第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【單元提升卷】（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共21題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、填空題1．若點(diǎn)在一個(gè)冪函數(shù)圖像上，則這個(gè)冪函數(shù)的表達(dá)式是______．【答案】【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出參數(shù)即可.【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閳D像經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以.故答案為：2．函數(shù)的定義域是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意解不等式，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意得，即，解得或.因此，函數(shù)的定義域是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域的求解，在解題時(shí)，要注意真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于，根據(jù)這些原則列不等式（組）求出自變量的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．若指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】若指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是4．若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】##【分析】由已知得，可求得a的值，再代入驗(yàn)證即可.【詳解】解：令，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，滿足圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為，故答案為：.5．已知，則__________.【答案】【分析】設(shè)，由可得出，解得出的值，可得出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)，由，得，即，，解得，即，解得，因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是通過換元法，將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6．若實(shí)數(shù)x滿足不等式，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域建立不等式組求解即可.【詳解】，，解得或，故答案為：7．若函數(shù)的值域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)真數(shù)能取遍所有的正實(shí)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是R，所以，所以，解得或，故答案為：8．若直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】作的圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】，作出其圖像，數(shù)形結(jié)合可知，a∈.故答案為：.9．不論為何值，函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.【答案】【分析】由已知中，不論為何值時(shí)，函數(shù)的圖象恒過一定點(diǎn)，我們可將函數(shù)的解析式變形為的形式，則根據(jù)，，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于，的方程，解方程即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：函數(shù)的解析式可化為的若不論為何值時(shí)，函數(shù)的圖象恒過一定點(diǎn)，即不論為何值時(shí)，恒成立則，解得，，即恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象過定點(diǎn)，處理的方法是將函數(shù)的解析式化成兩部分：一部分含參數(shù)，一部分不含參數(shù)，讓兩部分的系數(shù)均為0，構(gòu)造方程組，屬于基礎(chǔ)題．10．若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】每段函數(shù)必須遞減，其次在處，，即可求解.【詳解】解：函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)遞減，故，解得，故答案為：.11．定義實(shí)數(shù)運(yùn)算且則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】由可得,再求解不等式即可.【詳解】由可知滿足即所以或即故答案為【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)問題,明確定義運(yùn)算代入再求解絕對(duì)值不等式即可.屬于中等題型.12．已知函數(shù).若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【分析】當(dāng)，時(shí)，，即，即，參變分離即可．【詳解】當(dāng)，時(shí)，，即，即．，．，，，．故的取值范圍是，．故答案為：二、單選題13．如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)，，，的圖像，則實(shí)數(shù)a、b、c、d的大小關(guān)系滿足（

）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】根據(jù)題意，作出，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：作出直線，此時(shí)與各函數(shù)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的底數(shù)，如圖，所以故選：B14．下列函數(shù)中，與冪函數(shù)有相同定義域的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】由題知冪函數(shù)，定義域?yàn)?，再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：冪函數(shù)，定義域?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋收_；對(duì)于B選項(xiàng)，定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；故選：A15．已知且．給出下列不等式：①；②；③；④．其中，恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為（

）A．4； B．3； C．2； D．1．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷①④，由冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，取特值可判斷②【詳解】由于指數(shù)函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上為嚴(yán)格增函數(shù)，因此當(dāng)且時(shí)，，①成立；由于，時(shí)，，因此②不成立；由于冪函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上為嚴(yán)格增函數(shù)，因此當(dāng)且時(shí)，，③成立；由于指數(shù)函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上為嚴(yán)格減函數(shù)，因此當(dāng)且時(shí)，，④成立．綜上所述，有3個(gè)不等式恒成立，故選：B．16．已知函數(shù)的表達(dá)式為．若且，則的取值范圍為（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故或．若，則（舍去）；若，則，又，所以，因此（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立），即的取值范圍是．故選：D．三、解答題17．已知冪函數(shù).(1)求證：是區(qū)間上的嚴(yán)格減函數(shù)；(2)利用（1）的結(jié)論，判斷與的大小關(guān)系.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，用作商即可判斷出單調(diào)性；（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較出大小.（1）對(duì)任意的，有.因?yàn)?，所以，從而由冪的基本不等式，得，即，?因此得證在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).（2）由，得.根據(jù)（1）中的結(jié)論，可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).又因?yàn)?，所以，?18．已知函數(shù).(1)當(dāng)，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a，使的圖象都在函數(shù)的圖象的下方？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）對(duì)x分類討論，利用基本不等式法求最值，即可得到值域；（2）假設(shè)存在a符合題意，利用分離參數(shù)法和基本不等式即可求出a的范圍.(1)當(dāng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽.若，則y=0；若，函數(shù)，所以；若，則，函數(shù)，所以，即；綜上所述：，即函數(shù)的值域?yàn)?2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a符合題意，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，因?yàn)樵跁r(shí)，，所以，即存在實(shí)數(shù)滿足題意.19．某工廠因排污比較嚴(yán)重，決定著手整治，已知第一個(gè)月時(shí)污染度為60，整治開始后前四個(gè)月（包括第一個(gè)月）的污染度如下表：月數(shù)1234……污染度6031130……污染度為0后，該工廠即停止整治，隨后污染度又開始上升，現(xiàn)用下列三個(gè)函數(shù)模擬從整治開始后第x個(gè)月工廠的污染情況：，，，其中x表示月數(shù)，函數(shù)值分別表示污染度.(1)問選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理？并說明理由；(2)若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測，整治開始后有多少個(gè)月的污染度不超過60？【答案】(1)，理由見解析(2)16個(gè)月【分析】（1）分別計(jì)算，，和，，，由此得更接近實(shí)際值；（2）先判斷的單調(diào)性，令，解方程即可得到答案.(1)因?yàn)?，，；，，；由此可得：更接近?shí)際值，所以用模擬比較合理.(2).所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故整治后又16個(gè)月的污染度不超過60.20．已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）．（2）．（3）．【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，解對(duì)數(shù)不等式即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論的取值范圍進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)條件得到，恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.試題解析：（1）由，得，解得．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①則（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，當(dāng)a＝4時(shí)，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當(dāng)a＝3時(shí)，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當(dāng)a≠4且a≠3時(shí)，方程②的解為x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，則a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，則a＝2a﹣4＞0，即a＞2，則要使方程①有且僅有一個(gè)解，則1＜a≤2．綜上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一個(gè)元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a設(shè)1﹣t＝r，則0≤r，，當(dāng)r＝0時(shí)，0，當(dāng)0＜r時(shí)，，∵y＝r在（0，）上遞減，∴r，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a．【一題多解】（3）還可采用：當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．即，對(duì)任意成立．因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，由，得．故的取值范圍為．21．對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“類函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；(2)設(shè)是定義在上的“類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的最小值；(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是，理由見解析(2)的最小值為(3)【分析】（1）利用題中定義判斷可得出結(jié)論；（2）由題中定義結(jié)合參變量分離法得出，利用函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)在上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解；（3）分析可知存在使得，則對(duì)任意的，恒成立，以及存在使得，利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)是“類函數(shù)”.(2)解