全等三角形中的手拉手模型-2023年中考數(shù)學幾何模型重點突破訓練

專題12全等三角形中的手拉手模型

內(nèi)容導航：模型分析T典例分析T

【模型1】等腰三角形中的手拉手全等模型

如圖，AABC與4ADE均為等腰三角形，且NBAC=NDAE,連接BD、CE,貝（I/XABD峪Z\ACE。

【證明】

ZBAC=ZDAE

ABAD=NCAE

又：AABC與4ADE均為等腰三角形

，在A4RD和A4CE中

AB=AC

<ABAD=ZCAE

AD=AE

-.△ABDACE

【模型2】等邊三角形中的手拉手全等模型

如圖，AABC與4CDE均為等邊三角形，點B、C、E三點共線，連接AE、BD,則ABCD義Z\ACE。

【模型3】一般三角形中的手拉手全等模型

如圖，在任意AABC中，以AB為邊作等邊AADB,以AC為邊作等邊AACE,連接DC、BE,則AADC

^△ACE.

【模型4】正方形中的手拉手全等模型

如圖，在任意AABC中，以AB為邊作正方形ABDE,以AC為邊作正方形ACFG,連接EC、BG,則4

AEC^AABG.

【例1】如圖，C為線段/E上一動點（不與點A,E重合），在NE同側(cè)分別作等邊三角形N5C和等邊三

角形CDE,AD與BE交于點O,4D與BC交于點、P,BE與CD交于點、Q,連結(jié)尸0.以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZAOB=60°

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC8E=/DE。，于是

NAOB=NDAC+/BEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,得出A正確；根據(jù)（ASA）,得出B

正確；由△/CD四△BCE得加之N4CB=NDCE=6Q°,4C=BC,得到（ASA）,

再根據(jù)/尸。。=60。推出△PC0為等邊三角形，又由/尸0C=N￡>CE,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C

正確；根據(jù)NCQE=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知得出D錯誤.

【解析】解：?.?等邊△45。和等邊△口）￡,

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=60。,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即NACD=/BCE,

在CD與△BCE中，

AC=BC

<NACD=/BCE,

CD=CE

:?4ACDmABCE(SAS),

:./CBE=/DAC,

XVZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即/ACP=/BCQ,

又?：AC=BC,

在△CQ5與中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

:.叢CQBQ叢CPA(ASA),

：.CP=CQf

又?:/尸CQ=60?？芍魇珻0為等邊三角形，

???ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,

故C正確，

,:△CQBmLCPA,

：.AP=BQ,

故B正確，

?；AD=BE,AP=BQ,

：.ADAP=BEBQ,

即DP=QE,

ADQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=6Q°,

：.4DQE*4CDE,故D錯誤；

ZACB=ZDCE=60°,

：.NBCD=60。,

:等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:.BC〃DE,

：.NCBE=NDEO,

：.ZA0B=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正確.

故選：D.

【例2】如圖，A/BC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD,NBDC=120。.E、/分別在/3、NC上，且

NEDF=60°,則三角形AEF的周長為.

【答案】10

【分析】延長AB到N,使BN=CF,連接DN,求出/FCZ>/￡">=/A?Z>90。，根據(jù)SAS證絲△/CD,

推出DN=ORZNDB=ZFDC,求出/ED尸=NEZW,根據(jù)S4S證△￡￡>尸也△EZW,推出EF=￡N,易得△4EF

的周長等于AB+AC.

【解析】解：延長到N,使BN=CF,連接DN,

:LABC是等邊三角形,

ZABC=ZACB=60°,

■:BD=CD,NBDC=120。,

J/DBC=/DCB=3。。,

：.ZACD=ZABD=300+60o=90°=ZNBD,

■:在XNBD和△/C。中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:?ANBDmAFCD(SAS)f

：.DN=DF,ZNDB=ZFDC,

VZ5Z)C=120°,ZEDF=60°,

：.ZEDB+ZFDC=60°,

：./EDB+/BDN=60°,

即ZEDF=ZEDN,

在△瓦W和月中，

DE=DE

<ZEDF=ZEDN,

DN=DF

:.△EDNQ^EDF(SAS),

：.EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

???△ZBC是邊長為5的等邊三角形，

：.AB=AC=5,

?:BE+CF=EF,

：.AAEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=\O,

故答案為：10.

【例3】如圖1,B、C、。三點在一條直線上，AD與BE交于點、O,△48C和△EC。是等邊三角形.

A

AE

圖1

(1)求證：AACD冬ABCE；

(2)求N20D的度數(shù);

(3)如圖2,若3、C、。三點不在一條直線上，的度數(shù)是否發(fā)生改變?(填“改變”或“不改

變”)

【答案】(1)證明見解析

(2)/3。。=120。

(3)不改變，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)“&4s證明△4CD絲ABCE即可;

(2)由全等三角形的性質(zhì)得N/DC=N3￡C,再由三角形的外角性質(zhì)得//08=60。，即可求解;

(3)同(1)得：AACD竺ABCE,得出ND4C=NEBC,根據(jù)三角形外角求出//OE=120。，即可得出答

案.

【解析】(1)證明：:△/Be和△ECD是等邊三角形,

；.NACB=/ECD=60°,BC=4C,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在八BCE和中

BC=AC

：(NBCE=ZACD,

CE=CD

:.ABCE沿4ACD(S/S).

(2)解：,：ABCE必ACD,

：.NADC=Z.BEC,

,：ZAOB=ZEBC+ZADC,

NAOB=/EBC+/BEC=NDCE=60°,

AAOB+ZBOD=MO°,

：.ZBOD=120°.

(3)解：不改變，理由如下：

同(1)得:AACD咨ABCE(SAS),

：.ZDAC=ZEBC,

"：ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

ZBOD=ZAOE=120°,

即N30D的度數(shù)不改變.

故答案為：不改變.

一、單選題

1.如圖，△/2C和△4DE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。,連接CE交4D于點R連接AD

交CE于點G,連接BE.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）

22

@CE=BD；②△/OC是等腰直角三角形；③/ADB=NAEB；@SmBCDE=|BD-CE,@BC+DE=

BE2+CD2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得N2=/C,AD=AE,然后求出/A4D=NC4E,再利用“邊角邊”證明

和△NCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=8。，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對應角相等

可得N48Z)=//C￡,從而求出NBCG+NC8G=/ZCB+//8C=90。，再求出/BGC=90。，從而得到3D_LC￡,

根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形的面積之和可判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出BE2+CD2t

得到⑤正確；再求出NE〃C。時，ZADC=90°,判斷出②錯誤；N/EC與NA4E不一定相等判斷出③錯誤.

【解析】解：：，△NBC和都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

"：ZBAD=ZBAC+ZC4Z)=90°+ZCAD,ZCAE=ZDAE+ZCAD=9Q°+ZCAD,

：.NBAD=/CAE,

:.4ABD沿AACE(.SAS'),

：.CE=BD,ZABD=ZACE,故①正確；

NBCG+/CBG=NACB+NABC=90°,

在ABCG中，/BGC=180°(/BCG+NCBG)=180°90°=90°,

：.BD±CE,

SamBCDE=S^BCE+S.DCE=gCEBG+；CEDG=yBD-CE,故④正確；

由勾股定理，在用ABCG中，BC^BGP+CG2,

在用△DEG中，DE^DCP+EG2,

BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2,

在RfABGE中，BE^BC^+EG2,

在此△CZ)G中，CD2=CG+DG2,

BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2,

：.BC2+DE~=BE2+CD2,故⑤正確；

從題干信息沒有給出ZC=40,所以只有/E〃。口時，ZDAE=ZADC=90°,

無法說明/E〃8，更不能說明CD=/2故②錯誤；

AABD咨4ACE,：.ZADB=ZAEC,

???條件不足以證明AC/Eg

???ZAEC與ZAEB相等無法證明，

:.NADB=NAEB不一定成立,故③錯誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個.

故選：c.

2.如圖，正A4BC和正△CDE中，B、C、。共線，且8c=3CD,連接4D和BE相交于點尸，以下結(jié)論中

正確的有()個

①//F8=60°②連接尸C,則CF平分N8尸。③BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明ABCE之A/C。，從而得到/C8E=/C4D,再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可

求解/4F3=4CS=60。，即可證明①；作CM_L8￡于W點，CNLAD于N點、,證明ACEWGACDN,結(jié)

合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示△BCF和AOC尸的面積，然后利用比值即可證明③；

利用“截長補短”的思想，在/。上取點。，使得尸C=P0,首先判斷出△尸C。為等邊三角形，再結(jié)合“手拉

手''模型推出ABC廠0A/C。即可證明④.

【解析】解：①和△(?￡>￡均為等邊三角形，

/.ZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

/.NBCE=ZACD,

在ABCE和△/CD中，

BC=AC

<ZBCE=NACD

EC=DC

：.ABCE均ACD(SAS),

：.ZCBE=ACAD,

*/ZAFB=ZCBE+ZCDA,NACB=ZCDA+ACAD,

:.ZAFB=NACB=60°,故①正確;

②如圖所示，作CNL3E于河點，CN1AD于N1,

貝！JACME=ZCND=90P,

,?ABCE知ACD,

：.ZCEM=ZCDN,

在ACEM和△CZW中，

ACME=ZCND

<ZCEM=ZCDN

CE=CD

:.KEM均CDN(AAS),

CM=CN,

:.CF平分/BFD,故②正確；

③如圖所示，作">_L8D于尸點，

,/S=-BFCM=-BC-FP,S=-DFCN=-CD-FP,

M22nrF22

c-BF-CM-BC-FP

?、4BCF__2_________2______

**[―1~1'

(\DCF—DF?CN—CD?FP

22

CM=CN,

.??整理得：—,

DFCD

BC=3CD,

.BF3CD0

?.——3,

DFCD

：.BF=3DF,故③正確；

④如圖所示，在4。上取點。，使得尸。=/0,

ZAFB=ZACB=60°fCF平分NBFD,

：.ZBFD=120°,ZCFD=-ZBFD=60P,

2

.?.△夕。0為等邊三角形，

：.ZFCQ=6009CF=CQ,

?：ZACB=60°,

工NACB+/ACF=/FCQ+/ACF,

NBCF=AACQ,

在和A/C0中,

BC=AC

<ZBCF=ZACQ

CF=CQ

：.ABCF^AACQ(SAS),

BF=AQ,

■：AQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正確；

綜上，①②③④均正確；

故選：A.

3.如圖，在直線NC的同一側(cè)作兩個等邊三角形和△8CE,連接NE與CD交于點”，AE與DB交

于點G,BE與CD交于點F,下列結(jié)論：①AE=CD；②NAHD=60。；③△。尸2；④BH平分/GBF；

⑤G/〃/C；⑥點H是線段DC的中點.正確的有（）

【答案】C

【分析】連接G凡過點8作8ALL/E于BN1CD于N；結(jié)合題意，利用等邊三角形、全等三角形的性

質(zhì)，推導得/E=CD,NAHD=NABG=60。；再根據(jù)等邊三角形、角平分線的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【解析】連接GR過點5作創(chuàng)（LZE于BN1CD于N

V/\ABD,△5CE都是等邊三角形，

ZABD=ZEBC=60°,BA=BE,BE=BC,

：.NABE=ZDBC,

在和△DB。中，

BA=BD

</ABE=/DBC

BE=BC

:?△ABEmdDBC(SAS),

：.AE=CD,故①正確；

4ABE咨LDBC,

：.ZBAE=ZBDC,

NAGB=NDGH,

:?/AHD=NABG=60。,故②正確；

在和△。必中，

'ZBAG=ZBDF

<AB=DB

/ABG=/DBF=6U

：?4AGBW4DFBCASA),故③正確；

△AGBQADFB,

：.BG=BF,

u：ZGBF=60°,

：./是等邊三角形，

???ZFGB=ZABD=60°,

.,.FG//AC,故⑤正確；

:AABE出ADBC,BMA,AE,BNLCD,

：.BM=BN,

：.BH平分N4HC,但不一定平分NGAF,故④錯誤；

根據(jù)題意，無法判斷￡>〃=C〃，故⑥錯誤.

故選：C.

4.如圖，點C是線段AE上一動點(不與A,E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,有以下5個結(jié)論：①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的結(jié)論有()個

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于^ABC和aCDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,從而證出

△ACD^ABCE,可推知AD=BE；

③由4ACD名ZXBCE得NCBE=/DAC,加之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得到△ACPgaBCQ(ASA),

所以AP=BQ；故③正確；

②根據(jù)②△CQBgACPA(ASA),再根據(jù)/PCQ=60。推出aPCQ為等邊三角形，又由/PQC=NDCE,根

據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據(jù)/DQE=/ECQ+/CEQ=6(T+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE力NCDE,可知④錯誤；

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC〃DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCBE=NDE0,于是

ZA0B=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDE0=ZDEC=60°,可知⑤正確.

【解析】①：等邊4ABC和等邊ADCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中,

AC=BC,NACD=NBCE,DC=CE,

???AACD^ABCE(SAS),

???AD=BE；

故①正確；

③AACD義ABCE(已證)，

AZCAD=ZCBE,

NACB=NECD=60。(已證)，

.,.ZBCQ=180°60°x2=60°,

???NACB=NBCQ=60。，

在AACP與ABCQ中，

NCAD=NCBE,AC=BC,NACB=NBCQ=60。，

???△ACPABCQ(ASA),

???AP=BQ；

故③正確；

?VAACP^ABCQ,

???PC=QC,

AAPCQ是等邊三角形，

???NCPQ=60。,

???NACB=NCPQ,

???PQ〃AE；

故②正確；

④??，AD=BE,AP=BQ,

二?AD—AP=BE—BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,NCDE=60。,

???ZDQE#ZCDE,

???DE，QE,

則DPWDE,故④錯誤；

⑤???ZACB=ZDCE=60°,

，NBCD=60。，

:等邊△口?￡,

ZEDC=60°=ZBCD,

，BC〃DE,

.,.ZCBE=ZDEO,

.".ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯誤的結(jié)論只有④，

故選D.

5.如圖，在AABC中，48=NC,點。、尸是射線BC上兩點，且ND_LN尸，若ZE=/。，ABAD=ZCAF=15°；

則下列結(jié)論中正確的有（）

①CELBF；②AABDZAACE；③=$四邊形仞CE;@BC-^EF=2AD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】由ADJ_AF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/B=/ACB=45。，

由SAS證得4ABD且ZiACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=SBSBADCE,則/ECB=90°,

即EC_LBF,易證NADF=60。，ZF=30°,由含30。直角三角形的性質(zhì)得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,貝＞]BD=：EF,

由BCBD=DFCF,得出BC(EF=2ADCF,即可得出結(jié)果.

【解析】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ZBAC=90°,

VAB=AC,

；.NB=/ACB=45°,

在AABD和AACE中,

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

.'.△ABD^AACE(SAS),

???BD=CE,ZB=ZACE=45°,SZIABC=S四邊形ADCE,

ZECB=90°,

AEC±BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

JZADF=60°,

???NF=30。，

AEF=2CE=2BD,DF=2AD,

.?.BD=yEF,

VBCBD=DFCF,

.?.BCyEF=2ADCF,

.??①、②、③、④正確.

故選：D.

6.如圖，在△0/8和△。。中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,連接NC,BD交于

點M,連接0M,下列結(jié)論：

①AAOC咨ABOD；②AC=BD；③/NAffi=40°；④MO平分/BMC.

其中正確的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】由題意易得NA0C=/B0D,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角平分線的判定定理可進行求解.

【解析】解：：/AOB=NCOD=40。，NA0D是公共角，

ZC0D+ZA0D=ZBOA+ZAOD,即ZAOC=ZBOD,

VOA=OB,OC=OD,

.".△AOC^ABOD(SAS),

；.AC=BD,ZOAC=ZOBD,ZODB=ZOCA,故①②正確;

過點。作OELAC于點E,OFLBD于點F,BD與OA相交于點H,如圖所示:

VZAHM=ZOHB,ZAMB=180°ZAHMZOAC,ZBOA=180°ZOHBZOBD,

ZAMB=ZBOA=40°,

ZOEC=ZOFD=90°,

VOC=OD,ZOCA=ZODB,

.,.△OEC^AOFD(AAS),

；.OE=OF,

.?.OM平分/BMC,故③④正確；

所以正確的個數(shù)有4個；

故選A.

二、填空題

7.如圖，在正方形48。中，￡是對角線AD上一點將線段CE繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。

得到線段CE',連接/E,DE',EE'.下列結(jié)論：①若/胡￡=20。，則乙DEE=70。；?BE2+DE2=2AE2;

9

③若NBNE=30。，則DE=6BE;④若3C=9五，EC=IO,貝|sin/DEC=歷.其中正確的結(jié)論有

（填正確的序號）

【答案】①②④

【分析】證明△8CE=△E'CD,可得NE=CE,BE=DE'ZCDE'=ZEBC=45°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理可判斷①正確；在必△E'CE中，E'E2=CE'2+CE2=2CE2,BE2+DE2=2AE2，從而判斷②正確；③

證明DE=^DE'=^BE,故可判斷③錯誤；連接/C與3。交于點。，計算可得C0=9,根據(jù)正弦定理可判

斷④正確.

【解析】解：：四邊形/BCD是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90。,

線段CE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE',

CE=CE',ZECE'=90°,

△ECE'是等腰直角三角形，

二ZEE'C=ZE'EC=45°,

ZBCD-ZECD=ZECE'-Z.ECD,

即ZBCE=ZE'CD,

在△8CE和△E'CD中，

BC=CD

<ZBCE=ZE'CD

CE=CE'

:.△BCE/XDCE，(&4S),

二ZCDE'=ZEBC=45°,BE=E'D,

ZEDE'=45°+45°=90°,

即是直角三角形，

:四邊形/BCD是正方形，E在對角線3。上，

/BCE=NBAE,

/.ZDEC=ZDEE'+ZE'EC=ZEBC+Z.BCE,ZE'EC=ZEBC=45°,

/DEE'=/BCE=ZBAE,

,/ZBAE=20°,

AZDE'E=90°~ZDEE'=70°,故①正確；

在必中，E'E2=CE'2+CE2=ICE2,

在RtXE，DE中,E'E2=DE'2+DE2=BE1+DE1，

BE2+DE2=2AE~，故②正確；

若ZBAE=30°,則ZDEE'=ZBCE=ZBAE=30°,

在在■中，DE=y/3DE,,

"?BE=DE',

DE=拒BE,故③錯誤；

連接NC與交于點。，如圖，

?.?四邊形是正方形,

.,.ZEOC=90°,且ABOC是等腰直角三角形,

BC=972

后萬

??CO—BCx=9V2x=9,

22

"C=10,

CO9

/.sinXDEC==,故④正確?

BC10

故答案為：①②④.

8.如圖，。是正內(nèi)一點，OZ=3,OB=4,OC=5,將線段3。以點3為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

線段80,下列結(jié)論：①點。與。'的距離為4；②//。8=150。；③S"C-S”℃=3Q+6；

④$.℃+%/豳=6+些其中正確的結(jié)論是.（只填序號）

/\4℃/\A\JD------------------------------------------------

【答案】①②④

【分析】由題意可得△BOC之△A4。，，△BOO,是等邊三角形，可得/。，=。。=5,00'=4,可判斷是

直角三角形.可判斷①②③，由S幽茲的4。20=54/0。，+5/k。。，3=5/2。。+&/0。，可判定③④.

【解析】解；連接。。'，如圖1,

O'，

斤------------------V

圖1

???BO=BO',NO"'=60。，

A8。。'是等邊三角形，

OO'=BO=4,故①正確；

ZOBO'=ZABC=60°,

:ZBO,=ZABC且OB=OB'，AB=AC,

\ABO'=\BOC(SAS),

AO'=CO=5,

???O'A2=25,AO2+O'O2=25,

O'A2=AO2+O'O2,

:.ZAOO'=90°,

:.ZAOB^150°,故②正確；

是等邊三角形，AO=3,OO'=4,

二%。。，=46,SMoo.=6,

SJBC-S-OC6AABC拈"B。寸四邊形HOBOk6+4式，故③錯誤;

如圖2,M0C繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60。到AA8。位置，

同理可得5根℃=6+—＞故④正確；

故答案為：①②④.

9-在“BC中，ZACB=90°,48=60。，4B=4,點D是直線BC上一動點,連接/。，在直線力。的右

惻作等邊A/DE,連接CE,當線段CE的長度最小時，則線段C。的長度為

￡

floc

【答案】3

【分析】以AC為邊向左作等邊三角形ACF,連接DF,先根據(jù)直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一

半求出BC的長，再由勾股定理求出AC的長，根據(jù)作的輔助線證明泌/陽(&4S),則C￡=DF,當

。尸，3C時，DF的長是最小的，即CE的長最小，求出此時CD'的長即可.

【解析】解：如圖，以AC為邊向左作等邊三角形ACF,連接DF,

VZACB=90°,=60°,

ABAC=30°,

4B=4,

：.BC=-AB=2,

2

?*-AC=>]AB2-BC2=273-

：ANC廠是等邊三角形，

:.CF=AC=AF=25ZFAC=60°,

,**AADE是等邊三角形，

；?AD=AE,ZDAE=60°f

?.*/FAC-ADAC=/DAE-ADAC,

：.ZCAE=/FAD,

在△4CE和V4F。中,

AC=AF

</CAE=NFAD,

AE=AD

：.^ACE=^AFD（SAS）f

：.CE=DF,

當。尸，時，DF的長是最小的，即CE的長最小，

*.?AFCD'=90°-60°=30°,Rt^CFDf,

22

D'F=|cF=V3,CD'=^CF-D'F=3，

.??當線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為3.

故答案是：3.

10.如圖，在中，ZABC=45°,AB=3,/D_LBC于點。，BE上4c于點,F.AE=1,連接。E,將

沿直線ZE翻折至所在的平面，得A4E廠，連接。尸.過點。作DG_LDE交BE于點G,則四

邊形DFEG的周長為.

【答案】372+2

【分析】先證A5OG三AOE,得出/E=3G=1,再證ADGE與A5Z汨是等腰直角三角形，在直角A4EB中

利用勾股定理求出的長，進一步求出GK的長，可通過解直角三角形分別求出GO,DE,EF,。尸的長,

即可求出四邊形。巫G的周長.

【解析】VZABC=45°,4DLBC于點、D,

ABAD=90°-NABC=45°,

\ABD是等腰直角三角形，

AD=BD,

'：BELAC,

.*?ZGBD+ZC=90°,

ZEAD+ZC=90°,

：.ZGBD=ZEAD,

ZADB=ZEDG=90°,

Z.ZADB-ZADG=ZEDG-ZADG,

即ZBDG=/ADE,

：.NBDG=AADE(ASA),

：.BG=AE=1,DG=DE,

ZEDG=90°,

\EDG為等腰直角三角形，

/.AAED=AAEB+NDEG=90°+45°=135°，

AAED沿直線AE翻折得AAE廠，

\AED=M.EF,

NAED=NAEF=135°,ED=EF,

NDEF=360°-ZAED-ZAEF=90°,

為等腰直角三角形，

EF=DE=DG,

在RtzUEB中，

BE=y/AB2-AE2=V32-I2=272，

GE=BE-BG=2也-1，

在RtADGE中，

y/26

DG=—GE=2~—,

22

.V2

；.EF=DE=2--,

2

在RtAAE尸中，

DF=41DE=2^-1，

四邊形DFEG的周長為：

GD+EF+GE+DF

=22--+2(26-1)

I2J

=3拒+2,

故答案為：3A/2+2.

11.如圖和是A4BC外兩個等腰直角三角形，ZBAD=ZCAE=90,下列說法正確的是:

?CD=BE,且DC_LB￡；

②DE2+BC2=2BD2+EC2;

③FA平分/DFE；

④取5c的中點連則K4_LZ)E.

【答案】①③④

【分析】①由△48。與A/CE是等腰直角三角形，AD=AB,AC=AE,/D48=/胡C可證

△ADC出△4BE(SAS),CD=BE,NAEB=NACD且NARE=NFRC,ZEAR=90°

ZAER+ZARE=ZFCR+ZFRC,即可退出；

②由DC_LBE,由勾股定理。尸+￡尸2=。石2,BF2+CF2=BC2,

DE2+BC2=(￡>F2+BF2)+[CF2+EF2)=BD2+EC2,即可；

③過點A作NS_LDC,/G_LBE,可證AADS^AABG(AAS),由性質(zhì)得AS=AG,結(jié)合ASLDC,AG±BE,

即可；

④取8c中點Af,使得NAf=ACV,易證A8A/7VgACA<￡4(SAS),推出8N=ZC,再證AZX4E0A48N(SAS),

推出=,由/ZX4〃+/5/N=90。，推出=90。即可.

【解析】?.?A/BD與A/CE是等腰直角三角形，

AD=AB,AC=AE,NDAB=NEAC,

ADAC=ZEAB,在^ADC與AABE中，

AD=AB

-ADAC=ZEAB,:.^ADC^ABEKAS),

AC=AE

CD=BE,

設(shè)BE交ZC于點R,

DE

A

B

由①可知乙4EB=NACD且ZARE=ZFRC,

NAER+ZARE=ZFCR+ZFRC,

NEFC=ZEAR=90°,即。C_LBE,

故①符合題意.

②DCLBE,

DF2+EF2=DE2，BF2+CF2=BC2，

DF2+EF2+BF2+CF2=DE1+BC2，

^.DF2+BF2=BD2，CF2+EF2=CE2,

:.DE2+BC2=BD2+CE2.

故②不符合題意.

③證明，過點A作/S_LZ)C,AGYBE,

由①可知=S.AD=AB,ZASD=ZAGB,

：.在△4DS與AABG中,

AADS=ZABG

-ZASD=ZAGB,:.AADS^ABG(AAS),

AD=AB

AS=AG,且NS_LZ)C,AG±BE,

:.FA平分NDFE,故③符合題意.

④作5c中點M,倍長使得

BM=MC

：.在ABMN與ACMA中，\ZBMN=ZCMA,

MN=AM

：ABMN沿4cMAeAS),則BN=/C,

AC=AE,BN=AE,

■：ZBAC+ZDAE=180°,ZBAC+ZABN=180°,

ZDAE=ZABN,.,.在與中，

4D=AB

<NDAE=ZABN,:.ADAE公AABNeAS),

AE=BN

ZBAN=ZADH,

NDAH+ZBAN=90°,ZDAH+ZADH=90°,

/AHD=90°,即NM_LDE,

故④符合題意.

故答案為：①③④.

12.(1)如圖(1),在四邊形/3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是8C,CD上的動點，且

NEAF=；NBAD,求證：EF=BE+DF.

(2)如圖(2),在(1)的條件下，當點E,尸分別運動到8C的延長線上時，跖尸之間的數(shù)量

關(guān)系是.

圖⑴圖(2)

【答案】(1)詳見解析；(2)EF=BE-DF

【分析】(1)延長FD到點G,使DG=BE,連接NG,先證明A4BE2A^DG(SNS),得到

AE=AG,ZBAE=ZDAG,然后證明AAEF0A4G尸，得至"EF=FG,根據(jù)尸G=DG+D尸=，可

得EF=BE+DF；

(2)在BC上截取BG=。b，連接/G,先證明4ABG之z\ADF(SAS),得至ljAG=AF,ZBAG=ZDAF,

再證明△EAG04EAF(SAS),得至[]EG=EF,根據(jù)BG=DF,即可得EF=BEBG=BEDF.

【解析】(1)如圖，延長ED到點G,^DG=BE,連接NG.

?1-4B+ZADF=ZADG+ZADF=180°，

ZB=ZADG,

又；AB=AD,BE=DG,

；.AABE出MDG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

■：ZEAF=-ZBAD,ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+NDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF.

2

VAE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

NAEF也\AGF,

EF=FG.

■：FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+DF

(2)EF=BE-DF.

如圖，在BC上截取3G=。尸，連接/G,

F

圖(2)

???/B+ZADC=ZADC+ZADF=180°,

ZB=ZADF，

AB=AD

在4ABG和AADF中,N5=ZADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,

ZBAD=2ZEAF,

/.ZBAG+ZGAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF+ZEAD+ZDAF,

???ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在4EAG和AEAF中</EAG=ZEAF,

AE=AE

AAEAG^AEAF(SAS),

???EG=EF,

VBG=DF,

???EF=BEBG=BEDF.

三、解答題

13.如圖，若△極)和都是等邊三角形，求N50。的度數(shù).

R

【答案】120。.

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得40=48,AC=AE,NDAB=NC4E=60。,利用SAS即可證明

△DAC/4BAE,從而得出/ABE=NADC,設(shè)AB與CD交于點F,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即

可求出/B0F,利用平角的定義即可求出結(jié)論.

【解析】證明：△NEC都是等邊三角形，

：.AD=AB,AC=AE,^DAB=^CAE=60°,

VZDAC=ZBAC+60°,/BAE=NBAC+6Q。,

：.ZDAC=NBAE,

在4c和△A4E中，

AD=AB

<NDAC=NBAE,

AC=AE

:.ADAC咨ABAE(SAS),

；.NABE=NADC

設(shè)AB與CD交于點F,

ZBFO=ZDFA

ZBOF=180°-ZABE-ZBFO=180°-ZADC-ZDFA=ZDAB=60°

ZBOC=180°-ZBOF=120°.

14.如圖，△4CB和AECD都是等腰直角三角形，C4=CdCD=CE,4/C8的頂點/在AECD的斜邊DE上,

連接30.

CB

(1)求證：BD=AE.

(2)若NE=3cm,4D=6cm,求/C的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)AC=^-cm.

2

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得出/BCD=/ACE,然后根據(jù)SAS定理證明△BCDgZ\ACE,從而得

出結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NBDC=/AEC,然后結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得NBDA是直角三角

形，從而利用勾股定理求解.

【解析】(1)和A￡CD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90。,

：.ZACD+ZBCD=9(f,ZACD+ZACE=9(F,

???/BCD=AACE,

在ABCD和△4C5中，

CB=CA

<ZBCD=ZACE

CD=CE

：.VBCD^ACE(SAS),

:?BD=AE.

(2)V^BCD^ACE,

???/BDC=ZAEC,

又???△￡(?是等腰直角三角形，

J/CDE=/CED=45。,

：.ZBDC=45°,

：.NBDC+NCDE=9。。,

???是直角三角形，

???AB2=BD2+AD2=AE2+AD2=32+62=45.

在等腰直角三角形4c5中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

15.如圖，ZkACB和ADCE均為等腰三角形，NACB=NDCE=90。，點A,D,E在同一條直線上，連接

BE.

(1)求證：AD=BE；

(2)若/CAE=15。，AD=4,求AB的長.

【答案】（1）見解析；（2）8

【分析】（1）直接證明V/C。也V8CE,即可得出結(jié)論；

（2）由（1）可進一步推出為直角三角形，且NE48=30。，從而由43=25E求解即可.

【解析】（1）,??△ACB和4DCE均為等腰三角形，ZACB=ZDCE=90°,

ZADC=ZBCE,

在與ABCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE

DC=EC

:.^ACD^BCE(SAS),

AD=BE；

(2)?.?△NBC是等腰直角三角形，

N4BC=45°,

由(1)可知，NCAE=NCBE=15。,BE=AD=4,

ZABE=ZABC+ZCBE=45°+15°=60c,

NABE=NACB=90P,

則在MAN班中，ZEAB=30°,

AB=2BE=8.

16.如圖，在AABC中，AB=BC,/ABC=120。，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)120。能與BE重合，點F是ED與AB的交點.

(1)求證：AE=CD；

(2)若/DBC=45。，求/BFE的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析；(2)ZBFE=105°.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明4ABE/ACBD(SAS),進而得證；

(2)由(1)得出NDBC=NABE=45。，BD=BE,ZEBD=120°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行求解即可.

【解析】(1)證明：：線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。能與BE重合，

；.BD=BE,ZEBD=120°,

VAB=BC,ZABC=120°,

/ABD+/DBC=/ABD+NABE=120°,

AZDBC=ZABE,

.".△ABE^ACBD(SAS),

；.AE=CD；

(2)解：由(1)知NDBC=/ABE=45°,BD=BE,/EBD=120。，

.\ZBED=ZBDE=y(180°-120°)=30°,

AZBFE=180°-ZBED-ZABE

=180°-30°-45°=105°.

17.A/3C和A/DE如圖所示，其中N4BC=NACB,NADE=NAED,NBAC=NDAE.

圖①圖②

(1)如圖①，連接3￡、CD,求證：BE=CD；

(2)如圖②，連接BE、CD、BD,若NBAC=NDAE=60°,CDLAE,AD=3,CD=5,求的長.

V34

【答案】(1)見解析；(2)

【分析】(1)只需證A4BE之A4C。，即可得到結(jié)論；

(2)先證明初￡。是直角三角形，再用勾股定理求助.

【解析】(1)證明：???/ZBC=/ZC5,NADE=NAED,

:.AB=AC,AE=AD,

?IZBAC=ZDAE,

ZBAE=ZCAD,

/.\ABE^\ACD(SAS),

BE=CD.

(2)解：ZADE=ZAED,

AE=AD,

?：ZDAE=60°,

\DAE是等邊三角形，

AD=ED=3,AAED=AADE=60°,

???CD工AE,

ZADC=-x60°=30°,

2

由(1)知：NABE^^ACD,

:.BE=CD=5,NAEB=NADC=30°,

ABED=90°,

BD=4BE2+ED2=V34.

18.問題：如圖1,在等邊三角形N8C內(nèi)，點尸到頂點N、8、C的距離分別是3,4,5,求//%的度數(shù)？

探究：由于以、PB、PC不在同一個三角形中，為了解決本題，我們可以將△/AP繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60。

到△4CP處，連結(jié)尸P,這樣就將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而利用全等的知識，求出N/P3的度

數(shù).請你寫出解答過程：

應用：請你利用上面的方法解答：如圖2,△48C中，ZCAB=90°,AB=AC,￡、/為8c上的點，且NE4尸=45°,

求證：BE2+FC2=EF2

圖1圖2

【答案】探究：ZAPB=15O°,應用：見解析

【分析】探究：運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的性質(zhì)得對應角相等，對應邊相等，得出NB4P=60。，

再利用等邊三