3.5 確定二次函數(shù)的表達(dá)式 同步練習(xí)

第三章二次函數(shù)5確定二次函數(shù)的表達(dá)式基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1設(shè)一般式確定二次函數(shù)的表達(dá)式1.雙語(yǔ)學(xué)校組織學(xué)生在山坡上進(jìn)行滑雪訓(xùn)練，某學(xué)生從山坡滑下，滑行距離s(單位：m)與滑行時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)來表示，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)，如下表所示，則二次函數(shù)的表達(dá)式為.

滑行時(shí)間t/s0123…滑行距離s/m051427…2.如圖，反比例函數(shù)y1=kx(x<0)與二次函數(shù)y2=-x2+bx+c的圖象交于點(diǎn)A(-6，1)和點(diǎn)B(-2，3)(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x<0時(shí)，直接寫出不等式kx<-x2+bx+c的解集3.(2022山東青島嶗山期末)小穎同學(xué)想用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，取自變量x的6個(gè)值，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，如表：x…-2-10123…y…112-125m…由于粗心，小穎算錯(cuò)了其中的一個(gè)y值.(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)請(qǐng)你指出這個(gè)算錯(cuò)的y值；(3)通過計(jì)算求m的值.[變式1]已知一條拋物線經(jīng)過(-2，6)，(2，-4)，(3，1)三點(diǎn)，求這條拋物線的表達(dá)式.[變式2](2023江西贛州定南期中)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，原點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，且D(2，2)，AD與y軸交于點(diǎn)E，CD與x軸交于點(diǎn)F.(1)求經(jīng)過B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；(2)求(1)中所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)2設(shè)頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的表達(dá)式4.(2022四川廣安中考)如圖所示的是拋物線形拱橋，拱頂離水面2米，水面寬6米，則當(dāng)水面下降米時(shí)，水面寬8米.

5.如圖，某校的圍墻由一段相同的凹曲拱組成，其拱狀圖形為拋物線的一部分，在柵欄的跨徑AB之間，按相同間隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC為0.36米，則立柱EF的長(zhǎng)為米.

6.(2021江蘇鹽城中考)已知拋物線y=a(x-1)2+h經(jīng)過點(diǎn)(0，-3)和(3，0).(1)求a，h的值；(2)將該拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.7.(2022北京中考)單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看做是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0).某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0)；(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04×(x-9)2+23.24.記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離為d1(m)，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離為d2(m)，則d1d2(填“>”“=”或“<”).

知識(shí)點(diǎn)3設(shè)交點(diǎn)式確定二次函數(shù)的表達(dá)式8.(2022山東泰安東平期中)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，且與x軸交于兩點(diǎn)，已知這兩點(diǎn)相距4個(gè)單位，則該拋物線的表達(dá)式為.

9.(2022湖北荊門中考節(jié)選)已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-2，0)，B(4，0)，D(0，-8).求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).10.(2021山東煙臺(tái)萊州期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA=2OC=8OB.點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo).能力提升全練11.(2022山東泰安中考)拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x-2-101y0466下列結(jié)論不正確的是()A.拋物線的開口向下 B.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1C.拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0) D.函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為2512.(2021浙江杭州中考)在“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為()A.52 B.32 13.(2023山東泰安東平期中)根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式：(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1，10)，(1，4)，(2，7)三點(diǎn)；(2)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，3)，并且經(jīng)過點(diǎn)(0，-1)；(3)拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點(diǎn)A(3，0).14.(2022浙江湖州中考)如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D.(1)①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值.(2)若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M(如圖2所示).當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng).設(shè)BP=m，CM=n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值. 圖1 圖2素養(yǎng)探究全練15.(2023山東煙臺(tái)龍口期末改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.過點(diǎn)A的直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6.點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P使得△AEP的面積最大?若存在，求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第三章二次函數(shù)5確定二次函數(shù)的表達(dá)式答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.s=2t2+3t解析∵當(dāng)t=0時(shí)，s=0，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為s=at2+bt(a≠0)，將(1，5)，(2，14)代入，得a∴二次函數(shù)的表達(dá)式為s=2t2+3t.2.解析(1)將A(-6，1)代入y1=kx，得k=-6所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y1=-6x將A(-6，1)和B(-2，3)代入y2=-x2+bx+c，得1=?36?6所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y2=-x2-7.5x-8.(2)當(dāng)x<0時(shí)，不等式kx<-x2+bx+c的解集為-6<x<-23.解析(1)由題中表格可知，對(duì)稱軸為直線x=0，∴x=2或x=-2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值有一個(gè)是錯(cuò)誤的.將點(diǎn)(0，-1)，(1，2)，(-1，2)代入y=ax2+bx+c，得c∴y=3x2-1.(2)當(dāng)x=2時(shí)，y=3×22-1=3×4-1=11.∴算錯(cuò)的y值為5.(3)當(dāng)x=3時(shí)，m=3×32-1=3×9-1=26.[變式1]解析設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)，將(-2，6)，(2，-4)，(3，1)分別代入，得6=4所以這條拋物線的表達(dá)式為y=32x2[變式2]解析(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AD=AB=BC=CD=4.又∵原點(diǎn)為正方形ABCD的中心，D(2，2)，∴B(-2，-2)，E(0，2)，F(xiàn)(2，0)，設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)，將B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得4∴拋物線的表達(dá)式為y=-34x2(2)∵y=-34∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為134.14解析以水面所在的直線AB為x軸，以過拱頂C且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，O為原點(diǎn)，如圖，由題意可得AO=OB=3米，OC=2米，∴A的坐標(biāo)為(-3，0)，C的坐標(biāo)為(0，2).設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+2(a≠0).把A(-3，0)代入得9a+2=0，解得a=-29∴拋物線的解析式為y=-29x2+2當(dāng)x=4時(shí)，y=-29×16+2=?149，∴當(dāng)水面下降149米時(shí)，5.0.2解析如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2(a≠0)，由題意可知拋物線經(jīng)過B(0.6，0.36)，∴0.36=0.36a，∴a=1.∴拋物線的解析式為y=x2.當(dāng)x=-0.4時(shí)，y=0.16.∴EF=0.36-0.16=0.2(米).6.解析(1)將點(diǎn)(0，-3)和(3，0)代入y=a(x-1)2+h，得?3=(2)由(1)知，該拋物線的表達(dá)式為y=(x-1)2-4，將該拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新的拋物線的表達(dá)式為y=(x-2)2-2，即y=x2-4x+2.7.解析(1)由題表中的數(shù)據(jù)可知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8，23.20).∴h=8，k=23.20，該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m.故該拋物線的解析式為y=a(x-8)2+23.20，將(0，20.00)代入，得a(0-8)2+23.20=20.00，解得a=-0.05，∴y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)<.提示：第一次訓(xùn)練時(shí)，y=-0.05(x-8)2+23.20；第二次訓(xùn)練時(shí)，y=-0.04(x-9)2+23.24.故第二次飛行路線對(duì)應(yīng)的拋物線開口更大，頂點(diǎn)更高，對(duì)稱軸距y軸更遠(yuǎn)，由此可知d1<d2.8.y=x2-2x-3解析∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵拋物線與x軸的兩交點(diǎn)相距4個(gè)單位，∴兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(3，0).設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，把(1，-4)代入，得a×2×(-2)=-4，解得a=1.∴拋物線的表達(dá)式為y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3.9.解析因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-2，0)，B(4，0)，所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4).將D(0，-8)代入，得-8=-8a，解得a=1.所以y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8，即拋物線的解析式為y=x2-2x-8.因?yàn)閥=x2-2x-8=(x-1)2-9，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-9).10.解析(1)把x=0代入y=ax2+bx-2，得y=-2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-2).∵OA=2OC=8OB，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為12∴拋物線的表達(dá)式為y=a(x+4)x?將C(0，-2)代入，得-2=-2a，解得a=1.故拋物線的表達(dá)式為y=(x+4)x?12(2)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-74，PC∥AB，∴點(diǎn)P，C的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-7∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?7能力提升全練11.C解法一：利用草圖判斷.根據(jù)題中表格給出的4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出如圖所示的草圖.A項(xiàng)，由草圖可知拋物線的開口向下，故A項(xiàng)中結(jié)論正確；B項(xiàng)，由(0，6)，(1，6)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可判斷拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12，故B項(xiàng)中結(jié)論正確C項(xiàng)，由點(diǎn)(-2，0)及拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12，可判斷拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，故C項(xiàng)中結(jié)論錯(cuò)誤D項(xiàng)，∵拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(3，0)，∴表達(dá)式為y=a(x-3)(x+2)，把(0，6)代入，得6=-6a，解得a=-1，∴y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6=-x?122+故D項(xiàng)中結(jié)論正確.故選C.解法二：利用表達(dá)式判斷.由題中表格可得，4∴y=-x2+x+6=-x?122+25易知A，B，D項(xiàng)中結(jié)論都正確，C項(xiàng)中結(jié)論錯(cuò)誤.故選C.12.A由題圖可知，經(jīng)過點(diǎn)A，B，D的二次函數(shù)的圖象開口向上，a>0；經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的二次函數(shù)的圖象開口向上，a>0；經(jīng)過點(diǎn)B，C，D的二次函數(shù)的圖象開口向下，a<0；經(jīng)過點(diǎn)A，D，C的二次函數(shù)的圖象開口向下，a<0.因此只需比較圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，D和A，B，C的二次函數(shù)的a值即可.把A(0，2)，B(1，0)，D(2，3)代入y=ax2+bx+c得，c=2,把A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)代入y=ax2+bx+c得，c=2,∵52>56，∴a的值最大為13.解析(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，把(-1，10)，(1，4)，(2，7)分別代入，得a故二次函數(shù)的解析式為y=2x2-3x+5.(2)根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3(a≠0)，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，-1)，∴-1=a(0-2)2+3，解得a=-1.∴y=-(x-2)2+3=-x2+4x-1.∴拋物線的解析式為y=-x2+4x-1.(3)解法一：利用一般式求解.∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，∴?∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.解法二：利用交點(diǎn)式求解.∵點(diǎn)A(3，0)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(-1，0)，∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3.∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.14.解析(1)①∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為3，∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(3，0)，(3，3)，(0，3).②把A(3，0)，C(0，3)分別代入y=-x2+bx+c，得?9+3(2)由題意得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴△ABP∽△PCM，∴ABPC=BPCM整理，得n=-13m2+m即n=-13∴當(dāng)m=32時(shí)，n的值最大，最大值是3素養(yǎng)探究全練15.解析(1)在y