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝米．13．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AB＝3AE，設(shè)，，那么＝．14．已知：如圖，EF∥AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，AB＝6，CD＝9，那么EF＝．15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么它的重心G到C點(diǎn)的距離是．16．如圖，某飛機(jī)在離地面垂直距離1000米的上空A處，測得地面控制點(diǎn)B的俯角為60°，那么飛機(jī)與該地面控制點(diǎn)之間的距離AB等于米（結(jié)果保留根號）．17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ABE＝∠C，DE∥AB，如果AB＝6，AC＝9，那么S△BDE：S△CDE的值是．18．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長線上，EF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點(diǎn)H．若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則的值為．三、解答題：（本大題共7題，19-22題每題10分，23-24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．計(jì)算：．20．已知x：y＝0.5：0.3，y：z＝：，求x：y：z．21．如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．22．如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線AB射到水池的水面B點(diǎn)后折射光線BD射到池底點(diǎn)D處，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光線AC射到水池的水面C點(diǎn)后折射光線CE射到池底點(diǎn)E處，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′為法線．入射光線AB、AC和折射光線BD、CE及法線MN、M′N′都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A到直線BC的距離為6米．（1）求BC的長；（結(jié)果保留根號）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（參考數(shù)據(jù)：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）23．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D．求：（1）線段AB的長；（2）tan∠DBA的值．24．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點(diǎn)，連接BO并延長交邊CD于點(diǎn)E．（1）①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．25．已知在正方形ABCD中，對角線BD＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上，DE＝DF．（1）如圖，如果∠EBF＝60°，求線段DE的長；（2）過點(diǎn)E作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，與BD交于點(diǎn)H．①求證：；②設(shè)BD的中點(diǎn)為點(diǎn)O，如果OH＝1，求的值．

2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考A卷·基礎(chǔ)知識達(dá)標(biāo)測（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題（共6小題）1．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.≠2×3，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．2．已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、當(dāng)a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、當(dāng)a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是＝，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡單．3．如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的長等于（）A．2 B．4 C． D．【分析】由“DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE”，可得出EF：DF＝2：5，由l1∥l2∥l3，利用平行線分線段成比例，可得出＝，代入AC＝12，EF：DF＝2：5，即可求出BC的長．【解答】解：∵DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE，∴EF：DF＝2：5．∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴BC＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．4．已知非零向量、、，下列條件中不能判定的是（）A． B． C．， D．，【分析】根據(jù)平行向量的定義逐一判斷即可．【解答】解：∵向量、、為非零向量，，∴與方向相同，∴，∵||＝2||，不能說明方向相同或相反，∴不能判定；∵，，∴；∵，，∴與方向相同，∴，故選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量，熟練掌握平行向量的定義是解題的關(guān)鍵．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinA＝＝＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．在矩形ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及向量的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，AO＝OC，∴，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查向量及矩形的性質(zhì)，熟練掌握向量及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）7．已知，那么＝．【分析】由，可設(shè)a＝3k，b＝4k，然后代入，化簡求解即可求得答案．【解答】解：∵，∴設(shè)a＝3k，b＝4k，∴＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，注意解此題的關(guān)鍵是掌握由，可設(shè)a＝3k，b＝4k的解題方法．8．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的長是．【分析】根據(jù)余弦值的定義即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由cosB＝得AB＝＝＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形，解此題的關(guān)鍵在于利用三角比的定義求解即可．9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，如果S△ADE＝4，S△BDF＝9，那么S△ABC＝．【分析】根據(jù)DE∥BC，DF∥AC推出判定△ADE∽△BDF的條件，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出AD與BD的比，再根據(jù)比例的性質(zhì)求出AD與AB之比，判定△ADE∽△ABC后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠ACB，∠BFD＝∠ACB，∴∠AED＝∠BFD，∴△ADE∽△DBF，∵S△ADE＝4，S△BDF＝9，∴，∴，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵，∴，∵S△ADE＝4，∴S△ABC＝25．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法和相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，已知在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的中線，且相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥AC，那么＝．【分析】根據(jù)AD、BE分別是BC、AC邊上的中線可得，根據(jù)FG∥AC可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵AD、BE分別是BC、AC邊上的中線，∴，DC＝BC，∵FG∥AC，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟記定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中點(diǎn)，CE⊥DE，AD＝5，BC＝11，則DC＝．【分析】利用兩角相等證明△ADE與△BEC相似，求出AE，根據(jù)勾股定理分別求出DE和CE，根據(jù)勾股定理進(jìn)而求出DC．【解答】解：∵直角梯形ABCD且AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵CE⊥DE，即∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，又∠AED+∠ADE＝90°，∴∠BEC＝∠ADE，∴△ADE∽△BEC，∴＝，∵E是腰AB的中點(diǎn)，AD＝5，BC＝11，∴BE=AE＝，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，DE＝＝4，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，CE＝＝4，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理，CD＝＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查三角形相似和直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到兩個三角形相似．12．如圖，斜坡AB的坡度i1＝1：，現(xiàn)需要在不改變坡高AH的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝米．【分析】根據(jù)斜坡AB的坡度i1＝1：和AB的值先求出AH，再根據(jù)斜坡AC的坡度i2＝1：2.4求出AC即可．【解答】解：∵i1＝1：，∴tan∠ABH＝，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝10＝5（米），∵坡度i2＝1：2.4，∴，即，解得CH＝12，∴AC＝＝13（米）．故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡腳問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AB＝3AE，設(shè)，，那么＝．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，從而得出，再根據(jù)AB＝3AE推出，再根據(jù)三角形運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴，∵AB＝3AE，∴BE＝，∴，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平面向量三角形運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．已知：如圖，EF∥AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，AB＝6，CD＝9，那么EF＝．【分析】證明△CEF∽△CAB，＝，同理可得＝，得到+＝1，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴＝，∴+＝+＝1，∴+＝1，解得：EF＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么它的重心G到C點(diǎn)的距離是．【分析】延長CG交AB于D，如圖，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到AD為AB邊上的中線，CG＝2DG，則CG＝AB，然后利用勾股定理計(jì)算出AB即可．【解答】解：延長CG交AB于D，如圖，∵G點(diǎn)為△ABC的重心，∴CD為AB邊上的中線，CG＝2DG，∴CD＝AB，∴CG＝CD＝AB，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∴CG＝×5＝，即三角形的重心G到C點(diǎn)的距離是．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．16．如圖，某飛機(jī)在離地面垂直距離1000米的上空A處，測得地面控制點(diǎn)B的俯角為60°，那么飛機(jī)與該地面控制點(diǎn)之間的距離AB等于米（結(jié)果保留根號）．【分析】根據(jù)題意可得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，從而可得∠ABC＝∠DAB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，∴∠ABC＝∠DAB＝60°，在Rt△ABC中，AC＝1000米，∴AB＝＝＝（米），∴飛機(jī)與該地面控制點(diǎn)之間的距離AB等于米，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ABE＝∠C，DE∥AB，如果AB＝6，AC＝9，那么S△BDE：S△CDE的值是．【分析】利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理求得線段AE的長，再利用平行線分線段成比例定理求得BD：CD的值，最后利用等高的三角形的面積比等于底的比的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠ABE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝4．∴EC＝AC﹣AE＝5．∵DE∥AB，∴，∴．∴S△BDE：S△CDE＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等高的三角形的面積比等于底的比的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長線上，EF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點(diǎn)H．若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則的值為．【分析】解題關(guān)鍵是作出輔助線，如解答圖所示：第1步：利用角平分線的性質(zhì)，得到BD＝CD；第2步：延長AC，構(gòu)造一對全等三角形△ABD≌△AMD；第3步：過點(diǎn)M作MN∥AD，構(gòu)造平行四邊形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關(guān)系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．【解答】解：已知AD為角平分線，則點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．∵＝＝＝＝，∴BD＝CD．如圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM＝AB，則有AC＝4CM．連接DM．在△ABD與△AMD中，，∴△ABD≌△AMD（SAS），∴MD＝BD＝CD．過點(diǎn)M作MN∥AD，交EG于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)K．∵M(jìn)N∥AD，∴＝＝，∴CK＝CD，∴KD＝CD．∴MD＝KD，即△DMK為等腰三角形，∴∠DMK＝∠DKM．由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1＝∠2；∵M(jìn)N∥AD，∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM＝∠3（對頂角），∴∠DMK＝∠4，∴DM∥GN，∴四邊形DMNG為平行四邊形，∴MN＝DG＝2FD．∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，AC＝4CM，∴＝．∵M(jìn)N∥AD，∴＝，即，∴＝．故答案為：．方法二：如圖，有已知易證△DFE≌△GFE，故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，所以∠3＝∠B，則可證△AGH∽△ADB設(shè)AB＝5a，則AC＝4a，AH＝2a，所以AG∶AD＝AH∶AB＝2∶5，而AD＝AG+GD，故GD∶AD＝3∶5，所以AG：GD＝2：3，F(xiàn)是GD的中點(diǎn)，所以AG：FD＝4：3．【點(diǎn)評】本題是幾何綜合題，難度較大，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．在解題過程中，需要綜合利用各種幾何知識，例如相似、全等、平行四邊形、等腰三角形、角平分線性質(zhì)等，對考生能力要求較高．三．解答題（共7小題）19．計(jì)算：．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20．已知x：y＝0.5：0.3，y：z＝：，求x：y：z．【分析】由比例的性質(zhì)容易得出結(jié)論．【解答】解：∵x：y＝0.5：0.3＝5：3＝10：6，y：z＝：＝2：5＝6：15，∴x：y：z＝10：6：15．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)；熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．21．如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長，即可得出AC的長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．22．如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線AB射到水池的水面B點(diǎn)后折射光線BD射到池底點(diǎn)D處，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光線AC射到水池的水面C點(diǎn)后折射光線CE射到池底點(diǎn)E處，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′為法線．入射光線AB、AC和折射光線BD、CE及法線MN、M′N′都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A到直線BC的距離為6米．（1）求BC的長；（結(jié)果保留根號）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（參考數(shù)據(jù)：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）【分析】（1）根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)，可以求得CF和BF的值，然后即可計(jì)算出BC的值；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和銳角三角函數(shù)，可以求得水池的深．【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)F，則AF∥MN∥M′N′，∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，∵AF＝6米，∴BF＝AF?tan30°＝6×＝2（米），CF＝AF?tan60°＝6×＝6（米），∴BC＝CF﹣BF＝6﹣2＝4（米），即BC的長為4米；（2）設(shè)水池的深為x米，則BN＝CN′＝x米，由題意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝8.72米，∴DN＝BN?tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′?tan40.5°≈0.85x（米），∵DN+DE＝BC+N′E，∴0.4x+8.72＝4+0.85x，解得x≈4，即水池的深約為4米．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D．求：（1）線段AB的長；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC＝＝，設(shè)出AB＝3k，則BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，進(jìn)而得到AB；（2）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝AD＝x，利用HL證明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即為AD的長，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可設(shè)AB＝3k，則BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（負(fù)值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE與Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線是解決第（2）問的關(guān)鍵．24．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點(diǎn)，連接BO并延長交邊CD于點(diǎn)E．（1）①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結(jié)論；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，則可得出答案；（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時，證明四邊形ABCE是矩形．設(shè)AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△EOC∽△ECB，得出比例線段，可得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）①證明：如圖1，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵BO是Rt△ABC斜邊AC上的中線，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；②解：如圖2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（2）設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m+3，∵△DAC∽△OBC，∴，∴，∴．∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴，∴，∴，∴m＝，將m＝代入，整理得，x2﹣6x﹣10＝0，解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．∴CD＝3+．【點(diǎn)評】本題考查了相似形綜合題，掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．已知在正方形ABCD中，對角線BD＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上，D