高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破 歸納平面向量中的范圍與最值問題（十大題型）（原卷版+解析）

重難點突破03最全歸納平面向量中的范圍與最值問題

目錄

題型一：三角不等式

題型二：定義法

題型三：基底法

題型四：幾何意義法

題型五：坐標(biāo)法

最全歸納平面向量中的

范圍與最值問題

題型六：極化恒等式

題型七：矩形大法

題型八：等和線

題型九：平行四邊形大法

題型十：向量對角線定理

■方法技巧總結(jié)____________________

技巧一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標(biāo)法

第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)

第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達(dá)的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

技巧二.極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|Z+W+y=2（山+畫）

證明：不妨設(shè)荏=2,通=石，貝!1撫=￡+B,DB=a-b

a+b^=\^+2a-b+\^?

|DB|2=DB=(a-b^=|2|2-2a-b+②

①②兩式相加得：

|AC|2+|DB|2=2(問2+=2(國2+初0

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：；[僅+沖2-(￡-沖]一一極化恒等式

①平行四邊形模式：a-5=^[|Ac|2-|r(B|2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^~^\DB^為80的中點)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點。是矩形ABC。與所在平面內(nèi)任一點,

證明：CM2+OC2=OB2+OD2.

【證明】(坐標(biāo)法)設(shè)==以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy,

則83,0),￡)(0力)83力),設(shè)O(x,y),則

0A2+OC2=(x2+/)+[(x-a)?+(y-bp]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-Z?)2]

:.O^+OC-^OB2+OD1

技巧四.等和線

(1)平面向量共線定理

已知礪=2礪+〃宏，若4+〃=1,則三點共線；反之亦然.

(2)等和線

平面內(nèi)一組基底函，礪及任一向量而，麗=2況+〃礪(2,〃eR),若點尸在直線AB上或者在平行

于的的直線上，則彳+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線鉆以及與直線平行的直線稱為等和線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線AB之間時，左?(0,1)；

③當(dāng)直線在點。和等和線之間時，丘(1,+°0);

④當(dāng)?shù)群途€過O點時，％=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值人互為相反數(shù);

技巧五.平行四邊形大法

1、中線長定理

2

2AO=|AB|2+|AD|2-1|DB|2

2、P為空間中任意一點，由中線長定理得：

2

2PO=|PA|2+|PC|2-||AC|2

-2.

2Po=|PD|+|PB|2-||DB|2

兩式相減：IPA「+1PC「一(|p"+1P卻2)="aJ陽=2AB-AD

技巧六.向量對角線定理

------2——2.2

而.麗=純+"）-（,+CD）

2

?必考題型歸納

題型一：三角不等式

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量［，瓦）滿足|）|=2,山=1,?二」|=1,若對任意2,

（c-a）2+（c-Z?yW11恒成立，則的取值范圍是-

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量口反不滿足：|a|=\,b-a=-\,若對滿足條件的任意向量B,

花-石閆--萬|恒成立，則cose+Z㈤的最小值是.

例3.已知向量癡忑滿足同=問=同=2,a-b=0,若關(guān)于，的方程位=（有解，記向量乙忑的夾角

為凡貝Usin。的取值范圍是.

變式1.已知是平面向量，且4,1是互相垂直的單位向量，若對任意力eR均有E+2可的最小值為

國-4則國+3最-可+國-q的最小值為.

變式2.已知平面向量烏烏滿足Re?-ej=2,T^,a=ex+4e2,5=el+e2,若14箱542，貝!11商1的取值范圍為

-7--

變式3.（2023?浙江金華?統(tǒng)考一模）已知平面向量。，b，E滿足|。-切=3,（a-c）（Z?-c）=-2,

則同的取值范圍是.

題型二：定義法

例4.已知向量￡?的夾角為:，且￡出=3,向量Z滿足三芝+。—冷網(wǎng)。＜幾＜1），且27=加2，記》=背，

c-b

’=w’則/+/—孫的最大值為-

例5.（2023?四川成都?高二校聯(lián)考期中）已知向量2,b，3滿足同=1,W卜及，a-b=-l，向量1日與

向量1-5的夾角為:，則同的最大值為.

例6.（2023?浙江紹興?高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知向量Z，B滿足忖=1，W=百，且Z_L石，若向量"滿足

\^-a-b\=2\a-b\,則，的最大值是.

變式4.已知向量”.滿足[=1,問=6,且1/=若向量力與5V的夾角為30。，貝可3的最

大值是.

變式5.已知向量獲，滿足同=2.=3,=6,若以向量標(biāo)為基底，將向量Z表示成工=花+〃次％M為

實數(shù)），都有+則￡出的最小值為

變式6.已知向量之、分滿足：忖-4=4,同=0忖.設(shè)與2+后的夾角為。，貝Using的最大值為

題型三：基底法

例7.已知菱形ABC。的邊長為2,ZR4D=120°,點、E,尸分在邊8C,C。上，BE^ABC，DF=juDC.若

2

2+〃=耳，則AEAF的最小值為.

例8.（2023?天津?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）己知菱形ABCD的邊長為2,/班。=120。，點E、廠分別在邊3C,

CZ（上，BE=ABC，DF=juDC,若22+〃=],則越.AT的最小值_________.

例9.如圖，菱形ABC。的邊長為4,/54￡>=30。，/為。C的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界）,

則而?麗"的最大值為

變式7.菱形ABCD的邊長為4,ZBAD=30°,若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則荏?麗的最大值為

變式8.如圖，菱形ABCD的邊長為4,/BAZ）=60°,M為。C的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界）,

則麗.麗的最大值為.

變式9.平面四邊形ABC。是邊長為2的菱形，且/A=120。，點N是。C邊上的點，S.DN=3NC，點、M

是四邊形ABC。內(nèi)或邊界上的一個動點，則而.詢的最大值為.

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量4,b滿足,+畫=3,無B=0.若無=4萬+（1-4）坂，且I也=35,

則同的最大值為.

變式11.已知平面向量Z，b，之滿足同=應(yīng)，W=l,a.b=~\，且〉二與，，的夾角為:，則，的最大

值為.

變式12.已知平面向量Z、b>2滿足卜|=4,1卜3,忖=2,b-c=3>貝!）（2詢~伍-。2一［（2一沖.（￡-磯

最大值為.

變式13.在“1BC中，M為邊BC上任意一點,N為40的中點，且滿足RV=幾而+〃而，則川+〃2的

最小值為.

題型四：幾何意義法

例10.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知2b，"是平面向量，滿足叩+年同=2忖=2,戶10=氐

則向量"在向量Z上的投影的數(shù)量的最小值是.

例11.（2023?上海浦東新?上海市建平中學(xué)?？既＃┮阎橇闫矫嫦蛄縕，b，工滿足：%,5的夾角為:，

4

12與"_后的夾角為B，忖一石卜④，*4=1,則尻2的取值范圍是.

例12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量癡夾角為（，且平面向量E滿足憶-4=&-方|=1,

伍-萬）?--方）=一;記加為〃。=忖+（1一間（teR）的最小值，則加的最大值是.

變式14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量Z，b，"滿足2國=-3，1％-萬|=4,與的夾角

為?，貝巾-【q的最大值為.

變式15.（2023?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開學(xué)考試）已知非零平面向量￡,b，2滿足：2,

B的夾角為g,與之4的夾角為年，忖-萬|=2豆，/-1=2,則/"的取值范圍是

7171

變式16.已知非零平面向量H黃足口叫=2,且（_）g5）=。，若Z與B的夾角為。，且。e匕

則|2|的最大值是.

TT

變式17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）平面向量成友工滿足：的夾角為\a-b\=\b-c\=\a-c\=2j3,則加工

的最大值為.

變式18.（2023?廣東陽江?高二統(tǒng)考期中）已知非零平面向量心b,^滿足卜-可=4,=

jrjr

若萬與5的夾角為6,且。ey，-,則E的模取值范圍是.

變式19.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知平面向量九B，"，若同第=|【目=1,且慳-4+忸+芝|=2百,

則*4的取值范圍是.

變式20.（2023?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄縕，分滿足同=|方|=1,且75=0,

若向量"滿足|"+2+方|=1,則代的最大值為.

變式21.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知向量入b，工滿足歸-石+4=應(yīng)忖=夜，與Z的夾角為羊，則

口的最大值為.

變式22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量:工二滿足：a-b=5,向量）與向量成的夾角為g,

:二=2技向量，二與向量，熱的夾角為耳，則二7的最大值為.

題型五：坐標(biāo)法

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量入萬滿足|2%+q=3,忖=1,則同+2歸+目的最大值為

例14.（2023?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中）已知平面向量口,5忑滿足|Z|=2,出|=4,a，B的夾角為§，且

（a-c）-（b-c）=2,則修I的最大值是.

例15.設(shè)平面向量心5,不滿足同=問=2,4與B的夾角為與，伍Y）?y）=O貝小|的最大值為

變式23.（2023?安徽滁州?校考三模）已知平面向量Z，b，工滿足3=1，01=若,ab=O,c-a^c-b

的夾角是看，則：?（"）的最大值為.

變式24.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形A3C。中.以C為圓心，1為半徑的圓分

別交CO,BC于點、E,F.當(dāng)點尸在劣弧斷上運(yùn)動時，麗.而的最小值為

變式25.（2023?山東?山東省實驗中學(xué)?？家荒＃┤羝矫嫦蛄?,卻"滿足同=1,加工=0,2%=1，a-c=-l，

則"4的最小值為

變式26.（2023?四川眉山?仁壽一中?？家荒＃┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，ZCDA=ZCBA=90°,

ZBAD=120°,AB=AD=1,若點E為CD邊上的動點，則荏.而的最小值為.

變式27.（2023?安徽滁州??？寄M預(yù)測）已知同=1,忸+@+忸-[=4,則的的最小值是.

變式28.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知向量Z，5滿足同=3,且忸-幾q的最小值為1（幾為實數(shù)），記a,

（a,a-b]=/3,則一）---4最大值為______.

\/COS（6Z+f3）

變式29.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分別是A3,AD上的動點，且滿足2AM+4V=1,

^AC=xAM+yANf則2x+3y的最小值為（）

A.48B.49C.50D.51

題型六：極化恒等式

例16.（2023?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點尸為

正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，兩.兩的取值范圍是.

例17.（2023?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖直角梯形48C。中，EF是邊上長為6的可移動的線段,

AD=4,AB=84,BC=12,則詼.礪的取值范圍為.

例18.（2023?陜西榆林?三模）四邊形ABCD為菱形，/癡C=30。，AB=6,P是菱形ABCD所在平面的任

意一點，則麗.前的最小值為.

變式30.（2023?福建莆田?模擬預(yù)測）已知尸是邊長為4的正三角形A3C所在平面內(nèi)一點，且

AP=AAB+（2-22）AC（2eR）,則西?正的最小值為（）

A.16B.12C.5D.4

變式31.（2023?重慶八中模擬預(yù)測）AMC中，AB=3,BC=4,AC=5,尸。為AABC內(nèi)切圓的一條直徑，

M為AABC邊上的動點，則加?詼的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

題型七：矩形大法

例19.已知圓G:好+V=9與。2：/+V=36,定點尸（2,0）,A、B分別在圓C1和圓。2上，滿足

PAVPB,則線段A2的取值范圍是.

例20.在平面內(nèi)，已知嗣，胸，OBX=OK=V,AP=AB^+AB^,若I而則I函I的

例21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知圓。:/+寸=16,點尸（1,2）,M、N為圓。上兩個不同的點，且

PMPN=O^PQ=PM+PN,則|而|的最小值為.

變式32.設(shè)向量商，b,1滿足I6|=|方1=1,G-5=1,（a-c）-（^-c）=0,貝”科的最小值是（）

A/3—1

C.J3

2

題型八：等和線

例22.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，^AP=xAB+yAC,則2x+2y的

最大值為（）

例23.在“LBC中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若麗=2通+〃正（%，〃eR）,

則2+〃的取值范圍是（）

C.[0,1]D.[1,2]

例24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖,OM〃A8,點尸在由射線加、線段。8及AB的延長線圍成的區(qū)

域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且/=xC5+y彷.當(dāng)x=-g時，y的取值范圍是（）

PB

J_3j_3

A.(0,+oo)5,+00

2,22,2

變式33.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在扇形Q4B中，ZAQ3=60。，。為弧A5上的一動點，若碇二項5+y麗,

則3x+y的取值范圍是.

變式34.（2023?江西上饒?統(tǒng)考三模）在扇形O4B中，=60°,C為弧A3上的一個動點.若

OC=xOA+yOB,貝I2x+y的取值范圍是.

TT

變式35.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在扇形Q4B中，OA=1,ZAOB=~,C為弧AB上的一個動點，若

OC=xOA+yOB,則x+3y的取值范圍是.

IT

變式36.（2023?福建三明?高二三明一中校考開學(xué)考試）如圖，在扇形Q4B中，ZAOB=-,C為弧AB上的

一個動點，若歷=云西+丫詼，則x+4y的取值范圍是.

變式37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖,OM//A5,點尸由射線OA/、線段及的延長線圍成的陰

UUUUUUUU

影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且OP=MM+yC?,則實數(shù)對（x,y）可以是（）

變式38.如圖，B是AC的中點，BE=2OB,P是平行四邊形3CDE內(nèi)（含邊界）的一點，且

OP=xQA+yOB（x,yeR）,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①當(dāng)x=0時，ye[2,3]

②當(dāng)P是線段CE的中點時，x=y=|

③若x+y為定值1,則在平面直角坐標(biāo)系中，點尸的軌跡是一條線段

④x-y的最大值為T

A.1B.2C.3D.4

變式39.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在448。中，|荏|=|44=通?*=2,點。在線段3。（含端點）上

運(yùn)動，點尸是以。為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部一動點，若擊=2而+〃瑟%則幾+〃的最大值為（）

ii2a.

A.1B.c.D.-

32

變式40.在“BC中，AD為8C上的中線，G為AD的中點，M,N分別為線段A3,AC上的動點（不

包括端點A,B,C）,且M,N,G三點共線，若N題=4亞，AN=^iAC,則2+4〃的最小值為（）

A3「59

A.-B.-C.2D.-

224

變式41.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，［41=2,|45卜2,/區(qū)4。=120。,荏=尢而,/=〃；記，M

為線段EF的中點，若懷必卜1,則彳+〃的最大值為（）

A.也B.冬且

C.2D

33-f

變式42.在扇形。W中，ZAOB=60°,\c問=1,C為弧A3上的一個動點，且反=xE+y礪.則x+4y

的取值范圍為（）

A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]

變式43.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在扇形0LB中，ZAOB=6Q°,C為弧AB上且與A3不重合的

一個動點，且厲=xE+y而，若〃=x+2y（2>0）存在最大值，則2的取值范圍為（）

B.(1,3)C.4，1)D.(”

題型九：平行四邊形大法

例25.如圖，圓。是半徑為1的圓，0A=；,設(shè)5,C為圓上的任意2個點，則/的取值范圍是

UUIUULUH

例26.如圖，C,。在半徑為1的。。上，線段AB是。。的直徑，則AC8O的取值范圍是1

例27.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知e為單位向量，平面向量心5滿足|日+。|=出-。|=1,小6的取值范圍是

變式44.（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）半徑為1的兩圓M和圓。外切于點尸，點C是圓M上一點，點

3是圓。上一點，則定.方的取值范圍為.

變式45.（2023?福建?高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)圓圓N的半徑分別為1,2,且兩圓外切于

點尸，點A,8分別是圓圓N上的兩動點，則西.方的取值范圍是（）

[-164]

題型十：向量對角線定理

例28.已知平行四邊形TWCD,AB±BC,AB==BC=AD=2,CD=3,AC與瓦）交于點O,若記。=礪?礪,

b=OBOC,c=OCOD,貝I（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

例29.如圖，在圓。中，若弦AB=3,弦AC=5,則不^^的值是（）

A.-8B.-1C.1D.8

C

B

例30.如圖，在四邊形ABC。中，ABLBC,AD_L3C若，AB=a,AD=b,則/.麗等于（）

A.b2-a2B.a2-b2C.a2+b2D.a2-b1

D

A

BC

重難點突破03最全歸納平面向量中的范圍與最值問題

目錄

題型一：三角不等式

題型二：定義法

題型三：基底法

題型四：幾何意義法

題型五：坐標(biāo)法

最全歸納平面向量中的

范圍與最值問題

題型六：極化恒等式

題型七：矩形大法

題型八：等和線

題型九：平行四邊形大法

題型十：向量對角線定理

4方法技巧總結(jié)

技巧一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標(biāo)法

第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)

第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達(dá)的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

技巧二.極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

+y=2(畫+|&|2)

證明：不妨設(shè)前=以蒞=B,貝！1元=￡+B,DB=a-b

|AC|2=AC=^+bJ=\^+2a-b+\^①

\DB[=DB2={a-=\^-2a-b+\b[②

①②兩式相加得：

|明2+回『=胴2+附臼畫2+曲2)

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：；[(￡+沖2+闋]-------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\Acf-\DBfj

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^-^\DB\I2為8。的中點)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點。是矩形ABC。與所在平面內(nèi)任一點,

證明：CM2+OC2=OB2+OD2.

【證明】(坐標(biāo)法)設(shè)==以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy,

則83,0),￡)(0力)83力),設(shè)O(x,y),則

OA2+OC2=(x2+y2)+[(x-a)2+(y-Z))2]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-Z?)2]

:.O^+OC2=OB2+OD1

技巧四.等和線

(1)平面向量共線定理

已知次=2礪+〃詼，若彳+〃=1,則三點共線；反之亦然.

(2)等和線

平面內(nèi)一組基底礪，礪及任一向量而，9=2礪+〃礪(2,〃eR),若點尸在直線至上或者在平行

于的的直線上，則兒+〃=%(定值)，反之也成立，我們把直線鉆以及與直線AB平行的直線稱為等和線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線AB之間時，4e(0,l)；

③當(dāng)直線"在點O和等和線之間時，丘(L+oo);

④當(dāng)?shù)群途€過O點時，左=0;

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值%互為相反數(shù);

技巧五.平行四邊形大法

1、中線長定理

2

2AO=|AB|2+|AD|2-||r）B|2

2、P為空間中任意一點，由中線長定理得：

2

2PO=|PA|2+|PC|2-1|AC|2

2

2PO=|P￡）|2+|PB|2-1|￡）B|2

兩式相減：1pA『+|pc「一（伊。「+儼叫2）=M陽=2ABAD

技巧六.向量對角線定理

------Q>2——2?2

/詼=（仞+BC）TAB+CD）

2

題型一：三角不等式

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量海工滿足|:|=2,山=1,0工工口，若對任意人

(c—a)2+(c—6)2W11恒成立，則的取值范圍是.

【答案】-2,-1

Rr、2zrr、2zrrr、2r2rr

【解析】解析：因為［一。)+(牛-二)-\c-a-b^=c-2。?b,

rr、2rr2rrr「□「i

貝!JS=(zc-a)+(zc-Z?)X=l+c2-2a-b,因為,+々￡[1,3],

由山一卜彳半工一認(rèn)目v+4，

由1=|c—(a+6)區(qū)卜|+卜+,,即,21—k+61由卜+6卜[1,3],貝lj卜21—k+0恒成立.

由|c|-|a+i|<|c-(a+^|=l,Qp|a+i|-l<|c|<l+|a+i|

貝"max=1+(|。+勿+1)2—2+力=1+7+，2+1+242+力2+2).力

=7+2,5+2荽411，

解得;力4一:，又〉.2-4=

rr「r

所以a-be-2,--

故答案為：

例2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知平面向量1,反不滿足：|町=114=-1,若對滿足條件的任意向量B,

修-石必才-引恒成立，貝IJCOSG+H?的最小值是.

【答案】—

2

[解析]由題意設(shè)M=(l,0),B=忑=(%,y),c-b=(x+l,y-m),c-a=(x-l,y),

由|1-B以1一萬|,J(X+1)2+(m_y)22J(1一])2+y2,

化簡得加之一2沖+4xN0恒成立，所以△W0,y244x,x>0,

c+a=(x+Ly),

/—\%+1x+11、A/2

cos(c+a,a)=/------>/------=1=?>——

J(x+1)2+y2J(x+1)2+4%[?4x2,

V(%+1)2

當(dāng)且僅當(dāng)y2=4x且％=1時取到等號；

故答案為：走.

2

例3.已知向量1,5忑滿足同=W=同=2,a-b=O,若關(guān)于?的方程位+有解，記向量々忑的夾角

為8,貝!Jsin。的取值范圍是.

【答案七「1M31

【解析】不妨令4=（2,0）石=（0,2）1=（九0,%）,

由同=2,可得%；+y；=4；

^+——^=（2^,0）+（0,1）—（.Xo^o）=（2，—兀0，1-%）,

22

故可得ta+^-c=!=^（2?-X0）+（1-^0）,

3IQ

整理得4產(chǎn)—4x0t+%；+>；-2y0+—=4〃—4x0t+——2%=0,

要使得該方程有解，則A=16焉-16（9-2%[20,

整理得x；+2%■2。，又因為x；+y；=4,

「13"

故可得4y：-8%+340,解得為e.

又因為cos。=同向=5%,故可得sin0=71-COS26>===（|%卜

「13一

故可得.

「131

故答案為：7,7.

I_44J

變式L已知力,最最是平面向量，且,最是互相垂直的單位向量，若對任意XER均有厘+%]的最小值為

,3.4’則R+3%-⑷+卜3-4的最小值為.

【答案】3

【解析】根據(jù)卮+4同的最小值為可，代入得關(guān)于丸的一元二次不等式，利用等號可以取到判斷出

e=xe+e9

A=4（*3）-4^2^2^3-lj=0,然后設(shè),為工軸的方向向量，4為y軸方向向量，3\y2則得關(guān)于點

（羽田的軌跡方程，利用拋物線的定義將向量模長轉(zhuǎn)化為距離，計算最小值.

ee

p3+2^|=p3|+24,63+%時-\3~\=同+同,即興+2丸4巧+24區(qū)一1N0,所以

△二川生勺）一4（24%-1）=0,即（q%）~2e2e3+1=0,設(shè)1為元軸的方向向量，4為丁軸方向向量，所以

7i=xel+ye^,對應(yīng)的坐標(biāo)為(x,y),所以Y-2y+l=0,得f=2(y-g)；

,+3心目+國-可=|(1,3)-(x,刈+1(元,y)-(0,1)|,因為/=2(y_J為拋物線無2=2》向上平移:個單位，

所以焦點坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線為>=0,所以點(x，N)到(0,1)的距離與到>=。的距離相等，

|(l,3)-(x,y)|+|(x,y)-(0,l)|=|(l-x,3-j)|+|y|>|3-y|+|y|=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時，取最小值.

故答案為：3

變式2.己知平面向量l，最滿足|2最-可=2,設(shè)々=4+4￡5=1+&,若則1菊的取值范圍為

【答案】[73-1,5/5+1]

【解析】設(shè)忑=不一21，則5=:m+3),則由條件IV無542知2V"?(6+為(4,

所以3422+小1+工不45,所以644+=1

42

又?+|

所以6-10<?區(qū)逐+1.

故答案為：[6-1,6+1].

7

變式3.(2023?浙江金華?統(tǒng)考一模)已知平面向量商，b，忑滿足=|力-刈=3,(a-cXb-c)^-2,

則同的取值范圍是.

一35"

【答案】-

【解析】如圖，

^OA=a,OB=b,OC=c,則|商一B|=|麗|=3,

取A3的中點D,

則.二◎+西-（麗-兩=4而一4AS2=亦_初=|西2_2」,

4444

|OO|=2,

又(d-c)?(b—c)=-2,

CA.CB=-2,

C4.CB=◎+函函2=44-4礪°9=_2)

444

ICDI=L

2

_____,______35

A|OS|-|CD|l!j|5||OD|+|CD|,即Q都?

故答案為：弓3弓5］.

22

題型二：定義法

7T一—一C*CL

例4.已知向量的夾角為2,且Z%=3,向量Z滿足。=兄。+(1-4)可0(兒<1),且)，記工=同,

C'b

>=W，則/+V-孫的最大值為.

27

【答案】v

O

【解析】

JT

^OA=a,OB=b,OC=c,則NAO3=§,

—TT-

由無方=3，知I利,IbIcos—=3,即|初.||=6,

所以菊"B|sin：=；x6x*=￥，

因為i?=24+(l-X歷(0<a<1),所以點C在線段A2上,

設(shè)ZAOC=tz,則N8OC=1-C,

所以Y+9一孫=|c|2cos2a+|c|2cos2(■|一々|一|e|cos。|C|cos

J3Yfly/3

=1cI2cos26Z+IcI2—cos<z+^—sintz-|c|cosof-|c|-cosad-----sina

2222

k7V7

I-/2126.3.212

=\ccosa+—cosad-----sin。cosa+—sina——cosa-------sinacosa

\42422

I?2

故原問題轉(zhuǎn)化為求?的最大值,

在中，由余弦定理知,

|4812=1菊2+15/一21d|?I5Icos]=|西2+15/一I西?151

>2\a\]b\-\a\\b\^a\-\b\=6,當(dāng)且僅當(dāng)昨同="時，等號成立，

故A3的最小值為#,

因為3下=%，所以(商-石”=0,即AB_LOC,

所以%AB|-|OC|=￥，

|^13拒(3上3A/2,3A/2

0即||上函<正=〒'HN叫1三’

377

所以f+y2一孫=|司2工

48

27

故答案為：--

O

例5.(2023.四川成都.高二校聯(lián)考期中)已知向量入5,1滿足同=1,忸卜血，a-b=-\，向量好不與

向量-5的夾角為:，則間的最大值為.

【答案】M

【解析】依題意可知cosR，0="|=^^=一9，所以他可=苧，不妨設(shè)方=2=(1,0),

__k__34

OB=^=(-1,1),0C^c，則ZAO8=7，

7TJT

由m與石的夾角為:可知NACB=7,所以0,A,C,8四點共圓，即點。在△(?‘鉆的外接圓上.

44

AB=(-2,1),則網(wǎng)=氐由正弦定理得AQ4B的外接圓直徑2R=1^=質(zhì)，所以同的最大值為質(zhì).

sinT

故答案為：Vw.

例6.(2023?浙江紹興?高二校考學(xué)業(yè)考試)已知向量1，B滿足同=1,|4=豆，且六方，若向量工滿足

|c-a-S|=2|a-&|,則1的最大值是.

【答案】6

【解析】如圖，設(shè)函=￡，OB=b^OC=c>OD=a+b^

連接AD,BD,

則由Z，B可知四邊形OADB為矩形，

則卜+*k_0=2.

由|c—6Z—Z?|=21a一49

可得=2卜一目,

連接C。，

則|明=4,

所以點C在以點。為圓心，4為半徑的圓上，

所以oc的最大值為|。4+口（?卜2+4=6.

故答案為：6.

變式4.已知向量:不滿足口=1,W=G,且晨B=若向量GT與5v的夾角為30。，貝的最

大值是.

【答案】2幣

【解析】

收OA=a,OB=b,OC=c,

所以a—c=CA,b—c=CB,所以NAC8=30°,

f，r

所以cos<a,b>='"b-=—=——1,

\a\\b\上2

因為<H>e[0°,180°「

所以<H>=150。,;.ZA<?B=150°.

所以O(shè),A,B,C四點共圓.設(shè)外接圓半徑為R,

要使最大，所以0C必須過圓心,

此時，在中，由余弦定理得4序=1+3一26cos150。=7,;.A8=4.

A3

由正弦定理得0c=2R==2幣.

sinZAOB

故答案為：2幣

變式5.已知向量日石，滿足忖=2刊=3口=6,若以向量為基底，將向量Z表示成c=2a+〃次%〃為

實數(shù)），都有|彳+〃|,,1,則的最小值為

【答案】4-4710

【解析】由題可知，忖=6，W=3，W=2.

不妨設(shè)礪=￡=（6,0）,碇=九無=",則點8、C分別在以原點為圓心，半徑分別為2和3的圓上運(yùn)動