3.5 確定二次函數(shù)的表達式 同步練習(xí)_第1頁
3.5 確定二次函數(shù)的表達式 同步練習(xí)_第2頁
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文檔簡介

第三章二次函數(shù)5確定二次函數(shù)的表達式基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1設(shè)一般式確定二次函數(shù)的表達式1.雙語學(xué)校組織學(xué)生在山坡上進行滑雪訓(xùn)練,某學(xué)生從山坡滑下,滑行距離s(單位:m)與滑行時間t(單位:s)之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)來表示,現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù),如下表所示,則二次函數(shù)的表達式為.

滑行時間t/s0123…滑行距離s/m051427…2.如圖,反比例函數(shù)y1=kx(x<0)與二次函數(shù)y2=-x2+bx+c的圖象交于點A(-6,1)和點B(-2,3)(1)求這兩個函數(shù)的表達式;(2)當(dāng)x<0時,直接寫出不等式kx<-x2+bx+c的解集3.(2022山東青島嶗山期末)小穎同學(xué)想用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,取自變量x的6個值,分別計算出對應(yīng)的y值,如表:x…-2-10123…y…112-125m…由于粗心,小穎算錯了其中的一個y值.(1)求該二次函數(shù)的表達式;(2)請你指出這個算錯的y值;(3)通過計算求m的值.[變式1]已知一條拋物線經(jīng)過(-2,6),(2,-4),(3,1)三點,求這條拋物線的表達式.[變式2](2023江西贛州定南期中)在如圖所示的平面直角坐標系中,已知正方形ABCD的邊長為4,原點O為正方形ABCD的中心,且D(2,2),AD與y軸交于點E,CD與x軸交于點F.(1)求經(jīng)過B,E,F(xiàn)三點的拋物線的表達式;(2)求(1)中所求拋物線的頂點坐標.知識點2設(shè)頂點式確定二次函數(shù)的表達式4.(2022四川廣安中考)如圖所示的是拋物線形拱橋,拱頂離水面2米,水面寬6米,則當(dāng)水面下降米時,水面寬8米.

5.如圖,某校的圍墻由一段相同的凹曲拱組成,其拱狀圖形為拋物線的一部分,在柵欄的跨徑AB之間,按相同間隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC為0.36米,則立柱EF的長為米.

6.(2021江蘇鹽城中考)已知拋物線y=a(x-1)2+h經(jīng)過點(0,-3)和(3,0).(1)求a,h的值;(2)將該拋物線向上平移2個單位長度,再向右平移1個單位長度,得到新的拋物線,直接寫出新的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式.7.(2022北京中考)單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一,舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺.運動員起跳后的飛行路線可以看做是拋物線的一部分,建立如圖所示的平面直角坐標系,從起跳到著陸的過程中,運動員的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0).某運動員進行了兩次訓(xùn)練.(1)第一次訓(xùn)練時,該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù),直接寫出該運動員豎直高度的最大值,并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0);(2)第二次訓(xùn)練時,該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04×(x-9)2+23.24.記該運動員第一次訓(xùn)練時著陸點的水平距離為d1(m),第二次訓(xùn)練時著陸點的水平距離為d2(m),則d1d2(填“>”“=”或“<”).

知識點3設(shè)交點式確定二次函數(shù)的表達式8.(2022山東泰安東平期中)拋物線的頂點坐標為(1,-4),且與x軸交于兩點,已知這兩點相距4個單位,則該拋物線的表達式為.

9.(2022湖北荊門中考節(jié)選)已知拋物線y=ax2+bx+c過點A(-2,0),B(4,0),D(0,-8).求拋物線的解析式及頂點坐標.10.(2021山東煙臺萊州期中)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-2交x軸于A,B兩點,交y軸于點C,且OA=2OC=8OB.點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點.(1)求此拋物線的表達式;(2)若PC∥AB,求點P的坐標.能力提升全練11.(2022山東泰安中考)拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應(yīng)值如下表:x-2-101y0466下列結(jié)論不正確的是()A.拋物線的開口向下 B.拋物線的對稱軸為直線x=1C.拋物線與x軸的一個交點的坐標為(2,0) D.函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為2512.(2021浙江杭州中考)在“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系”活動中,老師給出了直角坐標系中的四個點:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式各不相同,其中a的值最大為()A.52 B.32 13.(2023山東泰安東平期中)根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式:(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,10),(1,4),(2,7)三點;(2)已知拋物線的頂點坐標是(2,3),并且經(jīng)過點(0,-1);(3)拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點A(3,0).14.(2022浙江湖州中考)如圖1,已知在平面直角坐標系xOy中,四邊形OABC是邊長為3的正方形,其中頂點A,C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點,與x軸交于另一點D.(1)①求點A,B,C的坐標;②求b,c的值.(2)若點P是邊BC上的一個動點,連接AP,過點P作PM⊥AP,交y軸于點M(如圖2所示).當(dāng)點P在BC上運動時,點M也隨之運動.設(shè)BP=m,CM=n,試用含m的代數(shù)式表示n,并求出n的最大值. 圖1 圖2素養(yǎng)探究全練15.(2023山東煙臺龍口期末改編)如圖,在平面直角坐標系內(nèi),拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C.過點A的直線y=x+2與拋物線交于點E,且點E的橫坐標為6.點P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.(1)求拋物線的表達式;(2)在點P的運動過程中,是否存在點P使得△AEP的面積最大?若存在,求出這個最大值和點P的坐標;若不存在,說明理由.

第三章二次函數(shù)5確定二次函數(shù)的表達式答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.s=2t2+3t解析∵當(dāng)t=0時,s=0,∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為s=at2+bt(a≠0),將(1,5),(2,14)代入,得a∴二次函數(shù)的表達式為s=2t2+3t.2.解析(1)將A(-6,1)代入y1=kx,得k=-6所以反比例函數(shù)的表達式為y1=-6x將A(-6,1)和B(-2,3)代入y2=-x2+bx+c,得1=?36?6所以二次函數(shù)的表達式為y2=-x2-7.5x-8.(2)當(dāng)x<0時,不等式kx<-x2+bx+c的解集為-6<x<-23.解析(1)由題中表格可知,對稱軸為直線x=0,∴x=2或x=-2時,對應(yīng)的y值有一個是錯誤的.將點(0,-1),(1,2),(-1,2)代入y=ax2+bx+c,得c∴y=3x2-1.(2)當(dāng)x=2時,y=3×22-1=3×4-1=11.∴算錯的y值為5.(3)當(dāng)x=3時,m=3×32-1=3×9-1=26.[變式1]解析設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+bx+c(a≠0),將(-2,6),(2,-4),(3,1)分別代入,得6=4所以這條拋物線的表達式為y=32x2[變式2]解析(1)∵正方形ABCD的邊長為4,∴AD=AB=BC=CD=4.又∵原點為正方形ABCD的中心,D(2,2),∴B(-2,-2),E(0,2),F(xiàn)(2,0),設(shè)所求拋物線的表達式為y=ax2+bx+c(a≠0),將B,E,F(xiàn)三點的坐標代入,得4∴拋物線的表達式為y=-34x2(2)∵y=-34∴拋物線的頂點坐標為134.14解析以水面所在的直線AB為x軸,以過拱頂C且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系,O為原點,如圖,由題意可得AO=OB=3米,OC=2米,∴A的坐標為(-3,0),C的坐標為(0,2).設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+2(a≠0).把A(-3,0)代入得9a+2=0,解得a=-29∴拋物線的解析式為y=-29x2+2當(dāng)x=4時,y=-29×16+2=?149,∴當(dāng)水面下降149米時,5.0.2解析如圖,以點C為原點,OC所在直線為y軸建立直角坐標系,則可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2(a≠0),由題意可知拋物線經(jīng)過B(0.6,0.36),∴0.36=0.36a,∴a=1.∴拋物線的解析式為y=x2.當(dāng)x=-0.4時,y=0.16.∴EF=0.36-0.16=0.2(米).6.解析(1)將點(0,-3)和(3,0)代入y=a(x-1)2+h,得?3=(2)由(1)知,該拋物線的表達式為y=(x-1)2-4,將該拋物線向上平移2個單位長度,再向右平移1個單位長度,得到的新的拋物線的表達式為y=(x-2)2-2,即y=x2-4x+2.7.解析(1)由題表中的數(shù)據(jù)可知該拋物線的頂點坐標為(8,23.20).∴h=8,k=23.20,該運動員豎直高度的最大值為23.20m.故該拋物線的解析式為y=a(x-8)2+23.20,將(0,20.00)代入,得a(0-8)2+23.20=20.00,解得a=-0.05,∴y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)<.提示:第一次訓(xùn)練時,y=-0.05(x-8)2+23.20;第二次訓(xùn)練時,y=-0.04(x-9)2+23.24.故第二次飛行路線對應(yīng)的拋物線開口更大,頂點更高,對稱軸距y軸更遠,由此可知d1<d2.8.y=x2-2x-3解析∵拋物線的頂點坐標為(1,-4),∴拋物線的對稱軸為直線x=1,∵拋物線與x軸的兩交點相距4個單位,∴兩交點的坐標分別為(-1,0),(3,0).設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-3)(a≠0),把(1,-4)代入,得a×2×(-2)=-4,解得a=1.∴拋物線的表達式為y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.9.解析因為拋物線y=ax2+bx+c過點A(-2,0),B(4,0),所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4).將D(0,-8)代入,得-8=-8a,解得a=1.所以y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8,即拋物線的解析式為y=x2-2x-8.因為y=x2-2x-8=(x-1)2-9,所以拋物線的頂點坐標為(1,-9).10.解析(1)把x=0代入y=ax2+bx-2,得y=-2,∴點C的坐標為(0,-2).∵OA=2OC=8OB,∴點A的坐標為(-4,0),點B的坐標為12∴拋物線的表達式為y=a(x+4)x?將C(0,-2)代入,得-2=-2a,解得a=1.故拋物線的表達式為y=(x+4)x?12(2)∵拋物線的對稱軸為直線x=-74,PC∥AB,∴點P,C的縱坐標相同,點P的橫坐標為-7∴點P的坐標為?7能力提升全練11.C解法一:利用草圖判斷.根據(jù)題中表格給出的4個點的坐標,畫出如圖所示的草圖.A項,由草圖可知拋物線的開口向下,故A項中結(jié)論正確;B項,由(0,6),(1,6)兩點的縱坐標相同,可判斷拋物線的對稱軸為直線x=12,故B項中結(jié)論正確C項,由點(-2,0)及拋物線的對稱軸為直線x=12,可判斷拋物線與x軸的一個交點的坐標為(3,0),故C項中結(jié)論錯誤D項,∵拋物線與x軸的兩交點的坐標分別為(-2,0),(3,0),∴表達式為y=a(x-3)(x+2),把(0,6)代入,得6=-6a,解得a=-1,∴y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6=-x?122+故D項中結(jié)論正確.故選C.解法二:利用表達式判斷.由題中表格可得,4∴y=-x2+x+6=-x?122+25易知A,B,D項中結(jié)論都正確,C項中結(jié)論錯誤.故選C.12.A由題圖可知,經(jīng)過點A,B,D的二次函數(shù)的圖象開口向上,a>0;經(jīng)過點A,B,C的二次函數(shù)的圖象開口向上,a>0;經(jīng)過點B,C,D的二次函數(shù)的圖象開口向下,a<0;經(jīng)過點A,D,C的二次函數(shù)的圖象開口向下,a<0.因此只需比較圖象經(jīng)過點A,B,D和A,B,C的二次函數(shù)的a值即可.把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入y=ax2+bx+c得,c=2,把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入y=ax2+bx+c得,c=2,∵52>56,∴a的值最大為13.解析(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),把(-1,10),(1,4),(2,7)分別代入,得a故二次函數(shù)的解析式為y=2x2-3x+5.(2)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3(a≠0),∵拋物線經(jīng)過點(0,-1),∴-1=a(0-2)2+3,解得a=-1.∴y=-(x-2)2+3=-x2+4x-1.∴拋物線的解析式為y=-x2+4x-1.(3)解法一:利用一般式求解.∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點A(3,0),∴?∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.解法二:利用交點式求解.∵點A(3,0)關(guān)于直線x=1的對稱點為點(-1,0),∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3.∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.14.解析(1)①∵正方形OABC的邊長為3,∴點A,B,C的坐標分別為(3,0),(3,3),(0,3).②把A(3,0),C(0,3)分別代入y=-x2+bx+c,得?9+3(2)由題意得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC,∠B=∠PCM=90°,∴△ABP∽△PCM,∴ABPC=BPCM整理,得n=-13m2+m即n=-13∴當(dāng)m=32時,n的值最大,最大值是3素養(yǎng)探究全練15.解析(1)在y

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