河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024—2025學(xué)年（上）南陽六校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否定為“，”.故選：D2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解指數(shù)不等式，得到，由補(bǔ)集和交集的概念得到答案.【詳解】，故，解得，故，故選：B3.已知，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，解得，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，即是的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減 B.為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減 D.為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，又因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得,所以，定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以fx為奇函數(shù)，又因?yàn)椋詅x在0,+∞上單調(diào)遞減，故C故選：C.5.設(shè)，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判斷ABD，由不等式的性質(zhì)可判斷C.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由，可得，所以，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.（）A.8 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算【詳解】.故選：A7.若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】分別求出fx值域?yàn)闀r(shí)的定義域，從而可求解.【詳解】由函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，fx有最小值，當(dāng)時(shí)，即，解得或，又因時(shí)，fx單調(diào)遞減，時(shí)，fx單調(diào)遞增，所以的最大值為，的最小值為，所以的最大值為.故選：D.8.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)fx為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則，且fx在上單調(diào)遞增，然后對(duì)分情況討論，從而可求解.【詳解】由函數(shù)fx為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，且，所以，且fx在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，所以；當(dāng)時(shí)，，則，所以；當(dāng)時(shí)，，則，所以；當(dāng)時(shí)，，則，所以；當(dāng)x>2時(shí)，，則，所以.綜上所述：不等式的解集為.故B正確.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系以及集合與集合的關(guān)系判斷即可．【詳解】對(duì)于A，空集中不含有任何元素，故A正確；對(duì)于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正確；對(duì)于C，應(yīng)該用“”符號(hào)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是集合中的元素，即，故D正確.故選：ABD.10.下列各式的值等于6的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用指數(shù)運(yùn)算和根式運(yùn)算法則得到答案；BCD選項(xiàng)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，可得，然后再利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可對(duì)AB判斷求解；由由，可得，再利用單位“”即可對(duì)C判斷求解；由，再結(jié)合，即可對(duì)D判斷求解.【詳解】A：由，可得，因?yàn)椋裕?，得，?dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；B：由，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故B錯(cuò)誤；C：由，可得，所以，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；D：，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式可得，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，即，所?故答案為：.13.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)特征，兩段函數(shù)各自為減函數(shù)，且左段函數(shù)的最小值大于等于右段函數(shù)的最大值，解不等式組即可求得的取值范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，且，則_______.【答案】【解析】【分析】令，則，中，令，求出，從而得到，從而求出答案.【詳解】令，則，中，令得，故，顯然單調(diào)遞增，且，故，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算（1）；（2）已知，比較和的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.（2）利用不等式性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】由，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?16.已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，分別對(duì)進(jìn)行討論再結(jié)合，從而可求解.（2）分別對(duì)進(jìn)行討論再結(jié)合，從而可求解.【小問1詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，，由，可得；當(dāng)時(shí)，，由，可得；綜上所述：的取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，，由，可得，解得；綜上所述：的取值范圍為.17.（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）討論關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）且為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到方程，求出答案；（2）因式分解，再分，，，，五種情況，求出不等式解集.【詳解】（1）由題意得且為方程的兩個(gè)根，故，，解得；（2），若，則，解得，若，解得，若，則，解得，若，此時(shí)，解得或，若，此時(shí)，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.18.數(shù)字經(jīng)濟(jì)是以數(shù)據(jù)資源為關(guān)鍵要素，以現(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)為主要載體，通過信息通信技術(shù)的融合應(yīng)用推動(dòng)全要素?cái)?shù)字化轉(zhuǎn)型的新經(jīng)濟(jì)形態(tài)，在技術(shù)層面，包括大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)、區(qū)塊鏈、人工智能、5G通信等新興技術(shù)；在應(yīng)用層面，包括“新零售”、“新制造”、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、元宇宙、無人駕駛等.現(xiàn)有一人工智能企業(yè)生產(chǎn)制造人形機(jī)器人，每月的成本t（單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本：1000萬元；②材料成本：萬元，x為每月生產(chǎn)人形機(jī)器人的個(gè)數(shù).（1）該企業(yè)每月的產(chǎn)量為多少時(shí)，平均每個(gè)人形機(jī)器人的成本最低，最低為多少萬元？（2）若每個(gè)人形機(jī)器人的售價(jià)為萬元，假設(shè)生產(chǎn)出來的每個(gè)人形機(jī)器人都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計(jì)劃，才能確保每月的利潤不低于400萬元？附：利潤＝售價(jià)×銷量－成本.【答案】（1）每月的產(chǎn)量為100個(gè)時(shí)，平均每個(gè)人形機(jī)器人的成本最低，最低為30萬元（2）每月生產(chǎn)不小于70個(gè)人形機(jī)器人，才能確保每月的利潤不低于400萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可得平均每個(gè)人形機(jī)器人的成本，再利用基本不等式求解即可；（2）由題意可知月利潤，解一元二次不等式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)平均每個(gè)人形機(jī)器人的成本為萬元，根據(jù)題意有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以該企業(yè)每月的產(chǎn)量為100個(gè)時(shí)，平均每個(gè)人形機(jī)器人的成本最低，最低為30萬元.【小問2詳解】設(shè)月利潤為萬元，則有，由題知，整理得，解得.所以該企業(yè)每月生產(chǎn)不小于70個(gè)人形機(jī)器人，才能確保每月的利潤不低于400萬元.19.已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實(shí)根即等價(jià)于即有實(shí)數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識(shí)可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)?，所以，所以可得一個(gè)二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以.所以時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?【小問2詳解】由（1）知當(dāng)令，，，則，即有實(shí)數(shù)根，此時(shí)實(shí)數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問3詳解】由題意得，若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，