微積分 第3版 課件 第九章　常微分方程

解第九章微分方程與差分方程9.1常微分方程的基本概念設(shè)所求曲線(xiàn)方程為所求曲線(xiàn)方程為例9.1用水管以每分鐘

的速度向長(zhǎng)方形水池里注水，水池的底面積為.已知注水前水池里的水深為，求水深的表達(dá)式.解則，第九章微分方程與差分方程9.1常微分方程的基本概念求不定積分得例9.1用水管以每分鐘

的速度向長(zhǎng)方形水池里注水，水池的底面積為.已知注水前水池里的水深為，求水深的表達(dá)式.設(shè)為時(shí)刻水池里的水深，解因例2

驗(yàn)證是任意常

數(shù))是二階微分方程的解.故,

是原方程的解.解將例3

驗(yàn)證是任意常數(shù))是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一個(gè)任意常數(shù),原方程是一階微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.許多情況下,我們關(guān)心微分方程滿(mǎn)足一定條件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解當(dāng)中.微分方程不含任意常數(shù)的解稱(chēng)為方程的特解.例如,

都是方程的特解.這樣的條件稱(chēng)為初始條件.

帶有初始條件的微分方程問(wèn)題稱(chēng)為初值問(wèn)題或定解問(wèn)題.例1的微分方程模型可以改寫(xiě)為:

常微分方程分為線(xiàn)性微分方程和非線(xiàn)性微分方程.

在n階微分方程中形如

的微分方程稱(chēng)為線(xiàn)性微分方程;為已知函數(shù),

其中其它的都是非線(xiàn)性微分方程.都是線(xiàn)性微分方程,都是非線(xiàn)性微分方程.例如,

而

例4試指出下列微分方程的階數(shù),并說(shuō)明它們是線(xiàn)性的還是非線(xiàn)性的?

解(1),(4),(6)為一階微分方程;(2),(5)為二階微分方程;(3)為三階微分方程;其中(2),(3),(5),(6)是線(xiàn)性微分方程;(1),(4)是非線(xiàn)性微分方程.的微分方程,稱(chēng)為可分離變量的微分方程.2.解法1.定義分離變量9.2.1可分離變量的微分方程9.2一階微分方程或可化為形如求得積分后,即得原微分方程的通解兩端積分注意:如果

則常函數(shù)也是方程的一個(gè)解.

這樣的解并沒(méi)有包含在通解之中,稱(chēng)之為奇解.

解分離變量得兩端積分得從而故原方程的通解為

而也是方程的一個(gè)解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分離變量?jī)啥朔e分原方程的通解為

整理得從而化簡(jiǎn)得解先求其通解,

分離變量,得兩端積分,得例3

求解定解問(wèn)題:整理得

原方程的通解為注意:得特解得特解得于是所求定解問(wèn)題的特解為的一階微分方程,稱(chēng)為齊次方程.1.定義9.2.2齊次方程例如,方程可化成是齊次方程.可化為形如分離變量,得兩端積分2.解法作變量代換代入原方程,得求得積分后再將代入,即得原方程的通解.化為可分離變量的方程.則例4解方程解將方程改寫(xiě)成令于是上述方程化為即分離變量,得積分得原方程的通解為

則有解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得兩端積分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解為即將代入,稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程.稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程.9.2.3一階線(xiàn)性微分方程1.定義未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程通常稱(chēng)方程(9-4)是方程(9-3)所對(duì)應(yīng)的齊次方程．

齊次方程的通解為(1)先解線(xiàn)性齊次方程使用分離變量法2.解法積分,得(2)再解線(xiàn)性非齊次方程設(shè)非齊次方程通解形式為

把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的待定函數(shù)方法,稱(chēng)為常數(shù)變易法.積分得一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的特解或解此方程為一階線(xiàn)性方程(1)先求對(duì)應(yīng)的齊次方程變形方程為

積分,得對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為例6求微分方程

的通解.設(shè)原非齊次方程通解為代入原方程,得積分,得故,原方程通解為解原方程可化為設(shè)原方程通解為即例7求微分方程的通解.如果

與

是方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,其中p,q為常數(shù),稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程.9.3二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程1.定義方程

則

就是方程(1)的通解.由線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論:

稱(chēng)為方程(9-6)對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程，9.3二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中不恒為零.而方程其中p,q為常數(shù).一般地,我們稱(chēng)

稱(chēng)為特征方程,稱(chēng)的根為特征根.為方程(9-6)和(9-7)的特征多項(xiàng)式,

容易驗(yàn)證以下結(jié)論：齊次線(xiàn)下微分方程解的疊加原理,即如果y1(x),y2(x)是二階齊次線(xiàn)性方程(9-7)的兩個(gè)解,則y=y1(x)+y2(x)也是方程(9-7)的解.特別的,如果不恒等于常數(shù)(此時(shí)稱(chēng)y1(x)與

y2(x)線(xiàn)性無(wú)關(guān)),則y=y1(x)+y2(x)是方程(9-7)的通解,其中C1和C2是任意常數(shù).(2)如果是二階非齊次線(xiàn)性方程(9-6)的一個(gè)特解,Y是對(duì)應(yīng)的齊次方程(9-7)的通解,則是二階非齊次線(xiàn)性方程(9-6)的通解.是方程的解,和方程

則的解.(3)如果

故有9.3.1二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法做變量代換，代入方程（9-7）,得解得特征根為可得兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解故齊次方程的通解為(1)若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為(2)若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根得一特解故齊次方程的通解為特征根為設(shè)另一特解為于是(3)若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根故齊次方程的通解為特征根為用歐拉(Euler)公式:為了得到實(shí)數(shù)形式的解,得兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解及齊次方程解的疊加原理得特征方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程通解的表達(dá)式特征根的情況實(shí)根復(fù)根實(shí)根由常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特征方程的根確定其通解的方法,稱(chēng)為特征方程法.解特征方程為特征根為例1求方程的通解.故所求通解為解特征方程為特征根為故所求通解為例2求方程的通解.解特征方程為特征根為故所求通解為例3求方程的通解.解特征方程為特征根為所以方程的通解為練習(xí)

求解初值問(wèn)題故所求特解為1.多項(xiàng)式這類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中

是m次多項(xiàng)式.因多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍是多項(xiàng)式,我們猜測(cè)這類(lèi)方程

的特解也是多項(xiàng)式.9.3.2二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程

例4求下列方程的一個(gè)特解:解(1)做兩次積分取積分常數(shù)為零,得特解為設(shè)代入方程整理得

比較系數(shù)得即

比較方程兩邊次數(shù),

應(yīng)為2次多項(xiàng)式.則積分并取積分常數(shù)為零,得特解設(shè),則代入方程得

整理得

比較系數(shù)得解得

特解為

應(yīng)為2次多項(xiàng)式.為此只需要做變量代換

其中z是未知函數(shù).

2.多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積這類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中是x的m次多項(xiàng)式,

是常數(shù).注意到只要能消去指數(shù)ex即可歸結(jié)為上一種情形.解令代入方程,整理得設(shè)則比較系數(shù),得例5求方程的一個(gè)特解.

則解得原方程的一個(gè)特解為解(一)求對(duì)應(yīng)齊次微分方程通解特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程通解例6求方程的通解,并求滿(mǎn)足條件的特解.

(二)求非齊次微分方程通解特征多項(xiàng)式為

令原方程通解為因此,原方程的一個(gè)特解為得特解則原方程化為

其中即有解得所以,原方程滿(mǎn)足初始條件的特解為(三)確定非齊次微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解求導(dǎo)得解特征方程為則例7求方程的通解.

特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程通解令則代入方程,整理得設(shè)該方程特解為解得原方程的一個(gè)特解為原方程通解為令則或3.正弦和余弦這種類(lèi)型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中是x的m次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,

p,q,是實(shí)常數(shù).的解.的特解求法與前面的討論完全相同,和由線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論

的解實(shí)部和虛部分別是方程方程只不過(guò)加入了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,其求導(dǎo)法則與實(shí)數(shù)相同.故可設(shè)特解為

例8求方程的特解.解特征多項(xiàng)式為

則

代入原方程得于是原方程的特解為解得解原方程可化為第九章常微分方程習(xí)題課例1求方程的通解.

是可分離變量的微分方程.即分離變量,得兩端積分故,原方程的通解為例2求方程的通解.

解原方程可化為是一階線(xiàn)性微分方程.為所求通解.設(shè)例3求方程的通解.

解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得

分離變量得

兩邊積分

將代入,

得通解得求

例4設(shè)為可微函數(shù),且滿(mǎn)足解等