第11講導數(shù)中的新定義問題（教師版）

第11講導數(shù)中的新定義問題（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設題結合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分【備考策略】1熟練掌握導數(shù)的定義及基本運算2能結合實際題目理解導數(shù)新定義的概念及運算3能結合導數(shù)知識進行綜合求解【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一，而導數(shù)新定義更加考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復習知識講解新定義問題的解決策略第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉化為代數(shù)式，并進行化簡;第二步，數(shù)形結合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉化思想，將新定義問題和自己所學的知識結合起來轉化為自己熟悉的知識進而求解考點一、導數(shù)中的新定義問題1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點”.若函數(shù)，的“奮斗點”分別為，，則，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導，根據(jù)“奮斗點”的定義可得，，構造函數(shù)，利用導數(shù)及零點存在定理求出的范圍，由求出的范圍，從而可比較大小.【詳解】函數(shù)，得，由題意可得，，即.設，，因為，所以，易得在上單調(diào)遞減且，，故.由，，由題意得：，易知，所以，因為，所以.故選:D.2．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、，代值計算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.【詳解】因為，所以，，所以，，所以.故選：D.3．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)，的定義域都是，直線與，的圖象分別交于，兩點，若線段的長度是不為的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”設，且，為區(qū)間的“平行曲線”其中，在區(qū)間上的零點唯一，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意可知函數(shù)函數(shù)是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，設，結合，求出，即可得到，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍.【詳解】解：為區(qū)間的“平行曲線”，函數(shù)是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，即，，，即，由，，令，在區(qū)間上的零點唯一，與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的交點，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，故的取值范圍是，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)新定義，考查學生的創(chuàng)新能力，轉化與化歸能力．解題關鍵是把問題轉化為函數(shù)圖象與直線有唯一交點，從而轉化為利用導數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)．1．（2022·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）（多選）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數(shù)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程的解的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)導數(shù)的運算求得導函數(shù)，代入微分方程檢驗即可．【詳解】選項A，，則，，不是解；選項B，，，，是方程的解；選項C，，，，不是方程的解；選項D，，，，是方程的解．故選：CD．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出導函數(shù)，確定切線斜率，選項AB，過圖象最高點（或最低點）處的切線是同一條直線，可判斷，選項C，由導函數(shù)斜率相等的點有無數(shù)組，結合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結論，選項D，導函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點，這樣易判斷結論．【詳解】對A，，，時，，取得最大值，直線是函數(shù)圖象的切線，且過點，所以函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對B，，，時，，，，此時是函數(shù)的最大值，直線是函數(shù)圖象的切線，且過點，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對C，，，時，，，過點的切線方程是，即，因此該切線過圖象上的兩個以上的點，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對D，，，令，則，所以即是R上增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點，它們的切線斜率相等，也就不存在切線過圖象上的兩點，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)”．故選：ABC．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，解題關鍵是理解新定義，實質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方程，只是要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對三角函數(shù)來講，其最高點或最低點是首選，對其它與三角函數(shù)有關的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點也是我們首選考慮的．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）定義一個可導函數(shù)在定義域內(nèi)一點處的彈性為，請寫出一個定義在正實數(shù)集上且任意一點處的彈性均為的可導函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】由整理得，可構造函數(shù)，可得，可得，可得.【詳解】由題意，當，，整理得設，則，故，為常數(shù)，由得故答案為：（答案不唯一）4．（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導，我們通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做的二階導數(shù)，記作.類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，記作，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……一般地，階導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.【答案】(1),；(2)答案見解析；(3)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)在點處的階泰勒展開式的定義可直接求得結果；（2）令，利用導數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結合可得的正負，由此可得與的大小關系；（3）令，利用導數(shù)可求得，即；①當時，由，，可直接證得不等式成立；②當時，分類討論，由此可證得不等式成立.【詳解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當時，；當時，；綜上所述：當時，；當時，；當時，；（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；在點處的階泰勒展開式為：，，當且僅當時取等號，①當時，由（2）可知，，當且僅當時取等號，所以；②當時，設，，，，當，由（2）可知，所以，，即有；當時，，所以，時，單調(diào)遞減，從而，即．綜上所述：.【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數(shù)中的新定義問題，關鍵是審題時明確階泰勒展開式的具體定義；本題在證明不等式成立時的關鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關系，利用放縮的方法將不等式進行轉化.8．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)當時，過坐標原點作曲線的切線，求切線方程；(2)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，對任意，若在上恒成立，則稱點為函數(shù)的“好點”，求函數(shù)在上所有“好點”的橫坐標（結果用表示）.【答案】(1)(2)橫坐標【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義及斜率公式建立方程可求解；（2）根據(jù)題中的新定義，表達出，再通過研究其單調(diào)性得到最值，從而判斷“好點”的橫坐標.(1)當時，，，設切點坐標為，則切線方程為：因為切線過原點，代入原點坐標可得：令，則，當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，所以，且當時，，所以的解唯一，即，所以切點坐標為，切線斜率為，切線方程為：.(2)設點是函數(shù)上一點，且在點處的切線為，則令，所以，①當，即時，，則時，，所以在單調(diào)遞減，故，即：，不滿足，所以時，不是函數(shù)在上的好點.②當，即時，i）若，即，此時：當時，，所以在單調(diào)遞減，不滿足，所以當時，不是函數(shù)在上的好點ii），即，此時：當時，，所以在單調(diào)遞減，不滿足，所以當時，不是函數(shù)在上的好點.iii）當，即，此時：時，恒成立，所以在單調(diào)遞增，故當時，，即，所以時：當時，，即，所以時，即對任意，，所以當時，是函數(shù)在上的好點.綜上所述，在上存在好點，橫坐標.【點睛】解決導數(shù)的幾何意義的關鍵一是要看清是求在某點處的切線還是過某點求切線；解決恒成立的問題的實質(zhì)是解決單調(diào)性和最值，這一般要分類討論.【基礎過關】一、單選題1．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學校考開學考試）在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在一點的鄰域中的值，常見的公式有：；.則利用泰勒公式估計的近似值為（

）（精確到）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得，分別計算當時，前幾項的計算結果，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，求導可得，因為，，，，所以，故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結合“不動點”函數(shù)的概念，轉化為方程有根的問題，對于選項A、C，構造新函數(shù)，求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，即可判斷，對于選項B，利用零點存在性定理判斷，對于選項D，直接根據(jù)方程無根判斷.【詳解】對于A：令，即，令，則，令，得，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故A不正確；對于B：令，即，令，函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且，由零點存在性定理知，函數(shù)在上有零點，即有根，所以函數(shù)是“不動點”函數(shù)，故B正確；對于C：令，即，令，則，得，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故C不正確；對于D：令，即，而，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故D不正確；故選：B【點睛】思路點睛：方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可直接求方程的根，或者利用零點存在性定理判斷，也可構造新函數(shù)，把問題轉化為研究新函數(shù)的零點問題，有時還可以轉化為兩函數(shù)交點問題.二、多選題3．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習）給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)“二階導函數(shù)”的概念，結合導數(shù)運算公式求解即可.【詳解】對于A，，當時，，，故A錯誤；對于B，在恒成立，故B正確；對于C，在恒成立，故C正確；對于D，，因為，所以，所以恒成立，故D正確.故選：BCD.4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，若存在，使得．則稱為函數(shù)在上的“中值點”．下列函數(shù)，其中在區(qū)間上至少有兩個“中值點”的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出，逐項判斷方程在上的根的個數(shù)，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，，，由，所以，，當時，，如下圖所示：由圖可知，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，A選項滿足條件；對于B選項，，，由，所以，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故方程在上不可能有兩個根，B不滿足條件；對于C選項，，，由，可得，解得，故函數(shù)在上只有一個“中值點”，C選項不滿足條件；對于D選項，，，由，可得，故函數(shù)在上有兩個“中值點”，D滿足條件.故選：AD.5．（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“新駐點”，下列函數(shù)中，具有“新駐點”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出各個選項中的導函數(shù)，結合“新駐點”的定義，逐個求解是否有解即可【詳解】根據(jù)“新駐點”的定義，即判斷方程是否有解.選項A.,則,可得，故有新駐點.選項B.,則可得或，故有新駐點.選項C.，由，設，所以在上單調(diào)遞增.由，所以存在，使得所以函數(shù)有新駐點.選項D.，由,顯然無解,故無新駐點.故選：ABC6．（2023·全國·高三專題練習）記、分別為函數(shù)、的導函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”，則下列說法正確的為（

）A．函數(shù)與存在唯一“點”B．函數(shù)與存在兩個“點”C．函數(shù)與不存在“點”D．若函數(shù)與存在“點”，則【答案】ACD【分析】令，求出，利用“點”的定義逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】令.對于A選項，，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，此時，函數(shù)與存在唯一“點”，A對；對于B選項，，則，函數(shù)的定義域為，令可得，且，所以，函數(shù)與不存在“點”，B錯；對于C選項，，則，令可得，解得或，但，，此時，函數(shù)與不存在“點”，C對；對于D選項，，其中，則，若函數(shù)與存在“點”，記為，則，解得，D對.故選：ACD.7．（2023·全國·高三專題練習）定義是的導函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結論判斷下列命題，其中正確命題是（）A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個對稱中心C．存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心D．若函數(shù)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)三次函數(shù)拐點與對稱中心關系研究判斷A、B；由題設定義，求解是否存在三次函數(shù)，使有實數(shù)解判斷C；利用定義找到對稱中心，應用對稱性求函數(shù)值判斷D.【詳解】A：設三次函數(shù)，易知是一次函數(shù)，所以任何三次函數(shù)只有一個對稱中心，故不正確；B：由已知，由得：，函數(shù)的對稱中心為，又，得，故的對稱中心是的一個對稱中心，故正確；C：設，則，聯(lián)立得：，即時，存在三次函數(shù)，有實數(shù)解，且為的對稱中心，故正確；D：由題設，令得：，則，∴函數(shù)的對稱中心是，則，設，所以，所以，故正確.故選：BCD.三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則.【答案】8090【分析】本題首先可根據(jù)得出，從而，然后令，求出對稱中心，，最后根據(jù)即可求出算式.【詳解】由題意因為，所以，，令，解得，，由題意得對稱中心為，所以，，故答案為：8090.9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點（x，f（x））處的曲率，則曲線在（1，1）處的曲率為；正弦曲線（x∈R）曲率的平方的最大值為.【答案】1【分析】（1）由題意，求導，代入公式，可得答案；（2）由題意，整理曲率的函數(shù)解析式，換元求導，求最值，可得答案.【詳解】（1）由題意得，，則，，則.（2）由題意得，，，∴，令，則，令，則，顯然當t∈[1,2]時，，p（t）單調(diào)遞減，所以，∴的最大值為1.故答案為：，1.四、雙空題10．（2022秋·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數(shù)，則的拐點為，.【答案】2022【分析】空1，令，解得．計算即可得出；空2，由于函數(shù)的對稱中心為．可得．即可得出．【詳解】，故，，令，解得：，而，故函數(shù)的對稱中心坐標是；由于函數(shù)的對稱中心為，則函數(shù)圖像上的點關于的對稱點也在函數(shù)圖像上，即．．．故答案為：，2022．【能力提升】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)是的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通過條件，先確定函數(shù)圖象的對稱中心點，進而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，，令，得，又，所以對稱中心為，所以，…，，.所以．故選：B.2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習）設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為.若在區(qū)間上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知實數(shù)是常數(shù)，.若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大為（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出，問題轉化為恒成立，進而解得答案.【詳解】由題意，，，根據(jù)“凸函數(shù)”的定義，原問題可以轉化為：即對任意的恒成立，將m視作自變量，x視作參數(shù)，則，解得，解得，由，故.故選：B.二、多選題3．（2022·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關于函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”個數(shù)為，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結合判斷該方程的隔壁的個數(shù)即為“中值點”的個數(shù)的值，對于由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結合判斷方程的根的個數(shù)即為“中值點”的個數(shù)的值，即可得正確選項.【詳解】設在閉區(qū)間上的中值點為，由，由拉格朗日中值定理可得：，因為，所以，可得，，即作出函數(shù)和的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)和的圖象在上有兩個交點，所以方程在上有兩個解，即函數(shù)在區(qū)間上有個中值點，所以，，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”為，由拉格朗日中值定理可得：，因為，，所以作出函數(shù)與的圖象如圖：當時，，由圖可知函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有一個交點，即方程在區(qū)間上有一個根，所以函數(shù)在區(qū)間上有個“中值點”，所以，故選：BC【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)零點（方程的根）個數(shù)的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有幾個不同的解就有幾個零點；（2）利用函數(shù)的零點存在性定理：利用函數(shù)的零點存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，并且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；將函數(shù)拆成兩個函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點個數(shù)；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個周期內(nèi)的零點個數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點個數(shù).4．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿足，則稱，為上的“對望數(shù)”.已知函數(shù)為上的“對望函數(shù)”.下列結論正確的是（

）A．函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”B．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”C．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”D．若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上單調(diào)【答案】ABC【分析】根據(jù)“對望函數(shù)”的定義，代入具體函數(shù)依次判斷，可判斷A，B，C；若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上必有兩個不相等的實根，可判斷D.【詳解】對于A，因為是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上不可能存在，（），滿足，所以函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”，故A正確；對于B，，，令，得，，且，所以函數(shù)是上的“對望函數(shù)”，故B正確；對于C，，，令，得，因此存在，使得，所以函數(shù)是上的“對望函數(shù)”，故C正確；對于D，若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上必有兩個不相等的實根，則函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：ABC5．（2022秋·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)，記為.若二元函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．B．C．的最小值為D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)偏導數(shù)的定義進行分析計算，，可判斷AB；，的最小值為，由于，構造函數(shù)（），利用導數(shù)可求出的最小值可判斷CD.【詳解】因為（，），所以，則，故A選項正確；又，所以，故B選項正確；因為，所以當時，取得最小值，且最小值為，故C選項錯誤；，令（），，當時，，當時，，故，從而當時，取得最小值，且最小值為，故D選項正確.故選：ABD.6．（2023·安徽淮北·高三?？奸_學考試）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點為，且不等式對任意恒成立，則（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【解析】求導得，故由題意得，，即，故.進而將問題轉化為，由于，故，進而得，即，進而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因為，所以，所以，解得，故.因為，所以等價于.設，則，從而在上單調(diào)遞增.因為，所以，即，則（當且僅當時，等號成立），從而，故.故選：ABC.【點睛】本題解題的關鍵在于根據(jù)題意得，進而將不等式恒成立問題轉化為恒成立問題，再結合得，進而得.考查運算求解能力與化歸轉化思想，是難題.7．（2022·全國·高三專題練習）定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．在上是“弱減函數(shù)”C．若在上是“弱減函數(shù)”，則D．若在上是“弱減函數(shù)”，則【答案】BD【分析】根據(jù)在上的單調(diào)性可判斷A；根據(jù)“弱減函數(shù)”的概念，利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷BC;由“弱減函數(shù)”的概念可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求導，分離參數(shù)，利用導數(shù)求最值即可判斷D.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)在上不是增函數(shù)，故A不滿足條件；對于B選項，，當時，，故函數(shù)在上是減函數(shù).令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故B滿足條件；對于C選項，若在上單調(diào)遞減，由，得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.若在上單調(diào)遞增，則.故若在上是“弱減函數(shù)”，則，故C錯誤；對于D選項，若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即.令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，故.故，在上單調(diào)遞減，.所以，解得.若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，.所以，解得.綜上，，故D正確.故選:BD.【點睛】總結點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習）丹麥數(shù)學家琴生是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為.①函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.【答案】①②.【分析】題中告訴了“嚴格凸函數(shù)”點的定義，那么在判斷①②③時，嚴格按照定義來解題.求函數(shù)的導函數(shù)，以及的導函數(shù).對于①，只要證明在上恒成立；對于②，，所以，解得；對于③，在上恒成立，分離參數(shù)，，所以.【詳解】的導函數(shù)，，在上恒成立，所以函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”，所以①正確；的導函數(shù)，，，所以，解得，所以函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”為，所以②正確；的導函數(shù)，，，所以在上恒成立，即，設，則在單調(diào)遞增，所以，所以，所以③不正確；故答案為：①②.【點睛】準確理解定義，對于①②③不同的問法，采取不同的解題方式，特別是③，分離參數(shù)，轉化為求最值問題.四、解答題9．（2022·湖南·模擬預測）設為的導函數(shù)，若是定義域為D的