2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：空間向量與立體幾何（原卷版）

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結(jié)

一、思維導(dǎo)圖

共線向量定理

空

間

向共面向量定理

空

量

間

及

向

其

量

運(yùn)空間向量分解定理

兩個(gè)向量的數(shù)量積

與

算

立

體平行與垂直的條件

幾

空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

何

空

間

向

量

在

立

體

幾

何

中

的

應(yīng)

用

二、題型精講

題型01空間向量的概念及運(yùn)算

【典例1】（2023春?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）平行六面體ABC。-A耳GA中，已知底面四邊形ABCD

為矩形，Z^AB=ZAAr>=120°,M=2,AB=AD=1,貝！JAG=（）

A.JlB.2C.5/10D.10

【典例2】（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量向量"與之萬

的夾角都是60。，且同=1,向=2,忖=3,試求

（1）（a+2&-c）2；（2）

【典例3】（2023春?山東淄博?高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量

二,距卜綱=1,（詞=60°,則使向量a+Ab^Aa-2b的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

【變式1］（2023秋?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角A-跖-C的大小為45。，四邊形ABPE、

CDE尸都是邊長為1的正方形，則8、。兩點(diǎn)間的距離是（）

【變式2】（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD—4與。12中，設(shè)AD=A4=1,AB=2,

P是GA的中點(diǎn).試確定向量凝在平面BCC；上的投影向量，并求配?凝.

【變式3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間向量滿足Z+B+2=0，同=1，向=2,忖=夕，貝上

與石的夾角為

題型02四點(diǎn)共面問題

【典例1】（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使M與A,B,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

——?1—?1—?1—?

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

UUIUUUULUUL11

c.MA+MB+MC=O

D.OM+OA+OB+OC^O

【典例2】（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）設(shè)P-ABC是正三棱錐，G是VRC的重心，。是PG上的一

點(diǎn)，S.PD=DG＞若而=》而+＞方+z定，則（x,y,z）為（）

AIM：B.呆：C,[I，14]D-

【典例3】（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABC。-A4GA中，P為CG的中點(diǎn)，￡為G2的中點(diǎn),

尸為4G的中點(diǎn)，0為跖的中點(diǎn)，直線PE交直線于點(diǎn)Q,直線PF交直線B耳于點(diǎn)R,貝K）

—?5—-1—■1―-

A.AO=-AP+-AQ+-ARB.AO=-AP+-AQ+-AR

244

__.2___.i_,i___,c_______________________,?__?9__.

C.AO=-AP+-AQ+-ARD.AO=-AP+-AQ+-AR

366999

【變式1］（多選）（2023秋?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形Q4BC中，M,N分別是

邊。4,CB上的點(diǎn)，且AM=2MO,CN=2NB,點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是

（）

A.AG=-OA+-OB+-OCB.BG=-OA--OB+-OC

636636

—1-.1—.5—■

C.CG=-OA——OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

636636

【變式2］（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形Q4BC,其對(duì)角線為08、AC,M、N分

別是對(duì)邊Q4、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上，且礪=2的，現(xiàn)用基向量函，OB,云表示向量，設(shè)

OG=xOA+yOB+zOC,貝!|x、y、z的值分別是（）

111

B.x=—yz=—

336

111111

C.x=—J=z=—D.x=—y=一z=—

363633

題型03平面法向量的求解

【典例1】（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）已知人（2,0,0）,3（0,2,0）,。（0,0,2）,則平面ABC的一個(gè)單位法向量

是()

A.(1,1,1)

B?昏亍司

1333)Y,dT

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間四點(diǎn)4（2,C（-1,O,-1）,0（0,0,0）.求

平面ABC的一個(gè)法向量為；

【變式1]（2023秋?云南昆明?高二昆明一中校考期末）空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知點(diǎn)

A（2,0,2）,B（2,l,0）,C（0,2,0）,則平面ABC的一個(gè)法向量可以是（）

A.（1,2,1）B.（-1,2,1）C.（2,1,2）D.（2,f2）

【變式2]（2023?全國?高二專題練習(xí)）平面a經(jīng)過4（-3,5,1）,3（2,1,4）且垂直于法向量為萬=（1,-2,3）的

一個(gè)平面，則平面。的一個(gè)法向量是（）

A.（2,1,2）B.（1,2,1）C.（4,1,4）D.（0,1,0）

題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系

【典例1】（2023秋?北京大興?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，CG，平面

ABC,AB=BC=y/5,AC=AAi=2.D,E,P分別為朋,4G,8月的中點(diǎn)，則直線班'與平面3CD的位置

關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.直線在平面內(nèi)D.相交且不垂直

【典例2】（多選）（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A4GA中，尸是線段?

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AP_L平面典°B.AP_L平面ABD

C.AP〃平面ABC1D.AP〃平面BCQ

【典例3](2023春育二課時(shí)練習(xí))如圖，在直四棱柱ABCO-AAGA中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,

AB=4,BC=CD=2,AAl=2,尸是棱A2的中點(diǎn).求證：平面4412A〃平面/CC1.

【典例4](2023?江蘇?高二專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中，尸3,平面ABC,ABLBC,AB=PB=2,

BC=243,E、G分別為PC、Bl的中點(diǎn).

(1)求證：平面3CG_L平面PAC；

(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)N,使PN,BE?證明你的結(jié)論.

【變式1］（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）在正方體A8CD-AAGA中，尸，Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，則

（）

A.A4,平面ABGB.異面直線A片與AG所成的角為30°

C.平面A耳2〃平面8G。D.平面平面

【變式2］（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體ABCD-A￡CQ的體積為48立，

ZAAB=ZAAD,M=6,底面邊長均為4,且/DW=WTT，M,N,P分別為A2,CG，CQ的中點(diǎn)，則下列選

項(xiàng)中不正確的有（）

D.P

AMB

A.MN//APB.AC_L平面3OV

C.APl^CD.AP〃平面肱VC

【變式3］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面A3CD為矩形，側(cè)棱24,底

面A3CD,AB<,BC=1,PA=2,E為尸￡）的中點(diǎn).

;

（1）求直線AC與尸8所成角的余弦值；

（2）在側(cè)面E4B內(nèi)找一點(diǎn)N,使NEL平面PAC.

【變式4］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A由0中，A與=AG，尸為4G的中

點(diǎn)，D,E分別是棱BC,C￡上的點(diǎn)，且A。，3c.

B

⑴求證：直線A尸〃平面ADE;

（2）若AABC是正三角形，E為GC中點(diǎn)，能否在線段用2上找一點(diǎn)N,使得4N〃平面ADE?若存在，確

定該點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

題型05異面直線所成角

【典例11（2023春?貴州?高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面A3C為等邊三角形,

。為弧AB的中點(diǎn)，E為母線BC的中點(diǎn)，則異面直線A3和。E所成角的余弦值為（）

【典例2】（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的軸截面ABC。是邊長為2的正方形，E為下

底面圓周上一點(diǎn)，滿足BE=2AE，則異面直線AE與8。所成角的余弦值為（）

BE

【典例3】（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的各條棱長都相等，P為A、B

上一點(diǎn)，=（0<A<l）,RPC1AB.

（2）求異面直線PC與AC,所成角的余弦值.

【變式1］（2023春?山東濟(jì)南?高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體ABCD滿足

BCLCD,AB=2C=a）=2A，且該四面體的體積為6,則異面直線AD與BC所成角的大小為（）

A.45°B.60°C.45°或60°D.60°或30°

【變式2］（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABC。的高分別

為1和2,AB=4,則異面直線AQ與尸8所成角的正弦值為.

Q

【變式3］（2023春?江蘇宿遷?高二校考階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線

的長都等于。，點(diǎn)/,N分別是AB,8的中點(diǎn).

（1）求證：MN±AB,MNLCD；

（2）求異面直線AN與CM所成角的余弦值.

題型06利用向量法求直線與平面所成角(定值)

【典例1】(2023春?浙江舟山?高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí))在四棱錐尸-A3CD中，已知側(cè)面PC。為

正三角形，底面ABC。為直角梯形，AB\\CD,ZA￡)c=90°,AB=AD=3,CD=4,點(diǎn)M,N分

別在線段AB.PD上，且怒=需=2.

⑴求證：。河||平面4^；

(2)若點(diǎn)P到平面ABCD的距離為2a,求直線AC和平面Q鉆所成角交的正弦值.

【典例2](2023春?江蘇淮安?高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在直四棱柱A8CD-44GR

中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=^3,BC=1,AD=AAi=3.

(1)證明：ACYB.D.

(2)求直線B?與平面ACD,所成角的正弦值.

【典例3](2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適

當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體.現(xiàn)將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)

分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長均為1的截角四面體，如圖所示.

(1)求證：BDLEF;

(2)求直線9與平面ACK所成角的正弦值.

【變式1](2023?廣東梅州?大埔縣虎山中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖①，在RtaABC中，B為直角,

一TT

AB=BC=6,AE=2,沿EF將△眄折起，使44班=§,得到如圖②的幾何體，點(diǎn)。在

線段AC上.

圖①圖②

(1)求證：平面AEFL平面ABC；

(2)若AE//平面BDF，求直線AF與平面BDF所成角的正弦值.

【變式2]（2023春?重慶南岸?高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校﹨抢蠋煱l(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻藁”

這個(gè)五面體，于是她仿照該模型設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)探究題，如圖：E,F,G分別是正方形的三邊AB、CD、

AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形EDG裁掉，再將剩下的五邊形ABC產(chǎn)G著線段。折

起，連接AB、CG就得到一個(gè)“芻薨”.

圖1圖2

（1）若。是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：AO\\^GCF；

⑵若二面角A-EF-B的大小為7京，求直線AB與平面GCF所成角的正弦值.

題型07利用向量法求直線與平面所成角（最值或范圍）

【典例1】（2023春?重慶?高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺(tái)ABC-A再G中側(cè)面BCC由為等腰

梯形，2。=8,耳弓=口^=4,/為86中點(diǎn).底面金。為等腰三角形，AB=AC=5,O為8C的中點(diǎn).

（1）證明：平面ASC1平面AOM；

⑵記二面角A-BC-4的大小為氏

①當(dāng)。=三時(shí)，求直線Bq與平面A41GC所成角的正弦值.

6

冗7T

②當(dāng)時(shí)，求直線8月與平面AAGC所成角的正弦的最大值.

【典例2】（2023?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既＃┤鐖D1,在邊長為4的等邊AABC中，D,E分

別是AC,A8的中點(diǎn).將VADE沿折至△尸QE（如圖2）,使得=

（2）若點(diǎn)加在棱PD上，當(dāng)MB與平面PDE所成角最大時(shí)，求MB的長.

【典例3】（2023春?福建龍巖?高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，側(cè)面2片GC為菱形,

（2）若AC1A/NCBBT=（,AB=BC,點(diǎn)M在直線聲上，求直線A3與平面M4G所成角的正弦值

的最大值.

【變式11(2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習(xí))如圖所示，六面體ABC。-ABIGA的底面A3CD是菱形,

冗

/BAD=§,A4,〃3耳〃CC,//DDX,且BB}1平面

ABCD,AAi=CCl,AE^X隨,CF=ACQ(O<2<1),西=2甌，平面BEF與平面ABCD的交線為I.

(1)證明：直線U平面用BAR；

(2)已知族=2,三棱錐片-8。/的體積%，若2/與平面所成角為。，求sin，的取值范

圍.

【變式2](2023春?江蘇連云港?高二校考階段練習(xí))如圖，圓臺(tái)。。2的軸截面為等腰梯形AACQ,

AC=2A41=2AC1=4,3為底面圓周上異于A,C的點(diǎn).

B

(1)在平面BCG內(nèi)，過G作一條直線與平面4人8平行，并說明理由；

(2)設(shè)平面AABn平面GCB=/，Qel,BG與平面QIC所成角為當(dāng)四棱錐B-AACG的體積最大時(shí),

求sina的取值范圍.

題型08利用向量法解決直線與平面所成角的探索性問題

【典例1】(2023春?江蘇南京?高二南京市雨花臺(tái)中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，四面體A3CD中，ADYCD,

AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：AC_L平面8DE；

(2)設(shè)DE=1,ZACB=60°,點(diǎn)尸在8。上，若CF與平面ABD所成的角的正弦值為速，求此

7

時(shí)/點(diǎn)的位置.

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖(1),在正三角形ABC中，分別為AB,4c中點(diǎn)，將VADE

沿DE折起，使二面角A-DE-B為直二面角，如圖(2),連接AB,AC,過點(diǎn)￡作平面EFG與平面曲平

行，分別交8cAe于￡G.

(1)證明：EGABC；

(2)點(diǎn)H在線段加上運(yùn)動(dòng)’當(dāng)班與平面屏G所成角的正弦值為平時(shí)'求警的值.

【變式1X2023?廣東?高三專題練習(xí))如圖，在四棱臺(tái)ABC。-4月G0中，底面A3CD是菱形，ZBAD=|TT,

梯形G2〃C-L底面ABC。，CD=CCj=DDX=3,CQ=L設(shè)。為。C的中點(diǎn).

⑴求證：A瓦，平面。即；

(2)OR上是否存在一點(diǎn)M,使得AM與平面瓦汨內(nèi)所成角余弦為:，請說明理由.

【變式2](2023?湖北荊州?沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，正三棱柱ABC-A再C的所有棱長均為6,。

為A4的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn),

B

⑴若CE=2,證明：DC〃平面AB|E；

(2)當(dāng)直線8。與平面BXED所成角的正弦值為二，求CE的長度.

題型09利用向量法求二面角（定值）

【典例11（2023?內(nèi)蒙古赤峰?赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1,在五邊形ABCDE中，四邊形ABCE為

正方形，CDLDE,CD=DE,如圖2,將AABE沿BE折起，使得A至4處，.

（2）求二面角的余弦值.

【典例2】（2023秋?云南大理?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，平面A3CD,

PA=AB=AD=2,四邊形ABCD滿足AB，相＞,BC//AD,BC=4,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).

⑵點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn),若BE=1,求二面角P-DE-M的余弦值.

【變式1](2023?海南海口?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，多面體A耳2-42皿中，四邊形ABCD

c1AB

是菱形，ZABC=60°,AB//A耳，AB=2AlB]=4,AD/ZA^,AD=2A]D1,例_L平面A3CZ),A\-

⑴求知

(2)求二面角C4,-。的正弦值.

【變式2】(2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB=2,正四棱錐P-ABCD

O

的體積為§，點(diǎn)M為尸c的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn).

(1)求證：1W〃平面PAD；

⑵求二面角P--N的余弦值.

題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）

【典例11（2023春?安徽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，所

有棱長都相等，ABLAD,E,歹分別是棱PC,尸8的中點(diǎn)，G是棱A8上的動(dòng)點(diǎn)，且而=4題.

⑴若彳=（，證明：GF〃平面BDE.

（2）求平面瓦應(yīng)與平面POG夾角余弦值的最大值.

【典例2]（2023秋?重慶萬州?高二重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中,

AB//CD,AP1PD,AB1BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2,￡是依的中點(diǎn).

（1）求CE的長;

（2）設(shè)二面角尸-45-8平面角的補(bǔ)角大小為0,若，求平面B4D和平面形。夾角余弦值的最小

值.

【變式1](2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考階段練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-中，底面

是邊長為2的等邊三角形，CQ=2,2ACq=60。.。,E分別是線段AC,CG的中點(diǎn)，二面角Q-AC-B為直

二面角.

(1)求證：4C，平面比)E；

(2)若點(diǎn)P為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，求銳二面角尸的余弦值的取值范圍.

【變式2](2023?全國?高三專題練習(xí))如圖①所示，長方形ABCD中，AD=2,AB=3,點(diǎn)加是邊CO

靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，將△ADM沿AM翻折到△B4M,連接尸8,PC,得到圖②的四棱錐尸-ABQW.

P

(1)求四棱錐尸-ABCM的體積的最大值；

(2)設(shè)P-AM-。的大小為0,若，求平面24〃和平面PBC夾角余弦值的最小值.

題型11利用向量法解決二面角中的探索性問題

【典例1】(2023?全國?高三對(duì)口高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,

AB±AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱依上一點(diǎn).

(1)若因W=2MP,求證：〃平面MAC；

(2)若平面上鉆_1_平面至。。，平面上M>_L平面ABCD,求證：PA_L平面A3CD；

(3)在(2)的條件下，若二面角3-AC-M的余弦值為三7，求P笠M的值.

3PB

【典例2】(2023春?安徽?高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在四棱錐S-4JCD中，側(cè)面SAB

為邊長為2的等邊三角形，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,CD=1,底面梯形的兩條對(duì)角線AC和30

互相垂直，垂足為。，SO=&,點(diǎn)/為棱S3上的任意一點(diǎn).

(1)求證：ACLDM；

⑵是否存在點(diǎn)M使得二面角3C的余弦值為*若存在求出點(diǎn)M的位量若不存在請說明理由.

【變式11（2023?山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學(xué)校考三模）已知在直三棱柱ABC-4用G中，其中

44,=2/^=4,48=8仁/為8耳的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是CQ上靠近G的四等分點(diǎn)，A/與底面A3c所成角的余弦

值為立.

（1）求證：平面AFC_L平面AEF；

⑵在線段曠上是否存在一點(diǎn)N,使得平面A“與平面慚所成的銳二面角的余弦值為手，若存在,

確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請說明理由.

【變式2］（2023春?湖北武漢?高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖1直角梯形ABC。，

AB\\CD,ZDAB=90°，AB=4,AD=CD=2,E為A3的中點(diǎn)，沿EC將梯形ABC。折起（如圖

2）,使平面班Z）J_平面AECO.

（2）在線段CD上是否存在點(diǎn)尸，使得平面E鉆與平面防C所成的銳二面角的余弦值為g,若存在，求出

點(diǎn)廠的位置：若不存在，請說明理由.

題型12利用向量法求點(diǎn)到直線的距離

【典例11（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期中）如圖，ABCD—EFGH是棱長為1的正方體，若Pe平

面BDE,且滿足》=:方+22而-丸）/，則尸到的距離為（）

A.B.當(dāng)C.手D..

【典例2】（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）在梯形ABCD中，AB//CD,ZD=90°,AB=2五,ADDC=y/2,

如圖1.現(xiàn)將△ADC沿對(duì)角線AC折成直二面角P-AC-3,如圖2,點(diǎn)加在線段3尸上.

（1）求證：AP1CM；

⑵若點(diǎn)“到直線AC的距離為半，求篝的值.

【變式1](2023春?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)42,0,2),8(0,0,1),C(2,2,2),

則點(diǎn)A到直線BC的距離為()

A."B.-C.拽D.75

333

【變式2](2023春江蘇連云港?高二連云港高中校考階段練習(xí))如圖，在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD

是直角梯形，AD\\BC,ZABC=900.&4,底面ABC。，SA=ABBC=2AD=2.建立適當(dāng)?shù)目?/p>

間直角坐標(biāo)系.

S

(1)求平面SAB與平面SCD夾角的正弦值;

⑵求S到直線的距離.

題型13利用向量法求點(diǎn)到平面的距離

【典例1】(2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，尸￡＞，底

面45a),￡為PC的中點(diǎn)，PD=DC=2.

(1)證明：PA//平面BDE;

(2)求點(diǎn)E到平面PAB的距離.

【典例2】(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測)如圖，棱長為2的正方體ABC。-44GR中,

P為線段8Q上動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：CP〃平面ABD；

(2)當(dāng)直線5P與平面\BCD,所成的角正弦值為立時(shí)，求點(diǎn)D到平面\BP的距離.

【變式1](2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在多面體42CCM4中，四邊形2BCC是邊長為4的正方形,

AB1B.B,AA6C是正三角形.

(1)若4為A3的中點(diǎn)，求證：直線AC〃平面ABG；

(2)若點(diǎn)4在棱A可上且例=24耳，求點(diǎn)C到平面的距離.

【變式2](2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知多面體PQA88,四邊形ABC。是

qr

等腰梯形，AD〃BC,BC=2AD=2AB=4,四邊形PQ4。是菱形，ZQAD=^,E,尸分別為QA,BC

的中點(diǎn)，QF=e

(1)求證：平面。尸平面A3CD；

(2)求點(diǎn)E到平面。陽的距離.

題型14利用向量法解決點(diǎn)到平面的距離的探索性問題

【典例1X2022秋?重慶沙坪壩福二重慶八中?？茧A段練習(xí))圖1是直角梯形ABCD,AB//CD,ZD=90°,

四邊形A3CE是邊長為4的菱形，并且N3CE=6O。，以班為折痕將△以⑦折起，使點(diǎn)C到達(dá)4的位置，

且AG=2灰，如圖2.

(1)求證：平面8GE,平面ABE。；

(2)在棱DG上是否存在點(diǎn)P,使得p到平面ABG的距離為手？若存在，求出直線E尸與平面ABC1所

成角的正弦值.

【典例2】(2022秋?湖北孝感?高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面a

底面ABC。，側(cè)棱PA=PD=2&,底面ABCD為直角梯形，其中3C〃AD,A5，AD,AD=2A5=23C=4,

。為AD的中點(diǎn).

BC

(1)求證：PO1平面ABCD；

(2)求平面PCD與平面PA。夾角的正弦值；

(3)線段AZ)上是否存在Q,使得它到平面PC。的距離為6?若存在，求出器的值；若不存在，說明理

由.

【變式1](2022春?江蘇常州?高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是菱形