八年級數(shù)學下冊講練課件：18.2.3-正方形（人教版）

人教版八年級數(shù)學下冊第18章平行四邊形18.2.3正方形1學習目標1.理解正方形的概念.2.掌握正方形的性質(zhì)和判定，并能運用它們進行證明和計算.3.理解正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間的關(guān)系．2正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在，下面圖片中是否包含正方形，如果有請找出來.在你的周圍你能找到正方形嗎？引入新課3

矩形〃〃思考1：矩形具有怎樣的條件才能是正方形呢？正方形合作探究4思考2：菱形具有怎樣的條件才能是正方形呢？正方形合作探究5鄰邊相等

矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.菱形矩形正方形既是，又是.歸納總結(jié)6思考：正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形4條ABCD提示：同學們可以拿一張正方形紙片，折一折來驗證.一、正方形的性質(zhì)探究新知7矩形菱形正方形平行四邊形正方形既是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形，也是特殊的菱形.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系如何表述呢？性質(zhì)：1.角的方面：四個角都是直角2.邊的方面：對邊平行，四條邊都相等3.對角線方面：對角線互相垂直平分且相等，平分每組對角你能說出正方形具有哪些性質(zhì)嗎？

正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).8例1：求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖，四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例分析91.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個角相等B.對角線互相垂直平分

C.對角互補D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD針對訓練104.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A3.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直且相等A11例2：如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形，求∠EAD和∠EDA的度數(shù).解：∵

△BEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB=BE，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，∴△ABE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=75°，∴∠EAD=90°-75°=15°.同理可得∠EDA=15°30°75°60°典例分析12變式：四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；13當?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．14思考：把一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到是一個正方形，為什么？正方形猜想：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直探究新知二、正方形的判定15已知：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線AC

，

DB交于點O，且AC⊥DB.求證：矩形ABCD是正方形.對角線互相垂直的矩形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO

∵AC⊥DB∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形.

ABCDO合作探究16思考：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，這時菱形框架的形狀是正方形，為什么？正方形菱形猜想：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角或?qū)蔷€相等17已知：如圖，在菱形ABCD中，兩條對角線AC

，

DB交于點O，AC=DB.求證：菱形ABCD是正方形.對角線相等的菱形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.ABCDO合作探究18正方形判定的常用方法：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個角是直角一組鄰邊相等，或?qū)蔷€相等或?qū)蔷€垂直歸納小結(jié)195種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定總結(jié)四邊形平行四邊形矩形菱形正方形201.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠DAB=∠DCBC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO當堂鞏固212.下列命題正確的是（）A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形D223.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形D．當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形D23在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．求證：四邊形EFMN是正方形證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.能力提升24在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∴∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.251.（4分）（2021?重慶B卷9/26）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則∠AMP的度數(shù)為（

）A．60°

B．65°

C．75°

D．80°感受中考26【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN=90°，∵O為MN的中點，∴

，∵∠PMN=30°，∴∠MPO=30°，∴∠DPM=150°，在四邊形ADPM中，∵∠A=90°，∠ADB=45°，∠DPM=150°，∴∠AMP=360°-∠A-∠ADB-∠DPM=360°-90°-45°-150°=75°故選：C．272.（2分）（2021?青海19/25）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值是

．【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)；軸對稱﹣最短路線問題．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．感受中考28【解答】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，∴BN＝ND，∴DN+MN＝BN+MN，連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當點N運動到點P時，BN+MN＝BP+PM＝BM，BN+MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，∴BM10，∴DN+MN的最小值是10．故答案為：10．293.（6分）（2021?呼倫貝爾?興安盟20/26）如圖，AD是△ABC