廈門(mén)市高一期末模擬試題數(shù)學(xué)

廈門(mén)市高一期末模擬試題數(shù)學(xué)

一.選擇題（共8小題）

1.己知(1-i)2Z=3+2/,貝ljz=()

33?

A.-1一方B.7+才C.*Dn--2-l

2.在△4BC中，已知B=120°,AC=V19,AB=2,貝ljBC=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.己知4,B,C是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_L8C,AC=BC=\,則三棱

錐0-45C的體積為（）

V2V3V2V3

A.—B.—C.-D.——

121244

4.在△ABC中，。為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△4BC,使得6?CE=0；

②存在三角形△ABC,使得&〃CCB+CA）；它們的成立情況是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

5.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

6.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取

1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)

字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

7.如圖，已知平面四邊形48CDABA.BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與8。交于點(diǎn)

b=OB?OC,h=OC*OD,貝I]()

B./!</3<；2C./3<71</2D./2</l</3

8.已知平面a與B所成的二面角為80°,尸為a、0外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的一條直線與a、p

所成的角都是30°,則這樣的直線有且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

二.多選題(共4小題)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,”，…，其中yi

=xi+c(Z=l,2,…，〃)，c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.設(shè)Zl，Z2,Z3為復(fù)數(shù)，ziWO.下列命題中正確的是()

A.若|切=憶3|,則Z2=±Z3B.若Z]Z2=ZIZ3，則Z2=Z3

C.若藥=Z3,則|Z1Z2|=|Z|Z3|D.若Z1Z2=|Z|『，則Z|=Z2

11.己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),Pi(cosp,-sinp),P3(cos(a+P),sin(a+p)),

4(1,0),則()

A.I欣|=|尾IB.1^1=1Al

9

C.0A*0P3=OP^OP2D.OA*OPi=0P20P3

12.在正三棱柱ABC-A向Ci中，AB=AA\=\f點(diǎn)P滿足BP=入8。+西當(dāng)，其中入RO,

1],蚱[0,1],貝lj()

A.當(dāng)人=1時(shí)，△A8iP的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)n=l時(shí)，三棱錐P-4BC的體積為定值

C.當(dāng)人另時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4P_LB尸

D.當(dāng)"=a時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得48_L平面ABi尸

三.填空題(共4小題)

13.若向量工，滿足面=3,\a-b\=5,a^b=1,則向=.

14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30e則該圓錐的側(cè)面積為.

15.記△ABC的內(nèi)角A,B.C的對(duì)邊分別為a,h,c,面積為V5,B=60°,^2+c2=3?c,

則b=.

16.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的.開(kāi)始

甲持球，傳球兩次后，球回到甲手里的概率尸2=：傳球〃次后，球

回到甲手里的概率Pn=.

四.解答題(共6小題)

17.在△ABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若A=冬，求S^ABC.

(2)若2sinB-sinC=1,求C^ABC.

18.如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的正三角形48c的中心，線段OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,并繞點(diǎn)G轉(zhuǎn)

動(dòng)，分別交邊AB、AC于點(diǎn)。、E；設(shè)五而，AE=nAC,其中OVmWl,OV〃W1.

(1)求表達(dá)式工+工的值，并說(shuō)明理由；

mn

(2)求△AOE面積的最大和最小值，并指出相應(yīng)的小、〃的值.

x>2則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)

為有顯著提高）.

22.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者

與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩

余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為今

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

廈門(mén)市高一期末模擬試題6

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

I.已知（1-i）2Z=3+2/,則2=（）

3333.

A.?1一號(hào)B.?1+充C.一/iDn.一二i

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解：因?yàn)椋?-Z）2Z=3+2Z,

3+2i_3+2i_(3+2i)i_—2+3i一3?

所以z=―

(1-i)2--2i—(-2z)i-21+2?

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則

的運(yùn)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.在△A8C中，已知8=120°,AC=g,A8=2,則BC=（）

A.IB.\f2C.V5D.3

【分析】設(shè)角4,B,。所對(duì)的邊分別為小b,c,利用余弦定理得到關(guān)于。的方程，解

方程即可求得。的值，從而得到BC的長(zhǎng)度.

【解答】解：設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

結(jié)合余弦定理，可得19=a2+4^2XaX2Xcosl20°,

即/+2aT5=0,解得〃=3（。=?5舍去），

所以BC=3.

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

3.已知4,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=BC=\f則三棱

錐0-A8C的體積為（）

V2V3V2V3

A.—B.—C.-D.一

121244

【分析】先確定AABC所在的截面圓的圓心0\為斜邊AB的中點(diǎn)，然后在RtAABC和

□△AOO1中，利用勾股定理求出0。，再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：因?yàn)锳ULBC,AC=BC=\,

所以底面ABC為等腰直角三角形，

所以△A8C所在的截面圓的圓心0\為斜邊A8的中點(diǎn)，

所以00」平面4AC,

在RtAABC中，AB=>JAC24-BC2=V2,則力。1=?，

在RtZXAOOi中，00i=JoA2-AOj=等

故三棱錐0-ABC的體積為V=1.S"?。。1=4x：x1x1x3=夸.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了錐體外接球和錐體體積公式，解題的關(guān)鍵是確定△ABC所在圓的圓

心的位置，考查了邏輯推理能力、化簡(jiǎn)運(yùn)算能力、空間想象能力，屬于中檔題.

4.在△4BC中，。為8c中點(diǎn)，七為AO中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△ABC,使得n?CE=0：

②存在三角形△ABC,使得占1〃(CB+CA)；它們的成立情況是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【分析】設(shè)A(2x,2y),B(-1,0),C(I,0),D(0,0),E(x,y),由向量數(shù)量的

坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；〃為A3中點(diǎn)，可得(E+&)=2CF,由。為5C中點(diǎn)，可得

C尸與4。的交點(diǎn)即為重心G,從而可判斷②

【解答】解：不妨設(shè)4(2r,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y),

①AB=(-I-2x?-2y)?CE=(x-1>y),

2

^AB-CE=0,則-(l+2x)(x-1)-2)2=0,即-(l+2x)(x-1)=2yf

滿足條件的(x,y)存在，例如(0,y),滿足上式，所以①成立；

②尸為48中點(diǎn)，(C3+C4)=2C凡C尸與AO的交點(diǎn)即為重心G,

因?yàn)镚為A。的三等分點(diǎn)，E為4。中點(diǎn),

所以0與a不共線，即②不成立.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題.

5.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)杳數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于J5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過(guò)求解頻率即可判斷選項(xiàng)A,B,D,

利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)C

【解答】解：對(duì)于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為(0.02+0.04)XI

=0.06=6%,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于￡該地農(nóng)戶家庭年收入天低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.02X3）Xl=0.1=

10%,故選項(xiàng)3正確；

對(duì)于。，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8

X0.2+9X0.1+10X0.1+llX0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬(wàn)元，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）XI=0.64

>0.5,

故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)。正

確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率

的求解方法以及平均數(shù)的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.

6.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取

1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2"，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)

字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【分析】分別列出甲、乙、丙'丁可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,

3）,（6,2）,

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

P（甲）P（乙）二,一（丙）=島=［尸（丁"島=4，

OOoXoOOoXoo

A：P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），

B：P（甲?。?蕓=?（甲）P（?。?，

C：P（乙丙）=白裝尸（乙）P（丙），

D：P（丙?。?0WP（丙）P（?。?，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),

屬于中檔題.

7.如圖，已知平面四邊形ABCDABLBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與8。交于點(diǎn)

0,記/[=OA-OB,h=0B?0C,h=0C?0D,則()

A./i</2</3B./i</3</2C./3<Zi</2D.h<h<h

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合圖象邊角關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：*：AB±BCtAB=BC=AD=2,CD=3,

ZMC=2V2,

???N4O8=NCOO>90°,

由圖象知0AV0C,OB<OD,

：.0>OA^OB>OC'OD,OB*OCX),

即/3</l</2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)圖象結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義是

解決本題的關(guān)鍵.

8.已知平面a與0所成的二面角為80°,P為a、0外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的一條直線與a、p

所成的角都是3U°,則這樣的直線有且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【分析】過(guò)P作平面4垂直于a、0的交線/，并且交/于點(diǎn)0,連接P。，則尸。垂直于

/,過(guò)點(diǎn)P在A內(nèi)做OP的垂線ZA以PO為軸在垂直于PO的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)力，根據(jù)三垂

線定理可得有兩條直線滿足題意.以P點(diǎn)為軸在平面A內(nèi)前后轉(zhuǎn)動(dòng)ZA根據(jù)三垂線定理

可得也有兩條直線滿足題意.

【解答】解：首先給出下面兩個(gè)結(jié)論

①兩條平行線與同一個(gè)平面所成的角相等.

②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線在二面角的平分面上.

(1)如圖1,過(guò)二面角a-內(nèi)任一點(diǎn)作棱/的垂面A08,交棱于點(diǎn)。與兩半平面

于。4,OB,則N40B為二面角a-/-0的平面角，乙408=80°

設(shè)OP1為N4O△的平分線，則NPiQ4=NPiO2=40°,與平面a,R所成的角都是30°,

此時(shí)過(guò)P且與OPi平行的直線符合要求，當(dāng)OP以O(shè)為軸心，在二面角a-/-B的平分

面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OP1與兩平面夾角變小，會(huì)對(duì)稱的出現(xiàn)兩條符合要求成30°情形.

(2)如圖2,設(shè)OP2為NAOB的補(bǔ)角NAOB'的平分線，則/尸2。4=/尸2。8=50°,

與平面a,0所成的角都是50,.當(dāng)OP2以。為軸心，在二面角a-/-0'的平分面上

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

OP2與兩平面夾角變小，對(duì)稱地在圖中OP2兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)30°情形，有兩條.此時(shí)過(guò)P且

與OP2平行的直線符合要求，有兩條.

綜上所述，直線的條數(shù)共有4條.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面角.以及考查解決線面角的特殊方法的應(yīng)用，考查空間想象

能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)動(dòng)變化的思想方法，此題是個(gè)難題.

二.多選題(共4小題)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)xi,霹，…，切，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,"，…，其中y

=xi+c(r=l>2,…，〃)，c為非零常數(shù)，貝ij()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣木中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義直接判斷即可.

【解答】解：對(duì)于4,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于于:標(biāo)準(zhǔn)差。()7)=D(Xf+c)=D(Xf),

???兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差用同，故C正確；

對(duì)于。，'：yi=xi+c(/=1,2,…，〃)，c為非零常數(shù)，

X的極差為Xniax~Xmimy的極差為(Xtnax^C)-(X/wm+c)=Xmax~Xminr

???兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義等基礎(chǔ)

知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

10.設(shè)Zl,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，Zl#0.下列命題中正確的是()

A.若|切=憶3|，則Z2=±Z3B.若Z1Z2=Z1Z3，則Z2=Z3

C.若瓦=Z3，則|Z]Z2|=|Z1Z3|D.若Z1Z2=|Z1F，則ZI=Z2

【分析】利用復(fù)數(shù)的模的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算，結(jié)合共牝復(fù)數(shù)的概念對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判

斷即可.

【解答】解：由復(fù)數(shù)的形式可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)Z1Z2=ZIZ3時(shí)，有ZIZ2-Z1Z3=Z|(Z2-Z3)=0,

又ziWO,

所以Z2=Z3，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)無(wú)=Z3時(shí)，則Z2=石，

ZZZZ

所以憶/2|2—憶"3/=(z1z2)(z^一(2/3)苗%)=12^2-13^3=。，故選項(xiàng)C

正確；

當(dāng)Z1Z2=|Z1|2時(shí)，則Z/2=㈤2=Z]石,

可得Z/2-Zi五=Zi02-Z7)=0,

所以五=z?,故選項(xiàng)O錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】木題考查了復(fù)數(shù)的模.涉及了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)以及模的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握模的運(yùn)算性質(zhì)并能夠進(jìn)行靈活的運(yùn)用.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),Pl(cos。,-sin。)，P3(cos(a+p),sin(a+p)),

A(1,0),則()

A.|0、1|=|。4|B.1Mll=|力4|

C.0A*0P3=O.joAD.OA*OPI=誦?強(qiáng)

【分析】由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】解：VP\(cosa,sina)?Pi(cosp,-sinp),P3(cos(a+p)>sin(a+p))>A

(1,0),

TT

：?0P1=(cosa,sina),0P2=(cosp,-sinR),

OP3=(cos(a+p),sin(a+p)),OA=(1,0),

TT

力Pi=(cosa-1,sina),AP2=(cos/?-L—sin/?),

22

則|OPJ=7cos2a+sin2a=1,\0P2\=yjcosp+(-sin^)=1,則|OP/=|OP2l，故A

正確：

—>

|AP/=yj(^cosa—l)2+sin2a=y/cos2a4-sin2a—2cosa+1=x/2—2cosa,

2222

\AP2\=y](cosp—l)4-(-sin^)=y]cosp+sin/7—2cosp+1=，2-2cos0,

I扁/扁,故6錯(cuò)誤;

OA-0P2=1Xcos(a+p)+0Xsin(a+p)=cos(a+p),

___T

0P1-0P2=cosacosp-sinasinp=cos(a+p),

：.OA*OP3=OP^OP2^故CE確；

OA?OP]=1Xcosa+0Xsina=cosa,

TT

0P2,0P3=cosfcos(a+p)-sin^sin(a+0)=cos[p+(a+0)]=cos(a+20),

???&?。1HOX，。"故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角

和的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.在正三棱柱ABC-AiBi。中，AB=A4i=l,點(diǎn)P滿足而=入辰+西石，其中入日0,

11，|ie[0,1],則（）

A.當(dāng)入=1時(shí)，/XABiP的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)"=1時(shí)，三棱錐P-48c的體積為定值

C.當(dāng)入時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4P_LBP

D.當(dāng)口=2時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AiB_L平面481P

【分析】判斷當(dāng)人=1時(shí)，點(diǎn)P在線段CG上，分別計(jì)算點(diǎn)尸為兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的周長(zhǎng)，

即可判斷選項(xiàng)4當(dāng)口=1時(shí)，點(diǎn)尸在線段以。上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體

積公式，即可判斷選項(xiàng)&當(dāng)入=3時(shí)，取線段BC,B\C\的中點(diǎn)分別為M,Mi,連結(jié)

則點(diǎn)P在線段M1M上，分別取點(diǎn)P在Mi,M處，得到均滿足4P_L8P,即可判

斷選項(xiàng)C;當(dāng)口=之時(shí)，取C。的中點(diǎn)。1,BBi的中點(diǎn)O,則點(diǎn)尸在線的上，證明

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Di處時(shí)，48_L平面ABiOi,利用過(guò)定點(diǎn)A與定直線48垂直的平面有且只

有一個(gè)，即可判斷選項(xiàng)D

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)人=1時(shí)，？P=靛+“B%i，即&=所以己||8%1，

故點(diǎn)P在線段CCi上，此時(shí)△AB1P的周長(zhǎng)為ABi+BiP+AP,

當(dāng)點(diǎn)尸為CC1的中點(diǎn)時(shí)，△A81P的周長(zhǎng)為向+/L

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C1處時(shí)，△48尸的周長(zhǎng)為2遮+1,

故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

.41K-------------------T|G

對(duì)于8,當(dāng)以=1時(shí)，BP=ABC+BBi，即BiP=4BC,所以aP|BC,

故點(diǎn)尸在線段81cl上，

因?yàn)?1cl〃平面418C,

所以直線B\C\上的點(diǎn)到平面AiBC的距離相等，

又△AiBC的面積為定值，

所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，故選項(xiàng)8正確;

1

對(duì)于C,當(dāng)入=之時(shí)，取線段8C,BiCi的中點(diǎn)分別為M,M,連結(jié)Mi",

因?yàn)槎?*命+即加=所以詁||B%i，

則點(diǎn)P在線段MM上，

當(dāng)點(diǎn)P在Ml處時(shí)，AIA/I±BICI,A\M\YB\Bt

又51。08由=明，所以4]Mi_L平面3B1C1C,

又5MU平面5BCIe所以即AiP_LBP,

同理，當(dāng)點(diǎn)尸在“處，AiPJ_BP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)時(shí)，取C。的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)￡),

因?yàn)辂?2應(yīng)即而=A而，所以而||立，

則點(diǎn)P在線的上,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)處時(shí)，取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)4E,BE,

因?yàn)槠矫?CG4,又/Wiu平面4CC14,所以4Di_LB￡

在正方形ACCiAi中，ADiXAsE,

又BEnAiE=￡,BE,AiEu平面AiBE,

故ADi_L平面4BE,又48u平面48E,所以AiBJ_ADi,

在正方體形ABB1A1中，A\B±AB\t

又grM8i=A,AD\,ASiu平面ABD1,所以43_L平面A5I￡）I,

因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)A與定直線AiI3垂直的平面有且只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4B_L平面A81P,故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問(wèn)題等，綜合

性強(qiáng)，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于難題.

三.填空題（共4小題）

13.若向量；，b滿足面=3,日一b|=5,a*b=1,則|b|=_3V2_.

【分析】由題意首先計(jì)算@-％）2,然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可.

【解答】解：由題意，可得日-力）2=滔一2：4+京=25,

因?yàn)槊?3,a^b=1,所以9-2xl+：2=25,

所以言=18,|&=拒=3應(yīng).

故答案為：3V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算和向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30m則該圓錐的側(cè)面積為397r.

【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為力，根據(jù)圓錐的底面半徑為6,其體積為30ir求出爪再

求得母線的長(zhǎng)度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可.

【解答】解：由圓錐的底面半徑為6,其體積為30m

設(shè)圓錐的高為h,則]x(TTx62)xh=30江，解得九=會(huì)

所以圓錐的母線長(zhǎng)，=J(f)2+62=竽，

所以圓錐的側(cè)面積S=nrl=yrx6x=397r.

故答案為：39m

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)

題.

15.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為百，3=60°,?2+c2=3?c,

則b=_2y[2_.

【分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于匕的方程，解方程可得.

【解答】解：:△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為V5,8=60°,

6t2+C2=3flC,

.*.-?csinB=V5=±zcx苧=75="=4=/+(?=12,

222

2

pDa?+c2—力2_112—bp-/名俏仝、

又cosB=-猛一=>-=---0b=272,(負(fù)值舍)

故答案為：2V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

16.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的.開(kāi)始

1

甲持球，傳球兩次后，球回到甲手里的概率P2=~；傳球〃次后，球回到甲手里的

一2一

概率尸〃=i-i-(-i)w.

—33-2-------------

【分析】(1)經(jīng)過(guò)一次傳遞后，落在乙丙手中的概率分別為點(diǎn)而落在甲手中的概率為0,

由此能求出兩次傳遞后球落在甲手中的概率P2之值.

(2)要想紅過(guò)〃次傳遞后球落在甲的手中，那么在〃-1次傳遞后球一定不在甲手中，

所以P〃=4(1zi=l,2,3,4,…，由此能求出尸〃.

【解答】解：(1)經(jīng)過(guò)一次傳遞后，落在乙丙手中的概率分別為今

而落在甲手中的概率為0,因此Pi=0,

兩次傳遞后球落在甲手中的概率為P2=|x|+|x|=1.

(2)要想紅過(guò)〃次傳遞后球落在甲的手中，那么在1次傳遞后球一定不在甲手中，

1

所以尸(1-PM-I),n=l,2,3,4,

1111112Q

因此尸3=y(I-P2)=~X尸4=5(1-P3)=5x7=o*

Z乙乙，LZ4-o

?1,155n1,ic、11111

P5=2z-Pn4x)=2x8=l6*P6=2(1-P5)=2X16=32,

VP?=i(1-

:.Pn~i=-i(P/J-I—i),

ALO

P?Lg=(Pl—^)*(—^)n

所以尸〃=《-}(一少"I

故答案為：：，:一j(T)

2332

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公

式等基礎(chǔ)知識(shí)，涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

四.解答題(共6小題)

17.在△ABC中，已知°=3,h=2c.

(1)若4=學(xué)，求S”3c.

(2)若2sinB-sinC=1,求C^ABC.

【分析】(1)由余弦定理求得從而求得△ABC面積；

(2)由正、余弦定理求得氏c值，從而求得△ABC周長(zhǎng).

【解答】解：(1)由余弦定理得8sA=_*=廬端;一=吟g,

解得C2=y,

SMBC=IbcsinA=孚x2c2=

(2),:b=2c,?,?由正弦定理得sin8=2sinC,XV2sinB-sinC=I,

i2

.?.sinC=i,sinB=*AsinC<sinB,：.C<B,為銳角，

???COSC=Jl-&）2=竽.

由余弦定理得：ci=az+bz-2abcosC,又,.,。=3,b=2c,

A?=9+4?-8V2c,得：3?-8V2c+9=0,解得：c==令

當(dāng)°=4嚀?后時(shí),b=8"2嗎,.\CA4BC=3+4V2+V5：

DO

當(dāng)c=4。病時(shí),b=8—,2北,/.CA4fiC=3+4V2-V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

18.如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，線段OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,并繞點(diǎn)G轉(zhuǎn)

動(dòng)，分別交邊48、AC于點(diǎn)。、E；設(shè)AE=nACf其中OVmWl,OV〃W1.

（1）求表達(dá)式三十三的值，并說(shuō)明理由；

mn

（2）求△AOE面積的最大和最小值，并指出相應(yīng)的勿、〃的值.

【分析】（1）將向量啟用向量G和元?表達(dá)，由。、G、E三點(diǎn)共線，即可得到m和〃

的關(guān)系.

（2）由三角形面積公式，SSDE=由（1）可知一+—=3,由消元法〃=qT1，

4mn3m-1

轉(zhuǎn)化為機(jī)的函數(shù)求最值即可.

【解答】解：（1）如圖延長(zhǎng)4G交BC與F,???G為△48C的中心

???尸為8C的中點(diǎn)，則有京=3n+*前

'：AD=mAB,AE=nAC,AG=1AF

3TI-*1->??■*1-1-*

AG=AD+—4E即4G=~—AD+-^—AE

22m2n37n3n

???￡>、G、E三點(diǎn)共線

3m3n

“11

故—+-=3

mn

（2）:△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,

：.\AD\=rn,\AE\=H.\SMDE=

上11

由一十-=3,OVmWl,0<n<1

mn

；?〃=&丁1,1<^；<2即=<m<1.

3m—1m2

2

,e7373m

..5MDE=T/H/7=T3^

1i12

設(shè)f=/n—飆m=t+^(-<t<-)

3363

S^ADE=(，+死+,)

易知f（t）=t++在弓,，為減函數(shù),在心,，為增函數(shù).

172

t=即m=n=于時(shí)，f<t）取得最小值￡

5

即SdOE取得最小值V，又/（￡）=/（1）-

6

?VCt）取得最大值是3則S,、AQE取得最大值日，

68

此時(shí)〃1=，？1=1或771=1,n=i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理和向量的表示、求函數(shù)的最值，考查消元和換元等

方法.

19.已知虛數(shù)2=0+6（小bER,〃W0）滿足z+^WR.

(1)求憶|;

11

--

(2)若a(z—?)ad

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由虛部為?？傻?+后=2,則回可

求；

(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由虛部為1可得2"=1,再與/+y=2聯(lián)立,

11

即可求得一+二的值.

ab

【解答】解：(1)*：z=a+bi(a,bER,〃W0),

???z+]=a+bi+儡=a+bi+(焉濯bi)=(a+"一

又b#0,?\a2+b2=2,即|z|=Va2+b2=V2；

（2）由aQ-$=以。+尻一篇）=磯a+尻-g微鱉加

=磯（"磊）+（"券）i]"

聯(lián)立E〃廣2，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=3,貝U。+匕=±V1

12ab=1

11a+b竽=±2百.

+=

bab

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

20.如圖，四棱錐P-ABCO的底面是矩形，尸D_L底面4BC￡>,M為BC的中點(diǎn)，且尸

AM.

(1)證明：平面以M_L平面P8Q：

(2)若PQ=OC=1,求四棱維P-ABC。的體積.

【分析】(1)通過(guò)線面垂線即可證明；即只需證明4M_L平面尸8D

(2)根據(jù)P￡>_L底面可得PD即為四棱錐P-4BCD的高，利用體積公式計(jì)算即

可.

【解答】(1)證明：???PO_L底面ABC。，AMu平面A8CO,

：.PD±AM,

XVPfilAA/,

PDnPB=P,PB,尸Ou平面尸BD.

???AM_L平面PBD.

TAMu平面PAM,

，平面B4M_L平面PBD；

(2)解：由PQ_L底面ABC。，

???PO即為四棱錐P-A8CQ的高，△QP8是直角三角形；

「ABC。底面是矩形，PD=DC=l,M為8C的中點(diǎn)，且P8_LAM.

設(shè)AD=BC=2a,取。尸的中點(diǎn)為F.連接MF,AF,EF,AE,

可得M尸〃尸8,EF//DP,

那么且上尸=*.AE=J*+4v2,AM=y/a2+1,AF=yiEF2+AE2.

那么△AM/是直角三角形，

???△OPB是直角三角形，

，根據(jù)勾股定理：BP=<2+4川2,則“尸二%